高中數(shù)學課件圓的一般方程

1、4.1.2圓的一般方程,1.掌握圓的一般方程的形式，熟練掌握圓的兩種方程的互化. 2.會用待定系數(shù)法求圓的一般方程. 3.了解幾種求軌跡方程的方法.,(1)形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0,化為標準方程為_ _. (2)條件：_,圓心為_,半徑為 _. 特別地,當D2+E2-4F=0時,方程表示點：_. 當D2+E2-4F0時,方程_.,D2+E2-4F0,不表示任何圖形,1.“判一判”理清知識的疑惑點(正確的打“”,錯誤的打“”). (1)平面內(nèi)任一圓的方程都是關于x,y的二元二次方程.() (2)圓的一般方程和圓的標準方程可以互化.() (3)形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程都

2、表示圓.() (4)方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圓,則E0.(),提示：(1)正確.因為 可化為x2+y2+Dx+Ey+F=0,均是關于x,y的二元二次方程. (2)正確.圓的一般方程與圓的標準方程可以互化. (3)錯誤.少了條件D2+E2-4F0. (4)正確.因為D2+E2-4F=4+E2-40,則E0. 答案：(1)(2)(3)(4),2.“練一練”嘗試知識的應用點(請把正確的答案寫在橫線上). (1)圓的標準方程(x-1)2+(y-3)2=1化為一般方程為. (2)若圓的一般方程為x2+y2+4x+2=0,則圓心坐標為,半徑為. (3)若方程x2+y2-x+y+m=0表示圓的

3、方程,則m的取值范圍是.,【解析】(1)因為(x-1)2+(y-3)2=1,所以x2+y2-2x-6y+9=0. 答案：x2+y2-2x-6y+9=0 (2)因為x2+y2+4x+2=0化為標準方程為(x+2)2+y2=2, 所以圓心為(-2,0),半徑為 . 答案：(-2,0) (3)因為方程x2+y2-x+y+m=0表示圓的方程, 所以(-1)2+12-4m0,所以m . 答案：m,圓的一般方程 探究1：觀察二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0,并結合圓的一般方程,思考下列問題. (1)此二元二次方程與圓的一般方程在形式上有哪些不同? 提示：x2,y2項的系數(shù)不同;圓的一

4、般方程沒有xy這一項.,(2)此二元二次方程一定能表示圓的方程嗎? 提示：不一定.圓的一般方程是關于x,y的二元二次方程,但二元二次方程并不一定表示圓的方程,如方程x2+2xy+y2=0,即x+y=0代表一條直線而不是一個圓.,【拓展延伸】二元二次方程表示圓的條件 (1)當B=0,A=C=1時，若D2+E2-4F0，才表示圓，圓心為 半徑為 . (2)當B=0,A=C1時，若D2+E2-4AF0,才表示圓，圓心為 半徑為,探究2：圓的標準方程與一般方程的各自特點和聯(lián)系有哪些? 提示：(1)圓的標準方程直接反映了圓心和半徑,幾何特征較明顯;而圓的一般方程反映的代數(shù)特征較明顯.可以通過配方與去括號

5、互化. (2)它們的聯(lián)系：在兩種形式的方程中,都只含有三個待定系數(shù),其中a與D,b與E相聯(lián)系,在D,E確定后,半徑r與F相聯(lián)系.,探究3：類比點P(x0,y0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2的位置關系的 判斷方法,完成下列填空. (1)若點P(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0外,則需滿足的條件 是. (2)若點P(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0 內(nèi),則需滿足的條件是. (3)若點P(x0,y0)在圓x2+y2+Dx+Ey+F=0 上,則需滿足的條件是.,探究提示：將圓的一般方程化為標準方程再判斷,提示：(1)因為x2+y2+Dx+Ey+F=0 由題意 即 答

