數(shù)值預(yù)報(bào)復(fù)習(xí)要點(diǎn)

1、.第一章大氣運(yùn)動(dòng)方程大氣運(yùn)動(dòng)方程應(yīng)遵循牛頓第二定律（運(yùn)動(dòng)方程）、質(zhì)量守恒定律（連續(xù)方程）、能量守恒定律（熱力學(xué)或能量方程）、氣體試驗(yàn)定律（狀態(tài)方程）、水汽守恒定律（水汽方程）運(yùn)動(dòng)方程連續(xù)方程狀態(tài)方程熱力學(xué)方程水汽方程球坐標(biāo)下的大氣運(yùn)動(dòng)方程組球坐標(biāo) 經(jīng)度、緯度，地心到空間點(diǎn)的距離r球坐標(biāo)下 x是沿緯圈的微小位移、y是沿經(jīng)圈的微小位移、z是垂直方向的微小位移x=r*cos*y=r*z=ru是緯向速度u=r* cos*d/dtv是經(jīng)向速度v= r*d/dtw是垂直速度w=dr/dt球坐標(biāo)下加速度的展開(kāi)局地直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)與球坐標(biāo)的關(guān)系局地直角坐標(biāo)系是球坐標(biāo)系的簡(jiǎn)化形式，保留了球坐標(biāo)的框架，忽略了球面

2、曲率的影響。區(qū)分球坐標(biāo)方程和局地直角指標(biāo)方程 P坐標(biāo)系下大氣運(yùn)動(dòng)方程組P坐標(biāo)系通常應(yīng)用于天氣尺度的大氣運(yùn)動(dòng)，具有準(zhǔn)靜力平衡的特點(diǎn)，滿足方程P坐標(biāo)系下的垂直速度=dp/dt區(qū)分P坐標(biāo)方程與Z坐標(biāo)方程 坐標(biāo)坐標(biāo)系是與氣壓相聯(lián)系的坐標(biāo)系，具有下邊界簡(jiǎn)單，便于引進(jìn)地形的動(dòng)力作用等特點(diǎn)。坐標(biāo)的定義 pT是模式層頂?shù)臍鈮海琾s是地面氣壓坐標(biāo)的邊界條件區(qū)分p坐標(biāo)方程和坐標(biāo)方程 狀態(tài)方程 垂直運(yùn)動(dòng)方程數(shù)值模式的分類過(guò)濾模式只能模擬準(zhǔn)地轉(zhuǎn)演變過(guò)程，而原始方程模式既能模擬準(zhǔn)地轉(zhuǎn)演變過(guò)程又能模擬地轉(zhuǎn)適應(yīng)過(guò)程。原始方程模式分為正壓原始方程模式（垂直方向一層）和斜壓原始方程模式（垂直方向有多層）地圖投影的概念地圖投影是

3、按照一定的數(shù)學(xué)條件，把球形的地球表面展繪于平面地圖上?；蛘哒f(shuō)把地球表面投影到一個(gè)簡(jiǎn)單的曲面上。能夠識(shí)別出光源、目標(biāo)物、投影面投影的誤差距離誤差、面積誤差、角度（形狀）誤差投影類型等角投影、等面積投影、任意投影等角投影中，經(jīng)過(guò)投影后地球表面的任意兩條交線的夾角保持不變，且在投影面任意一點(diǎn)的各個(gè)方向上長(zhǎng)度放大或縮小的倍數(shù)相等，投影之后不產(chǎn)生角度或者形狀的誤差。按地圖投影面的性質(zhì)分類型方位投影或平面投影、圓錐投影、圓柱投影地圖投影的基本概念及幾個(gè)重要因子映像面：投影的投射面、投影面映像平面：映像面沿某一條經(jīng)線切開(kāi)所展成的平面地圖：映像平面按地圖比例尺縮小后的圖切投影：映像面與地球表面相切于某一點(diǎn)的投

