輪復(fù)習(xí)函數(shù)與方程

1、新課標(biāo)高中一輪總復(fù)習(xí),第二單元 函 數(shù),第13講,函數(shù)與方程,結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程的根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù).結(jié)合具體函數(shù)的圖象，能用二分法求近似解,1.若函數(shù)f(x)=ax-b(b0)有一個零點,那么函數(shù)g(x)=bx2+3ax的零點是,0,-1,因為函數(shù)f(x)=ax-b(b0)的零點是，所以x=3是方程ax-b=0的根，所以b=3a.將它代入函數(shù)g(x)=bx2+3ax中，可得g(x)=bx(x+1),令g(x)=0,得x=0或x=-1,2.已知函數(shù)f(x)=x3-x-1僅有一個正零點，則此零點所在區(qū)間是(,C,A.(3,4) B.(2,3) C

2、.(1,2) D.(0,1,利用零點存在的判定條件，判斷零點存在的區(qū)間.由于f(0)=-10,f(3)=230,f(4)=590.根據(jù)選擇支只有區(qū)間（1，2）滿足,3.（2010山東省實驗中學(xué)模擬）函數(shù)f(x)=3ax+1-2a,在區(qū)間(-1,1)上存在一個零點,則a的取值范圍是(,C,A.-1 C.a 或a-1 D.a-1,令f(-1)f(1) 或a-1，故選C,4.(2010山東棗莊模擬)已知函數(shù)f(x)=( )x-log2x,若實數(shù)x0是方程f(x)=0的解，且0 x1x0，則f(x1)的值為(,A,A.恒為正值 B.等于0 C.恒為負(fù)值 D.不大于0,因為f(x)在定義域（0，+）上單

3、調(diào)遞減，當(dāng)x0時，f(x)+. 因為f(x0)=0，所以f(x)=0只有一個實根. 所以當(dāng)00恒成立，故選A,5.設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且2a=log a，( )b=log b,( )c=log2c,則a、b、c的大小關(guān)系是,cab,考察函數(shù)f(x)=2x與g(x)=log x的圖象的交點知， 1，所以cab,1.函數(shù)的零點 (1)對于函數(shù)y=f(x),我們把使 .叫做函數(shù)y=f(x)的零點. (2)方程f(x)=0有實根 函數(shù)y=f(x)的圖象 函數(shù)y=f(x) . (3)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且 ,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有 ,即存

4、在c(a,b)，使得 ,這個c也就是方程f(x)=0的根,f(x)=0的實數(shù)x,與x軸有交點,有零點,f(a)f(b)0,零點,f(c)=0,2.二分法 (1)對于在區(qū)間a,b上連續(xù)不斷且f(a)f(b)0的函數(shù)y=f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間 ,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近 ，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做 . (2)給定精確度，用二分法求函數(shù)f(x)的零點近似值的步驟如下,一分為二,零點,二分法,第一步，確定區(qū)間a,b，驗證f(a)f(b)0,給定精確度;第二步，求區(qū)間(a,b)的中點c;第三步，計算f(c); ()若f(c)=0，則c就是函數(shù)的零點； ()若f(a)f(c)

5、0,則令b=c(此時零點x0(a,c); ()若f(c)f(b)0,則令a=c(此時零點x0(c,b). 第四步,判斷是否達(dá)到精確度:即若|a-b|，則得到零點近似值a(或b);否則重復(fù)第二、三、四步,題型一 函數(shù)零點的判斷,例1,1)已知區(qū)間(-2，-1)，(-1，0)，(0，1)，(1，2)，(2，3)，則三次方程x3+x2-2x-1=0在哪些區(qū)間上有根? (2)判斷方程3x+x2-2x-1=0根的個數(shù)及符號,1)令f(x)=x3+x2-2x-1， 則f(-2)f(-1)=(-1)1=-10， 所以方程在(-2,-1)上有根， 同理皆可，故所求區(qū)間為. (2)令y=3x,y=-x2+2x+

