雙曲線經(jīng)典內(nèi)容

1、雙曲線的標準方程知識要點：（1）雙曲線的概念平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動點軌跡是雙曲線（|PF1 | | PF21| 2a）。注意：、上式中是差的絕對值，在 0 2a |F1F21條件下；|PR| | PF2 | 2a時為雙曲線的一支（含F(xiàn)2的一支）；|PF2| |PF1 | 2a時為雙曲線的另一支（含 的一 支）；、當2a |F1F2 |時，|PF1 | |PF2 | 2a表示兩條射線；當|PF1| |PF2| 2a 不表示任何圖形；兩定點焦距。橢圓和雙曲線比較：橢|PF1| |PF2|2x2a2aF1,F2叫做雙曲線的焦點，IF1F2I 時， | F1F2 |叫做定義方程焦占

2、八 、八、2yF( c,0)2a(2a2xb7圓IF1F21)2L 12a2 x 2 a雙曲|PF1| | PF2 | 2a(2a2y_ 1b212 y2 a線IF1F2I)2乙1b21(2)雙曲線的性質(zhì)、范圍：從標準方程a側(cè)。即 x2 a2， x2、對稱性：雙曲線務(wù)a稱軸，原點是雙曲線F(0, c)F( c,0)F(0, c)2-y2 1，看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線x a的外b2a即雙曲線在兩條直線 xa的外側(cè)。2y_b22x2a1關(guān)于每個坐標軸和原點都是對稱的，這時，坐標軸是雙曲線的對21的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。b2、頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲

3、線的頂點。軸，所以令y 0得x a，因此雙曲線和2x2a22在雙曲線篤 與 1的方程里，對稱軸是x,ya bx軸有兩個交點 A （ a,0）A2（a,0），他們是雙曲線21的頂點。b21） 注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點），雙曲線的頂點分 別是實軸的兩個端點。2） 實軸：線段A A2叫做雙曲線的實軸，它的長等于 2a,a叫做雙曲線的實半軸長。虛軸：線段B B2叫做雙曲線的虛軸，它的長等于2b,b叫做雙曲線的虛半軸長 、漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲2 2線的漸近線。從圖上看，雙曲線 丿y 1的各支向外延伸時，與這兩條直

4、線逐漸接a2 b2近。 、等軸雙曲線：1） 定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：a b ；2） 等軸雙曲線的性質(zhì)：（1 ）漸近線方程為：y x ； （ 2 ）漸近線互相垂直注意：以上幾個性質(zhì)與定義式彼此等價。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙 曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。3）注意到等軸雙曲線的特征 a b，則等軸雙曲線可以設(shè)為：x2 寸 （0）當 0時交點在x軸，當0時焦點在y軸上1的區(qū)別：三個量a,b,c中a, b不同（互換）c相同，還2 2 2 2 注意乞乙i與1 169916有焦點所在的坐標軸也變了。（3）、理解雙曲線應(yīng)注意的幾點1、橢圓的離心率是描述橢圓扁平

5、程度的一個重要數(shù)據(jù)同樣，雙曲線的離心率是描述雙曲線“張口”大小的一個重要數(shù)據(jù)，由于從接近1逐漸增大時，的值就從接近逐漸增大，雙曲線的“張口”逐漸增大2、要掌握根據(jù)雙曲線的標準方程求它的漸近線方程的求法把標準方程中的“1”用替換即可得出漸近線方程3、已知漸近線方程求雙曲線的標準方程的方法：、漸近線方程為的雙曲線的方程為：且為常數(shù)）、與雙曲線有共同漸近線的雙曲線的方程可設(shè)為且為常數(shù)）例題：1已知圓C: (x 3)2y24,定點A (-3,0 )，則過定點 A且與圓C外切的動圓圓心 P的軌跡方程32、 雙曲線的漸近線方程為y= -x,則雙曲線的離心率為42 23、 若k R,試寫出方程 =1表示雙曲

6、線的一個充分不必要條件 k 3 k 32 24、已知圓C過雙曲線 - =1的一個頂點和一個焦點，且圓心在此雙曲線上，則圓心到916雙曲線中心的距離是2 25、 已知曲線方程為 X +_=i，當k的取值范圍是 時，方程表示雙曲線。k 25 k2 26、 已知雙曲線 -=1的焦點為Fi、F2,點M在雙曲線上且 MR x軸，則Fi到直線F2 M63的距離為7、 一條雙曲線 x2- y2=1的左焦點為Fi，點P在雙曲線左支的下半支上(不含左頂點)，則直線PF1的斜率的取值范圍是 2 2x y8、 雙曲線-=1的兩個焦點為F1、F2，點P在雙曲線上，若PF1PF2 ,則點P到916x軸的距離為29、 設(shè)