4、影割投影：映像面與地球表面相割的投影標(biāo)準(zhǔn)緯度：映像面與地球表面相交的緯度（標(biāo)準(zhǔn)緯度上，映像面的距離等于地球表面上相應(yīng)的距離）映像比例尺m：映像平面上的距離除以地球表面上相應(yīng)的距離。又稱地圖放大因子。標(biāo)準(zhǔn)緯度上m=1縮小比例尺：地圖上任意緯度上的距離除以映像平面上相應(yīng)的距離實(shí)際比例尺：地圖上任意緯度上的距離除以地球表面上相應(yīng)的距離正形投影正形投影的光源位于球心，映像面為圓錐面，映像面圓錐角為，標(biāo)準(zhǔn)緯度為0地圖放大系數(shù)的計(jì)算其中k為單位經(jīng)度所張的圓錐角，表示了圓錐的幾何特征，成為圓錐常數(shù)；0是標(biāo)準(zhǔn)緯度的余角。極射赤面投影是一種正形割投影，其光源位于南極，映像面為一個(gè)與地球相割于北緯60度的平面，標(biāo)

5、準(zhǔn)緯度為60N。根據(jù)網(wǎng)格坐標(biāo)計(jì)算放大系數(shù) 柯氏參數(shù)的計(jì)算蘭伯托投影是一種正形投影，其光源位于地球球心，映像面為一個(gè)與地球表面相割與30N和60N的圓錐面，圓錐角為90。 麥卡托投影光源位于球心，映像面是與地球表面相割于南北緯22。5的圓柱面，標(biāo)準(zhǔn)緯度為22.5N和22.5S投影后，經(jīng)線為等距平行的直線，緯線為與經(jīng)線垂直的直線，正形圓錐投影的極限情形。k=0所以不能采用普遍的正形投影中的關(guān)系式來(lái)對(duì)之進(jìn)行討論。而是從地圖放大系數(shù)入手求有關(guān)表達(dá)式Je為網(wǎng)格點(diǎn)相對(duì)于赤道的坐標(biāo)。放大系數(shù)是關(guān)于赤道成緯向軸對(duì)稱。普遍正交曲線坐標(biāo)系中的方程組qj是正交曲線的坐標(biāo)，dqj是相應(yīng)的坐標(biāo)變?cè)?，dlj是空間點(diǎn)沿坐標(biāo)

6、線所移動(dòng)的距離，稱為坐標(biāo)線元dlj=Hj*dqj其中Hj成為拉密系數(shù)。坐標(biāo)線元不等于坐標(biāo)變?cè)堑扔谧鴺?biāo)變?cè)c拉密系數(shù)的乘積正交曲線坐標(biāo)下的常用關(guān)系式氣壓梯度力渦度散度風(fēng)速矢量平流絕對(duì)溫度平流普遍地圖投影坐標(biāo)系中的方程組設(shè)X和Y軸地圖投影放大系數(shù)為m和n，Z方向的地圖投影放大系數(shù)為1拉密系數(shù)要求可以利用給出的關(guān)系式得到普遍地圖投影坐標(biāo)系中的大氣方程組表達(dá)式例如根據(jù)連續(xù)方程表達(dá)式和散度在正交曲線坐標(biāo)系下的表達(dá)式，得到地圖投影坐標(biāo)下的連續(xù)方程表達(dá)式，要求將求和符號(hào)展開(kāi)成各項(xiàng)相加的形式第一步將H的表達(dá)式代入散度表達(dá)式，寫(xiě)出第二步寫(xiě)出第三步寫(xiě)出差分方法和差分格式離散化的概念u(x,t)是連續(xù)函數(shù)，u(