6、案：,【探究提升】關于圓的一般方程的三點說明 (1)x2和y2的系數(shù)相等,且都不為0(通常都化為1). (2)沒有xy這樣的二次項. (3)表示圓的前提條件：D2+E2-4F0,通常情況下先配成(x-a)2+(y-b)2=m,通過觀察m與0的關系,說明方程是否為圓的一般方程,而不要死記條件D2+E2-4F0.,類型 一 二元二次方程與圓的關系 嘗試完成下列題目,歸納一個關于x,y的二元二次方程表示圓的兩種判斷方法.,1.(2013晉江高一檢測)方程x2+y2+2x-4y-6=0表示的圖形是 () A.以(1,-2)為圓心, 為半徑的圓 B.以(1,2)為圓心, 為半徑的圓 C.以(-1,-2)

7、為圓心, 為半徑的圓 D.以(-1,2)為圓心, 為半徑的圓 2.方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圓?若能表示圓,求 出圓心和半徑.,【解題指南】1.將圓的一般方程化為標準方程即可確定圓心與半徑. 2.本題可直接利用D2+E2-4F0是否成立來判斷,也可把左端配方,看右端是否為大于零的常數(shù).,【解析】1.選D.將方程x2+y2+2x-4y-6=0 化為(x+1)2+(y-2)2=11, 因此,圓心為(-1,2),半徑為 .,2.方法一：由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0, 可知D=-4m,E=2m,F=20m-20, 所以D2+E2-4F=16m2+4m

8、2-80m+80=20(m-2)2,因此, 當m=2時,D2+E2-4F=0,它表示一個點,當m2時,D2+E2-4F0, 原方程表示圓的方程,此時,圓的圓心為(2m,-m),半徑為,方法二：原方程可化為(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,因此, 當m=2時,它表示一個點, 當m2時,原方程表示圓的方程. 此時,圓的圓心為(2m,-m),半徑為r= |m-2|.,【技法點撥】方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的兩種判斷方法 (1)配方法.對形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程可以通過配方變形成“標準”形式后,觀察是否表示圓. (2)運用圓的一般方程的判斷方法求解.即

9、通過判斷D2+E2-4F是否為正,確定它是否表示圓. 提醒：在利用D2+E2-4F0來判斷二元二次方程是否表示圓時,務必注意x2及y2的系數(shù).,類型 二 圓的一般方程的求法 通過解答下列求圓的一般方程的題目,試總結用待定系數(shù) 法求圓的一般方程的步驟及兩種方程形式選擇的標準. 1.過點(-1,1),且圓心與圓x2+y2-6x-8y+15=0的圓心相同的圓 的方程是. 2.已知一個圓過P(4,2),Q(-1,3)兩點,且在y軸上截得的線段 長為 ,求圓的方程.,【解題指南】1.根據(jù)所給圓的方程求出圓心坐標,再代入設出的方程求解. 2.設出圓的一般方程,由圓過P,Q兩點可得兩個方程,再根據(jù)圓在y軸上

10、截得的線段長可得到一個方程,通過解方程組可求出圓的方程.,【解析】1.設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0. 由已知該圓圓心為(3,4),且過點(-1,1), 故 所以圓的方程為x2+y2-6x-8y=0. 答案：x2+y2-6x-8y=0,2.設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0. 令x=0,得y2+Ey+F=0. 由已知|y1-y2|=4 ,其中y1,y2是方程y2+Ey+F=0的兩根, 所以(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48. 將P,Q兩點的坐標分別代入方程, 得,解聯(lián)立的方程組,得 故圓的方程為x2+y2-2x-12=0或,【互動探究】若題

11、2條件不變,試判斷原點(0，0)與圓的位置 關系. 【解析】(1)若圓的方程為x2+y2-2x-12=0, 因為02+02-20-12=-120, 所以原點(0，0)在圓內(nèi). (2)若圓的方程為 因為 所以原點(0,0)在圓外.,【技法點撥】1.待定系數(shù)法求圓的方程的三個步驟 (1)根據(jù)題意,選擇標準方程或一般方程. (2)根據(jù)條件列出關于a,b,r或D,E,F的方程組. (3)解出a,b,r或D,E,F,代入標準方程或一般方程.,2.對圓的一般方程和標準方程的選擇 (1)如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑來列方程的問題,一般采用圓的標準方程,再用待定系數(shù)法求出a,b

