對(duì)數(shù)函數(shù) 典型例題

1、;對(duì)數(shù)函數(shù)例1 求下列函數(shù)的定義域（1）y=log2（x2-4x-5）;（2）y=logx+1（16-4x）（3）y= 解：（1）令x2-4x-50，得（x-5）（x+1）0，故定義域?yàn)?xx-1，或x5（2）令 得 故所求定義域?yàn)閤-1x0，或0x2（3）令 ，得 故所求定義域?yàn)閤x-1- ，或-1- x-3,或x2說(shuō)明 求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問(wèn)題，首先要考慮，真數(shù)大于零底數(shù)大于零不等于1，若處在分母的位置，還要考慮不能使分母為零例2 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（1）y=log2（x-4）； （2）y=log05x2解：（1）定義域是（4，+），設(shè)t=x-4,當(dāng)x4時(shí)，t隨x的增大而增大，而y=

2、log2t，y又隨t的增大而增大，（4，+）是y=log2（x-4）的遞增區(qū)間（2）定義域xxR，且x0，設(shè)t=x2，則y=log05t當(dāng)x0時(shí)，t隨x的增大而增大，y隨t的增大而減小，（0，+）是y=log05x2的遞減區(qū)間當(dāng)x0時(shí)，t隨x的增大而減小，y隨t的增大而減小，（-，0）是y=log05x2的遞增區(qū)間例3 比較大?。海?）log0713和log0718（2）（lgn）17和（lgn）2（n1）（3）log23和log53（4）log35和log64解：（1）對(duì)數(shù)函數(shù)y=log07x在（0，+）內(nèi)是減函數(shù)因?yàn)?318，所以log0713log0718（2）把lgn看作指數(shù)函數(shù)的底，

3、本題歸為比較兩個(gè)指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值的大小，故需對(duì)底數(shù)lgn討論若1lgn0，即1n10時(shí)，y=（lgn） x在R上是減函數(shù)，所以（lgn）12（lgn）2；若lgn1，即n10時(shí)，y=（lgn）2在R上是增函數(shù)，所以（lgn）17（lgn）2（3）函數(shù)y=log2x和y=log5x當(dāng)x1時(shí)，y=log2x的圖像在y=log5x圖像上方這里x=3，所以log23log53（4）log35和log64的底數(shù)和真數(shù)都不相同，須找出中間量“搭橋”，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解因?yàn)閘og35log33=1=log66log64，所以log35log64評(píng)析 要注意正確利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，尤其是第（3）小

4、題，可直接利用例2中的說(shuō)明得到結(jié)論例4 已知函數(shù)f（x）=loga（a-ax）（a1），（1）求f（x）的定義域、值域（2）判斷并證明其單調(diào)性（3）解不等式f-1（x2-2）f（x）解：（1）要使函數(shù)有意義，必須滿足a-ax0，即axa因?yàn)閍1，所以x1；又因?yàn)?a-axa，所以f（x）=loga（a-ax）（a1）的值域?yàn)椋?，1）（2）設(shè)x1x21，則a a a（因?yàn)閍1）所以a-a a-a 0，所以loga（a-a ）loga（a-a ），即f（x1）f（x2）所以f（x）這（-，1）上的減函數(shù)（3）設(shè)y=loga（a-ax），則a-ax=ay,ax=a-ay,x=loga（a-ay）,

5、所以f-1（x）=loga（a-ax）（x（-，1），f（x）=f-1（x）由f-1（x2-2）f（x）有f（x2-2）f（x）,且f（x）為（-，1）上的減函數(shù)，所以x2-2x,x1,解得-1x1評(píng)析 知道函數(shù)值大小關(guān)系和函數(shù)單調(diào)性，要研究自變量取值范圍，應(yīng)直接用單調(diào)性得關(guān)于x的不等式，但要注意單調(diào)區(qū)間例5 已知f（x）=2+log3x，x1，9，求y=f（x）2+f（x2）的最大值，及y取最大值時(shí)，x的值分析 要求函數(shù)y=f（x）2+f（x2）的最大值，要做兩件事，一是要求其表達(dá)式；二是要求出它的定義域，然后求值域解：f（x）=2+log3x，y=f（x）2+f（x2）=（2+log3x）

6、2+2+log3x2 =（2+log3x）2+2+2log3x =log23x+6log3x+6 =（log3x+3）2-3函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?，9，要使函數(shù)y=f（x）2+f（x2）有定義，就須 1x3 0log3x16y=（log3x+3）2-313當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)y=f（x）2+f（x2）取最大值13說(shuō)明 本例正確求解的關(guān)鍵是：函數(shù)y=f（x）2+f（x2）定義域的正確確定如果我們誤認(rèn)為1，9是它的定義域則將求得錯(cuò)誤的最大值22其實(shí)我們還能求出函數(shù)y=f（x）2+f（x2）的值域?yàn)?，13例6 （1）已知函數(shù)y=log3（x2-4mx+4m2+m+ ）的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍

7、；（2）已知函數(shù)y=logax2+（k+1）x-k+ （a0，且a1）的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)k的取值范圍點(diǎn)撥：題（1）中，對(duì)任意實(shí)數(shù)x,x2-4mx+4m2+m+ 0恒成立；題（2）中，x2+（k+1）x-k+ 取盡一切正實(shí)數(shù)解：（1）x2-4mx+4m2+m+ 0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，=16m2-4（4m2+m+ ）=-4（m+ ）0， 0又m2-m+10，m-10，m1（2）yR，x2+（k+1）x-k+ 可取盡一切正實(shí)數(shù)=（k+1）2-4（-k+ ）0，k2+6k0，k0，或k-6評(píng)析 本題兩小題的函數(shù)的定義域與值域正好錯(cuò)位（1）中函數(shù)的定義域?yàn)镽，由判別式小于零確保；（2）中函數(shù)的值域?yàn)镽，

8、由判別式不小于零確定例7 求函數(shù)y=log05（-x2+2x+8）的單調(diào)區(qū)間分析 由于對(duì)函數(shù)的底是一個(gè)小于1的正數(shù)，故原函數(shù)與函數(shù)u=-x2+2x+8（-2x4）的單調(diào)性相反解-x2+2x+80， -2x4， 原函數(shù)的定義域?yàn)椋?2，4）又 函數(shù)u=-x2+2x+8=-（x-1）2+9在（-2，1上為增函數(shù)，在1，4）上為減函數(shù)，函數(shù)y=log05（-x2+2x+8）在（-2，1上為減函數(shù)，在1，4）上為增函數(shù)評(píng)析 判斷函數(shù)的單調(diào)性必須先求出函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的子集例8 已知a0且a1，f（logax）= （x-x-1）（1）求f（x）;（2）判斷f（x）的奇偶性和單調(diào)性；（3）對(duì)于f（x）,當(dāng)x（-1，1）時(shí)，有f（1-m）+f（1-m2）0，求m的取值范圍分析 先用換元法求出f（x）的表達(dá)式；再利用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)判斷其奇偶性和單調(diào)性；然后利用以上結(jié)論解第（3）小題解：（1）令t=logax（tR），則x=at，且f（t）= （at-a-t），f（x）= （ax-a-x）（xR）（2）f（-x）= （a-x-ax）=-f（x），且xR，f（x）為奇函數(shù)a1時(shí)，ax-a-x為增函數(shù)，并且注意到 ，這