7、ix,nt)是u(x,t)經(jīng)離散化后的形式。所謂離散化，即把連續(xù)的x以ix代替，連續(xù)的t以nt代替，其中i和n為整數(shù)。均是以一維線性平流方程為例 差分格式基本都是通過(guò)泰勒展開(kāi)式來(lái)構(gòu)造的。前差格式：后差格式：中央差格式：二階微分的差分格式拉普拉斯的差分格式拉普拉斯的差分格式涉及到的格點(diǎn)截?cái)嗾`差上面差分格式中的R被成為截?cái)嗾`差。意思是用差商來(lái)近似代替偏微商時(shí)，將會(huì)因舍去R所代表的項(xiàng)而造成的誤差。一般用R中最大的項(xiàng)來(lái)表示截?cái)嗾`差的大小。如果R中最大的項(xiàng)是x，則R=O（x）。如果是x2，則R=O（x2）。（注：所謂最大的項(xiàng)指的是偏導(dǎo)階數(shù)最小的一項(xiàng)，一階偏導(dǎo)項(xiàng)大于二階偏導(dǎo)項(xiàng)）R反映了差分方程代替微分方程

8、時(shí)的截?cái)嗾`差，它在一定程度上代表了差分格式的精度，R的階次越高，則差分格式的精度越高，誤差越小。這個(gè)的精度就是R=O（x2）相容性（一致性）當(dāng)空間步長(zhǎng) Dx 和時(shí)間步長(zhǎng)Dt 很小時(shí)，差分方程是否逼近微分方程，這就是差分格式的相容性（一致性）問(wèn)題。收斂性在一定的定解條件下，差分方程的解是否逼近微分方程的解的問(wèn)題，稱之為差分格式的收斂性問(wèn)題。穩(wěn)定性在時(shí)間積分過(guò)程中，由于舍入誤差的影響，差分解的誤差是否隨時(shí)間增長(zhǎng)的問(wèn)題，即差分格式的計(jì)算穩(wěn)定性問(wèn)題。拉克斯（Lax）等價(jià)定理：如果差分方程逼近微分方程，即差分格式與微分方程是相容的，或者差分格式滿足相容性條件，差分格式的穩(wěn)定性，保證了其收斂性（計(jì)算穩(wěn)定性

9、是收斂性的充分必要條件）。 用Von-Neumann穩(wěn)定性判別方法來(lái)證明差分格式的計(jì)算穩(wěn)定性時(shí)的主要步驟為：1設(shè)解的波動(dòng)形式，代入差分方程。2得出其對(duì)應(yīng)的增幅因子G。3討論時(shí)的情況。4判斷格式穩(wěn)定性及滿足格式穩(wěn)定性的條件。CFL判據(jù)增幅因子G：其中A n+1和An分別是n+1時(shí)刻和n時(shí)刻的振幅。微分方程波動(dòng)形式解：差分方程形式解：各個(gè)差分格式穩(wěn)定性 時(shí)間前差，空間后差條件穩(wěn)定時(shí)間前差，空間前差條件穩(wěn)定時(shí)間前差，空間中央差任何情況下不成立，所以為絕對(duì)不穩(wěn)定時(shí)間積分格式分類：1、二時(shí)間層的積分格式（非迭代格式） a、歐拉格式：，絕對(duì)不穩(wěn)定b、后差格式（隱式格式），絕對(duì)穩(wěn)定格式c、梯形格式（隱式格式

10、），中性格式，振幅不變2、二時(shí)間層的積分格式（迭代格式）特點(diǎn)：先通過(guò)前差格式算一個(gè)n+1時(shí)刻的粗略預(yù)報(bào)值，然后在通過(guò)這個(gè)預(yù)報(bào)值用后差格式計(jì)算n+1時(shí)刻的準(zhǔn)確預(yù)報(bào)值a、歐拉后差格式（顯式格式）：條件穩(wěn)定格式 b、赫恩格式：絕對(duì)不穩(wěn)定格式3、三個(gè)時(shí)間層的積分格式中央差格式，又稱跳背格式條件穩(wěn)定這種格式，可以看出不僅需要一個(gè)具有物理意義的初值u0，同樣還需要一個(gè)出于計(jì)算要求的初值u1，前者稱為物理初值，后者稱為計(jì)算初值。差分格式誤差相關(guān)內(nèi)容：實(shí)際工作中，不可能任意縮小步長(zhǎng)（由于計(jì)算量過(guò)大等原因），實(shí)際計(jì)算是在有限的網(wǎng)格下進(jìn)行的，一定程度的誤差是不可避免的。中央差的計(jì)算解問(wèn)題：使用中央差會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)波解

