2011年高考試題——(全國(guó)卷理)解析版

1、.2011年高考題全國(guó)卷II數(shù)學(xué)試題理科全解全析科目： 數(shù)學(xué) 試卷名稱(chēng) 2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試全國(guó)卷II(理科)知識(shí)點(diǎn)檢索號(hào)新課標(biāo)題目及解析（1）復(fù)數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù)，則（A） （B） （C） （D）【思路點(diǎn)撥】先求出的共軛復(fù)數(shù),然后利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可?！揪v精析】選B.（2）函數(shù)的反函數(shù)為（A） （B）（C） （D）【思路點(diǎn)撥】先反解用y表示x,注意要求出y的取值范圍，它是反函數(shù)的定義域?！揪v精析】選B.在函數(shù)中，且反解x得，所以的反函數(shù)為.（3）下面四個(gè)條件中，使成立的充分而不必要的條件是（A） （B） （C） （D）【思路點(diǎn)撥】本題要把充要條件的概念搞清，注意尋找

2、的是通過(guò)選項(xiàng)能推出ab，而由ab推不出選項(xiàng)的選項(xiàng).【精講精析】選A.即尋找命題P使P推不出P，逐項(xiàng)驗(yàn)證可選A。（4）設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，公差，則 （A）8 （B）7 （C）6 （D）5【思路點(diǎn)撥】思路一：直接利用前n項(xiàng)和公式建立關(guān)于k的方程解之即可。思路二：利用直接利用通項(xiàng)公式即可求解，運(yùn)算稍簡(jiǎn)。【精講精析】選D.（5）設(shè)函數(shù)，將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖像與原圖像重合，則的最小值等于（A） （B） （C） （D）【思路點(diǎn)撥】此題理解好三角函數(shù)周期的概念至關(guān)重要，將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的圖像與原圖像重合，說(shuō)明了是此函數(shù)周期的整數(shù)倍?！揪v精析】選C. 由題,解得，令

3、，即得.(6)已知直二面角，點(diǎn),C為垂足，為垂足若AB=2，AC=BD=1，則D到平面ABC的距離等于(A) (B) (C) (D) 1 【思路點(diǎn)撥】本題關(guān)鍵是找出或做出點(diǎn)D到平面ABC的距離DE，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)不難證明平面，進(jìn)而平面ABC,所以過(guò)D作于E，則DE就是要求的距離?！揪v精析】選C.如圖，作于E，由為直二面角，得平面，進(jìn)而，又，于是平面ABC，故DE為D到平面ABC的距離。在中，利用等面積法得.(7)某同學(xué)有同樣的畫(huà)冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友每位朋友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有(A)4種 (B)10種 (C)18種 (D)20種【思路點(diǎn)撥】本題要注意畫(huà)

4、冊(cè)相同，集郵冊(cè)相同，這是重復(fù)元素，不能簡(jiǎn)單按照排列知識(shí)來(lái)鑄。所以要分類(lèi)進(jìn)行求解?！揪v精析】選B.分兩類(lèi)：取出的1本畫(huà)冊(cè)，3本集郵冊(cè)，此時(shí)贈(zèng)送方法有種；取出的2本畫(huà)冊(cè)，2本集郵冊(cè)，此時(shí)贈(zèng)送方法有種?？偟馁?zèng)送方法有10種。(8)曲線y=+1在點(diǎn)(0，2)處的切線與直線y=0和y=x圍成的三角形的面積為(A) (B) (C) (D)1【思路點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)求出點(diǎn)（0，2）切線方程然后分別求出與直線y=0與y=x的交點(diǎn)問(wèn)題即可解決?！揪v精析】選A.切線方程是：,在直角坐標(biāo)系中作出示意圖，即得。(9)設(shè)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0x1時(shí)，=，則= (A) - (B) (C) (D)【思路點(diǎn)撥】解本題的關(guān)鍵

5、是把通過(guò)周期性和奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到區(qū)間0,1上進(jìn)行求值?！揪v精析】選A.先利用周期性，再利用奇偶性得: .(10)已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線與C交于A，B兩點(diǎn)則=(A) (B) (C) (D) 【思路點(diǎn)撥】方程聯(lián)立求出A、B兩點(diǎn)后轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題?！揪v精析】選D.聯(lián)立，消y得，解得.不妨設(shè)A在x軸上方，于是A，B的坐標(biāo)分別為(4,4),(1,-2),可求，利用余弦定理.(11)已知平面截一球面得圓M，過(guò)圓心M且與成二面角的平面截該球面得圓N.若該球面的半徑為4，圓M的面積為4，則圓N的面積為 (A)7 (B)9 (C)11 (D)13【思路點(diǎn)撥】做出如圖所示的圖示，問(wèn)題即可解決?！?/p>

6、精講精析】選B.作示意圖如，由圓M的面積為4，易得，中，。故.(12)設(shè)向量滿足，則的最大值等于 (A)2 (B) (c) (D)1【思路點(diǎn)撥】本題按照題目要求構(gòu)造出如右圖所示的幾何圖形，然后分析觀察不難得到當(dāng)線段AC為直徑時(shí)，最大.【精講精析】選A.如圖，構(gòu)造，所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓，分析可知當(dāng)線段AC為直徑時(shí)，最大，最大值為2.(13)(1-)20的二項(xiàng)展開(kāi)式中，x的系數(shù)與x9的系數(shù)之差為: .【思路點(diǎn)撥】解本題一個(gè)掌握展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，另一個(gè)要注意.【精講精析】0. 由得的系數(shù)為, x9的系數(shù)為,而.(14)已知a(，)，sin=，則tan2= 【思路點(diǎn)撥】本題涉及到同角三角函數(shù)關(guān)系