7、F1和F2為雙曲線y21的兩個焦點，點 P在雙曲線上且滿足FF2=60 ，4貝yf1pf2的面積為2 210、已知雙曲線務(wù)-=1 (a0,b0 )的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60的直線與雙a2 b2曲線的右支有且僅有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是 x2 y211、 雙曲線 -亍=1 (a0,b0 )的左右焦點分別為F1、F2，過F1作傾斜角為30的直a b線交雙曲線右支于 M點，若MF2垂直于x軸，則雙曲線的離心率為 2y1的左、右焦點，b2O為坐標原點，點 P在雙曲線的左支2x12、若F1、F2為雙曲線a上，點M 在雙曲線的右準線上， 且滿足FiO PM, OP0),則該雙曲線的

8、離心率為().313、已知雙曲線的方程為2x2a2yT =1 (a0,b0 ),點A.B在雙曲線的右支上，線段AB經(jīng)過b2雙曲線的右焦點F2,AB=m,Fi為另一焦點，貝UABFi的周長14、求適合下列條件的雙曲線標準方程：53(1)虛軸長為12,離心率為一 (2)頂點間距離為6,漸近線方程為y= - x4215、已知圓C: x2 y2(3)求與雙曲線x2 2y2 1有公共漸近線，且過點M(2, -2 )的雙曲線方程。6x 4y 80.以圓C與坐標軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和頂點，則適合上述條件的雙曲線的標準方程為?3 2 216、已知雙曲線的漸近線方程為y= x,且焦點都在圓 x y

9、100上，求雙曲線方程42 217、橢圓芻+務(wù)=1 ( ab0)與雙曲線a2 b2m22y2n1 (m,n0)有公共焦點，P是它們的一個公共點。(1 )用 b 和 n 表示 cosF1P F2(2)設(shè) SF1PF2 =f(b,n),求 f(b,n),18、雙曲線的中心在原點，實軸在x軸上，且與圓x2 y25交于點P(2，-1)。如果過點P的圓的切線恰平行于雙曲線的左頂點與虛軸的上端點的連線，求雙曲線的方程19、已知雙曲線的中心在原點，焦點F,、F2在坐標軸上，離心率為 2且過點(4，-0 )(1)求雙曲線方程(2)若點m(3，m在雙曲線上，求證點M在以戸、F2為直徑的圓上(3)求F,MF2的面

10、積20、已知雙曲線C的方程為2x2a215y2 =1 ( a0,b0)，離心率e=，頂點到漸近線的距離b2(1 )求雙曲線C的方程；(2)P是雙曲線C上一點A,B兩點在雙曲線 C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限,-一 1若AP PB,2，求AOB面積的取值范圍321、已知三點 P( 5，2)、F1 (- 6, 0)、F2 (6, 0)。(1) 求以F1、F2為焦點且過點P的橢圓的標準方程；(2) 設(shè)點P、F1、F2關(guān)于直線y = x的對稱點分別為 P、F；、F?，求以F；、F?為焦 點且過點P的雙曲線的標準方程.習(xí)題練習(xí)：1 動點P到點M(1,0)及點N(3,0)的距離之差為2，則點P的

11、軌跡是()A 雙曲線B 雙曲線的一支C 兩條射線D 一條射線2.設(shè)雙曲線的半焦距為 c ,兩條準線間的距離為 d，且c d，那么雙曲線的離心率 e等于 ( )A 2B 3C. 、2D 、33過雙曲線的一個焦點F2作垂直于實軸的弦PQ , F1是另一焦點” PFiQ -，則 雙曲線的離心率e等于()A. 21B.,2C.214.雙曲線2 mx2y1的虛軸長是實軸長的2倍，則m()11A .B.4C . 4D .-44225.雙曲線x2y1(a,b0)的左、右焦點分別為F1， F2，點P為該雙曲線在第 象限ab22,則該雙曲線的方程為1的點， PF1F2 面積為 1,且 tan PF1F2,tan PF2F12( )12x2 A .- 53y2B .區(qū) 3y21122xD 36.如果方程1表示曲線，則下列橢圓中與該雙曲線共焦點的是7.2A .2q p2y- 1q2x2q p2y_px2c .2