11、，其中一個(gè)有物理意義，另一個(gè)不具有物理意義，是計(jì)算過(guò)程中產(chǎn)生的虛假波形，稱之為計(jì)算解。中央差分格式的數(shù)值解為兩個(gè)波動(dòng)的疊加。實(shí)際工作中通常采用提高網(wǎng)格分辯能力來(lái)抑制和減小計(jì)算解帶來(lái)的影響。時(shí)間的截?cái)嗾`差（頻率誤差）當(dāng)使用中央差格式（顯式）時(shí)，原頻率=f由替代當(dāng)使用梯形格式時(shí)（隱式），原頻率=f由替代當(dāng)t很小時(shí)，兩種差分格式與=f差異很小當(dāng)t增加時(shí)，差分格式解偏離原頻率幅度增大ft1時(shí)顯式格式會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定，隱式格式的頻率解隨ft增加而減小顯式格式與隱式格式的頻率解與真值的比值空間的截?cái)嗾`差（波數(shù)誤差）用中央差格式展開(kāi)時(shí)，波數(shù)k的數(shù)值解為：差分近似精度隨k或x的減小而增大，這也就是說(shuō)對(duì)于波長(zhǎng)較短的

12、波，其產(chǎn)生的波數(shù)誤差較大；而波長(zhǎng)較長(zhǎng)的波，則差分方程可以比較精確地表示其空間微商，波數(shù)誤差很小，精度較高。相速度和群速度誤差空間差分格式的波數(shù)誤差和時(shí)間積分格式的頻率誤差會(huì)造成相速度和群速度的誤差，從而引起計(jì)算頻散。差分格式在波的移動(dòng)和能量傳播方面均可造成誤差。而且： （1）由于相速度誤差，減慢了平流過(guò)程；（2）造成虛假的計(jì)算頻散，且對(duì)短波尤為明顯。（1）波長(zhǎng)越長(zhǎng)，誤差越??；波長(zhǎng)減小，其誤差也就更為嚴(yán)重；（2）提高網(wǎng)格分辯率，使x取得足夠小，可以提高相速度的準(zhǔn)確率。差分格式誤差特征總結(jié)：1、三層時(shí)間積分格式存在計(jì)算解問(wèn)題： 計(jì)算解對(duì)差分解的影響依賴于網(wǎng)格分辨率和波長(zhǎng)。2、時(shí)間積分格式引起頻率誤

13、差：顯式格式使其頻率明顯增加，振動(dòng)加快；隱式格式使其頻率明顯減小，振動(dòng)減慢。3、空間差分格式引起波數(shù)誤差： 高階差分格式所引起的波數(shù)誤差要比低階格式??； 波長(zhǎng)較短的波，誤差尤為嚴(yán)重。4、空間差分格式會(huì)引起計(jì)算頻散： 尤其對(duì)于短波，相速度和群速度均會(huì)產(chǎn)生很大的誤差。 通?？刹捎锰岣呔W(wǎng)格分辯率的方法減小各種誤差。非線性不穩(wěn)定對(duì)于非線性偏微分方程，線性偏微分方程的穩(wěn)定性條件，只能給出其計(jì)算穩(wěn)定性的必要條件，即使?jié)M足這一條件，也可能會(huì)因?yàn)椴罘址匠痰倪吔鐥l件和非線性項(xiàng)的不正確表示而產(chǎn)生計(jì)算的不穩(wěn)定現(xiàn)象，我們把這種由于非線性作用而產(chǎn)生的不穩(wěn)定，稱為非線性不穩(wěn)定?；煜`差差分方法是用有限的自由度系統(tǒng)來(lái)代替原