7、式,先由正弦值求出余弦值一定要注意角的范圍，再求出正切值，最后利用正切函數(shù)的倍角公式即可求解。【精講精析】.由a(，)，sin=得,.(15)已知F1、F2分別為雙曲線C: - =1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)AC，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，0)，AM為F1AF2的平分線則|AF2| = .【思路點(diǎn)撥】本題用內(nèi)角平分線定理及雙曲線的定義即可求解?！揪v精析】6.由角平分線定理得：,故.(16)己知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCD-A1B2C3D4的棱BB1 、CC1上，且B1E=2EB, CF=2FC1，則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于 .【思路點(diǎn)撥】本題應(yīng)先找出兩平面的交線，進(jìn)而找出或做出二面角的平面角

8、是解決此問(wèn)題的關(guān)鍵,延長(zhǎng)EF必與BC相交，交點(diǎn)為P，則AP為面AEF與面ABC的交線.【精講精析】.延長(zhǎng)EF交BC的延長(zhǎng)線于P，則AP為面AEF與面ABC的交線，因?yàn)椋詾槊鍭EF與面ABC所成的二面角的平面角。(17)(本小題滿分l0分)(注意：在試題卷上作答無(wú)效) ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c.己知AC=90，a+c=b，求C.【思路點(diǎn)撥】解決本題的突破口是利用正弦定理把邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的正弦的關(guān)系，然后再結(jié)合AC=90,得到.即可求解?！揪v精析】選D.由，得A為鈍角且，利用正弦定理，可變形為，即有，又A、B、C是的內(nèi)角，故或(舍去)所以。所以.(18)(本小題滿分12

9、分)(注意：在試題卷上作答無(wú)效) 根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車(chē)主購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率為05，購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率為0.3,設(shè)各車(chē)主購(gòu)買(mǎi)保險(xiǎn)相互獨(dú)立(I)求該地1位車(chē)主至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)中的l種的概率；()X表示該地的l00位車(chē)主中，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi)的車(chē)主數(shù)。求X的期望。 【思路點(diǎn)撥】解本題應(yīng)首先主出該車(chē)主購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)的概率為p,利用乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率為0.3，即可求出p=0.6.然后（ii）利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式和期望公式計(jì)算即可.【精講精析】設(shè)該車(chē)主購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)的概率為p,由題意知：，解得。（I） 設(shè)所求概率為P1，則.故該地1位車(chē)主至少購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保

10、險(xiǎn)中的1種的概率為0.8。（II） 對(duì)每位車(chē)主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買(mǎi)的概率為。所以X的期望是20人。（19）如圖，四棱錐中，,，側(cè)面為等邊三角形，.（）證明：;（)求與平面所成角的大小.【思路點(diǎn)撥】本題第（I）問(wèn)可以直接證明，也可建系證明。（II）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算把求角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)值計(jì)算問(wèn)題,思路清晰思維量小?！揪v精析】計(jì)算SD=1，于是，利用勾股定理，可知，同理，可證又，因此，.（II）過(guò)D做，如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),可計(jì)算平面SBC的一個(gè)法向量是.所以AB與平面SBC所成角為.（20）設(shè)數(shù)列

11、滿足且（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè)【思路點(diǎn)撥】解本題突破口關(guān)鍵是由式子得到是等差數(shù)列，進(jìn)而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.（II）問(wèn)求出的通項(xiàng)公式注意觀察到能采用裂項(xiàng)相消的方式求和?！揪v精析】 (I) 是公差為1的等差數(shù)列，所以(II).（21）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過(guò)F且斜率為的直線與C交與A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足()證明：點(diǎn)P在C上；（）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為Q，證明：A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上.【思路點(diǎn)撥】方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理是解決這類(lèi)問(wèn)題的基本思路，注意把用坐標(biāo)表示后求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后再結(jié)合直線方程把P點(diǎn)的縱坐標(biāo)也用A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示出來(lái)。從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓

12、方程驗(yàn)證即可證明點(diǎn)P在C上。(II)此問(wèn)題證明有兩種思路：思路一：關(guān)鍵是證明互補(bǔ).通過(guò)證明這兩個(gè)角的正切值互補(bǔ)即可，再求正切值時(shí)要注意利用倒角公式。思路二：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)圓心一定在弦的垂直平分線上，所以根據(jù)兩條弦的垂直平分線的交點(diǎn)找出圓心N，然后證明N到四個(gè)點(diǎn)A、B、P、Q的距離相等即可.【精講精析】 (I)設(shè)直線，與聯(lián)立得由得,所以點(diǎn)P在C上。（II）法一：同理所以互補(bǔ)，因此A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓上。法二：由和題設(shè)知，,PQ的垂直平分線的方程為設(shè)AB的中點(diǎn)為M，則，AB的垂直平分線的方程為由得、的交點(diǎn)為,故.所以A、P、B、Q四點(diǎn)在同一圓圓N上.（22）（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無(wú)效）（）設(shè)函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，；（）從編號(hào)1到100的100張卡片中每次隨即抽取一張，