（浙江專用）202x版高考數(shù)學一輪總復(fù)習 專題11 計數(shù)原理 11.2 二項式定理

1、高考數(shù)學（浙江專用）,11.2二項式定理,考點二項式定理及其應(yīng)用,考點清單,考向基礎(chǔ) 1.二項式定理:(a+b)n=an+an-1b1+an-rbr+bn(nN*).這個公 式所表示的定理叫做二項式定理. 2.幾個基本概念 (1)二項展開式:二項式定理中的公式右邊的多項式叫做(a+b)n的二項展開式. (2)項數(shù):二項展開式中共有n+1項. (3)二項式系數(shù):在二項展開式中各項的系數(shù)(r=0,1,2,n)叫做二項式系數(shù).,(4)通項:二項展開式中的an-rbr叫做二項展開式的通項,用Tr+1表 示,即通項為展開式的第r+1項:Tr+1=an-rbr(r=0,1,n). 3.在二項式定理中,如果

2、設(shè)a=1,b=x,則得到公式:(1+x)n=1+x+x2+x3 +xn.如果設(shè)a=1,b=-x,則得到公式:(1-x)n=1+(-1)1x+(-1)2x2+(- 1)nxn. 4.二項式系數(shù)與項的系數(shù)是不同的,如(a+bx)n(a,bR)的展開式中,第r+1項的二項式系數(shù)是,而第r+1項的系數(shù)為an-rbr. 5.通項公式主要用于求二項式的指數(shù),求滿足條件的項或系數(shù),求展開式的某一項或系數(shù).在運用公式時要注意以下幾點: (1)an-kbk是第k+1項,而不是第k項; (2)運用通項公式Tk+1=an-kbk解題時,一般都需先轉(zhuǎn)化為方程(組)求 出n、k,然后代入通項公式求解;,(3)求展開式的

3、一些特殊項,通常都是由題意列方程求出k,再求所需的某項;有時需要求n,計算時要注意n和k的取值范圍及它們之間的大小關(guān)系. 6.在(a+b)n的展開式中,令a=b=1,得+=2n;令a=1,b=-1,得- +-+=0,+=+=2n-1. 7.對二項式系數(shù)性質(zhì)的理解 (1)對稱性:由組合數(shù)的性質(zhì)“=”,得從“=1”開始,由左右 分別向中間靠攏,便有=,=, (2)最大值:當n為偶數(shù)時,(a+b)n的展開式共有n+1項,n+1是奇數(shù),這時展開式的形式是,中間一項是第+1項,它的二項式系數(shù)是,它是所有的二項式系數(shù)中 的最大者. 當n為奇數(shù)時,(a+b)n的展開式共有n+1項,n+1是偶數(shù),這時展開式的

4、形式是 中間兩項是第、+1項,它們的二項式系數(shù)分別是、, 這兩個系數(shù)相等,并且是所有二項式系數(shù)中的最大者.,考向突破,考向一求指定項或指定項系數(shù),例1(2018浙江溫州二模(3月),5)在的展開式中,常數(shù)項是 () A.B.-C.8D.-8,解析的展開式的通項為Tr+1=(-2x)r=(-2)r (0r9),令=0,得r=3,常數(shù)項為T4=(-2)3=-8,故選D.,答案D,考向二求二項式系數(shù)之和或展開式系數(shù)之和,例2(2018浙江嘉興教學測試(4月),13)(x+2)(x+1)6的展開式中含x3項的系數(shù)為;所有項系數(shù)的和為.,解析因為(x+1)6的展開式的通項公式為Tr+1=x6-r,所以(

5、x+2)(x+1)6的展 開式中含x3項為xx2+2x3=15x3+40 x3=55x3,故其系數(shù)為55.令x=1,可得 所有項系數(shù)的和為(1+2)(1+1)6=192.,答案55;192,方法1求指定項或指定項系數(shù)的方法 求二項展開式中指定項或指定項的系數(shù),通常是根據(jù)已知條件,利用通項公式求r,再求Tr+1或Tr+1的系數(shù),有時還需先求冪指數(shù)n,再求r,才能求出Tr+1或Tr+1的系數(shù).,方法技巧,例1(2018浙江名校協(xié)作體期初,5)(1-x)4展開式中x2的系數(shù)為 () A.16B.12C.8D.4,解析展開式中含x2的項為(-x)3+2(-x)2=8x2.故展開式中x2的系數(shù) 為8,故選C.,答案C,方法2求二項式系數(shù)或展開式系數(shù)之和的方法 對于二項式系數(shù)和與展開式系數(shù)和問題,首先,應(yīng)掌握二項式系數(shù)的性質(zhì):+=2n,+=+=2n-1.其次,要掌握 賦值法.,例2(2018浙江浙東北聯(lián)盟期中,12)的展開式中各項二項式 系數(shù)之和為64,則n=,展開式中的常數(shù)項為.,解析的展開式中各