14、來(lái)的連續(xù)介質(zhì)系統(tǒng)的。而有限格點(diǎn)上的函數(shù)值只能分解有限的波數(shù)，其最短波長(zhǎng)為2x，對(duì)于非線性作用產(chǎn)生的波長(zhǎng)小于2x的波動(dòng)，網(wǎng)格系統(tǒng)不能正確地將它表示出來(lái)，而把它錯(cuò)誤地表示成為某種波長(zhǎng)大于2x的波，從而產(chǎn)生了誤差，我們把這種波的誤差稱之為混淆誤差。對(duì)于網(wǎng)格數(shù)為I的網(wǎng)格，假設(shè)ui中包含兩個(gè)波，波數(shù)分別為k1和k2，當(dāng)這兩個(gè)波發(fā)生非線性作用而產(chǎn)生k1+k2的波時(shí)，如果k1+k2I/2，則網(wǎng)格將把這個(gè)波的波數(shù)識(shí)別為S=I-（k1+k2）自激反饋假設(shè)k1和k2相互作用，能量反饋到上k1，則有：k1=I-（k1+k2），或2k1=I-k2。由于k2=I/4。因此，發(fā)生能量反饋的波其波長(zhǎng)必在2x和4x之間，也就

15、是說(shuō)只有對(duì)波長(zhǎng)很短的波才發(fā)生能量反饋；非線性不穩(wěn)定的產(chǎn)生主要是由于短波能量的虛假增長(zhǎng)所造成的。抑制和克服非線性計(jì)算不穩(wěn)定的做法通常有： 空間和時(shí)間平滑，濾去短波分量（濾除波長(zhǎng)小于4倍格距的波動(dòng)）； 在方程中加入擴(kuò)散項(xiàng)； 構(gòu)造具有隱式平滑和某種選擇性衰減作用的差分格式 構(gòu)造守衡的差分格式，使差分方程盡可能保持原來(lái)的 物理規(guī)律和能量關(guān)系； 采用譜變換方法 （可避免非線性不穩(wěn)定問(wèn)題）。正壓原始方程模式以下在3個(gè)假設(shè)的基礎(chǔ)上導(dǎo)出正壓原始方程模式的預(yù)報(bào)方程組第一、假設(shè)大氣均勻不可壓，密度為一常數(shù)。第二、假設(shè)模式滿足靜力平衡。第三 、假設(shè)模式大氣是正壓的，初始時(shí)刻水平風(fēng)速不隨氣壓變化正壓原始方程模式的預(yù)報(bào)

16、方程組注意區(qū)分正壓原始方程和P系方程正壓原始方程重要積分性質(zhì)：全球總質(zhì)量、總能量、總絕對(duì)渦度、總渦度和總絕對(duì)角動(dòng)量守恒等性質(zhì)。正壓原始方程線性穩(wěn)定性判據(jù)注意這個(gè)判據(jù)，除了與相速度有關(guān)，還與最大風(fēng)速有關(guān)。如果不采用附加的平滑運(yùn)算，一次守恒差分格式的計(jì)算穩(wěn)定性能較差，原因在于物理量F的平均值守恒并不能保證其絕對(duì)值不無(wú)限增長(zhǎng)。為此，需要進(jìn)一步來(lái)設(shè)計(jì)能使物理量F2守恒的所謂的二次守恒差分格式。空間平滑的意義在數(shù)值模式積分過(guò)程中，非線性相互作用會(huì)產(chǎn)生波長(zhǎng)為2-4倍格距的短波擾動(dòng)，而短波系統(tǒng)能量的迅速增長(zhǎng)，會(huì)引起不穩(wěn)定現(xiàn)象，有時(shí)甚至?xí)箶?shù)值積分中斷。為了濾除數(shù)值模式積分過(guò)程中的短波擾動(dòng)，有效地抑制非線性計(jì)算不穩(wěn)定，通常采用空間平滑濾波的方法。三點(diǎn)平滑響應(yīng)函數(shù)如果取S=1/2，則有S=1/2(下方實(shí)線)和S=-1/2（上方實(shí)線）的濾波曲線波長(zhǎng)為L(zhǎng)=2Dx的波動(dòng) 完全濾除L2Dx的波用不同程度的衰減而L很大的波并未受到影響多重平滑多次平滑對(duì)波長(zhǎng)較長(zhǎng)的波具有相當(dāng)嚴(yán)重的衰減