12、,r. (2)如果已知條件和圓心或半徑都無直接關系,一般采用圓的一般方程,再利用待定系數(shù)法求出常數(shù)D,E,F. 提醒：當條件與圓的圓心和半徑有關時,常設圓的標準方程;條件與點有關時,常設圓的一般方程.,【拓展類型】與圓有關的軌跡問題 試著解答下列題目,體會求軌跡方程的一般步驟及常用方法. 1.(2013惠州高二檢測)若RtABC的斜邊的兩端點A,B的坐標分別為(-3,0)和(7,0),則直角頂點C的軌跡方程為() A.x2+y2=25(y0) B.x2+y2=25 C.(x-2)2+y2=25(y0) D.(x-2)2+y2=25 2.已知ABC的邊AB長為4,若BC邊上的中線為定長3,求頂點

13、C的軌跡方程.,【解題指南】1.根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長等于斜邊的一半求解. 2.建立適當?shù)淖鴺讼?易知C不能在AB上,設BC中點為點D.C,B,D三點為相關點,利用代入法(也稱相關點法)求解.,【解析】1.選C.線段AB的中點為(2，0)，因為ABC為直角三 角形，C為直角頂點，所以C到點(2，0)的距離為 |AB|=5,所 以點C(x,y)滿足 =5(y0),即(x-2)2+y2=25(y0).,2.以直線AB為x軸，AB的中垂線為y軸建立坐標系(如圖)，則 A(-2,0),B(2,0),設C(x,y), BC中點D(x0,y0). 所以 因為|AD|=3,所以(x0+2)2+ =9，

14、 將代入,整理得(x+6)2+y2=36.,因為點C不能在x軸上，所以y0. 綜上，點C的軌跡是以(-6,0)為圓心，6為半徑的圓， 去掉(-12, 0)和(0,0)兩點. 軌跡方程為(x+6)2+y2=36(y0).,【技法點撥】1.用代入法求軌跡方程的一般步驟,2.求軌跡方程的幾種常用方法 (1)直接法：直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系,直接坐標化,列出等式化簡即得動點軌跡方程. (2)定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如圓等),可用定義直接求解. (3)相關點法：根據(jù)相關點所滿足的方程,通過轉(zhuǎn)換而求動點的軌跡方程. (4)參數(shù)法：若動點的坐標(x,y)中的x,y分別

15、隨另一變量的變化而變化,我們可以以這個變量為參數(shù),建立軌跡的參數(shù)方程.,【變式訓練】(2013珠海高二檢測)兩直線ax+y=1與x-ay=1的交點的軌跡方程是_. 【解題指南】分x0且y0和x=0且y=0求解.,【解析】當x0且y0時，兩直線方程化為 所以 化為x2+y2-x-y=0.當x=0且y=0時滿足上式， 故交點的軌跡方程為x2+y2-x-y=0. 答案：x2+y2-x-y=0,1.圓x2+y2-4x+6y=0的圓心坐標是() A.(2,3) B.(-2,3) C.(-2,-3) D.(2,-3) 【解析】選D.圓的方程化為標準方程為(x-2)2+(y+3)2=13,故圓心坐標為(2,

16、-3).,2.方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圓() A.關于x軸對稱 B.關于原點對稱 C.關于直線x-y=0對稱 D.關于直線x+y=0對稱 【解析】選D.圓的方程化為(x+a)2+(y-a)2=2a2,圓心(-a,a).由圓心坐標易知圓心在x+y=0上,所以圓關于直線x+y=0對稱.,3.點P(1,1)與圓x2+y2-2x+2y=0的位置關系是() A.在圓外 B.在圓內(nèi) C.在圓上 D.不確定 【解析】選A.因為12+12-21+21=20, 所以點P在圓外.,4.方程x2+axy+y2+bx+ y+7=0是圓的一般方程,則a=_; b的取值范圍是. 【解析】要使方程表示圓的一般方程，需 答案：0 (-,-5)(5,+),5.若圓x2+y2-6x+6y+14=0關于直線l：ax+4y-6=0對稱,則直線l 的斜率是. 【解析】圓x2+y2-6x+6y+14=0關于直線l：ax+4y-6=0對稱,則 直線l通過圓心(3,-3), 故3a-1