6、1=-(x+1)2+2,則原方程的根即為兩函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)，如圖，兩交點的橫坐標(biāo)，一個小于0，一個等于0 ，故原方程有兩個根，其一為負(fù)，其一為0,1)當(dāng)方程的根可能存在的區(qū)間已知時，用零點存在定理判斷即可,如(1);當(dāng)根可能存在的區(qū)間未知時,要構(gòu)造函數(shù)，觀察圖象.研究一個函數(shù)的零點,還是兩個函數(shù)圖象的交點,前提是函數(shù)能否易于作出圖象.再如求x+|lgx|=2的實根的個數(shù),可考察函數(shù)y=|lgx|,y=2-x的交點的個數(shù). (2)兩函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，常轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的零點個數(shù)問題，進(jìn)而由零點存在定理判斷，必要時要考察函數(shù)的單調(diào)性,已知函數(shù)f(x)=ex-k-x，其中xR. （1）k=0時

7、，求函數(shù)f(x)的值域； （2）當(dāng)k1時，函數(shù)f(x)在k,2k內(nèi)是否存在零點，并說明理由,所以f(x)在（-,0)內(nèi)單調(diào)遞減. x(0,+)時，f(x)0， 所以f(x)在(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增， 所以x=0時，f(x)取到極小值. 又因為這個極小值是R上的惟一的極小值， 所以x=0時，f(x)min=f(0)=1， 即函數(shù)f(x)的值域為1,1)當(dāng)k=0時，f(x)=ex-x，f(x)=ex-1. 令f(x)=0，得x=0.又x(-,0)時，f(x)0,因為k1，所以1-k0. 又g(k)=ek-2,當(dāng)k1時,g(k)e-20， 所以k(1,+)，g(k)為增函數(shù)， 所以g(k)g(1)0,

8、 所以k1時，ek-2k0， 所以f(k)f(2k)1時在k,2k內(nèi)存在零點,2)f(k)f(2k)=(ek-k-k)(e2k-k-2k) =(1-k)(ek-2k,題型二 函數(shù)零點的性質(zhì)的應(yīng)用,已知aR，函數(shù)f(x)=x2+2ax+1，如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間-1,1上有零點，求a的取值范圍,例2,0 a=1， 此時當(dāng)a=1時，x=-1-1，1；當(dāng)a=-1時，x=1-1,1，合乎題意,f(x)在區(qū)間-1,1上只有一個零點且不是f(x)=0的重根,此時有f(-1)f(1)1或a0 f(-1)0 f(1)0 -1- 1 綜上知，函數(shù)f(x)=x2+2ax+1在-1,1上有零點，則a的取值范圍是

9、(-,-11,+),a,則有,1.二次函數(shù)零點的個數(shù)就是方程ax2+bx+c=0的實根個數(shù)，一般的，由0、=0、0判斷. 2.在閉區(qū)間上零點的個數(shù)應(yīng)由零點判定定理及函數(shù)圖象性質(zhì)一并實施,題型三 二分法,例3,2009山東模擬）用二分法求函數(shù)f(x)=x3-x-1在區(qū)間1,1.5內(nèi)的一個零點(精確度為0.1,由于f(1)=1-1-1=-10， 所以f(x)在區(qū)間1,1.5內(nèi)存在零點，取區(qū)間1,1.5作為計算的初始區(qū)間,用二分法逐次計算列表如下,因為|1.375-1.3125|=0.06250.1,所以函數(shù)的零點落在區(qū)間長度小于0.1的區(qū)間1.3125,1.375內(nèi),故函數(shù)零點的近似值為1.312

10、5,1.求函數(shù)零點的近似值的關(guān)鍵是判斷二分法求值過程中，區(qū)間長度是否小于精確度,當(dāng)區(qū)間長度小于精確度時,運(yùn)算結(jié)束，而此時取的中點值即為所求，當(dāng)然也可取區(qū)間端點的另一個值. 2.“精確度”與“精確到”是兩個不同的概念，精確度最后的結(jié)果不能四舍五入，而精確到只需區(qū)間兩個端點的函數(shù)值滿足條件，即取近似值之后相同，則此時四舍五入的值即為零點的近似解,關(guān)于x的方程|e|lnx|-2|=t(0t1),其中t是常數(shù)，則方程根的個數(shù)是,原方程根的個數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù) y=|e|lnx|-2|與y=t的圖象的交點問題，因此必須先作出函數(shù)y=|e|lnx|-2|的圖象.此函數(shù)的定義域為(0,+)， |e|lnx

11、|-2|=|x-2|(x) | -2|(0 x1). 由圖可得,函數(shù)y=|e|lnx|-2| 與y=t的圖象有個交點, 從而原方程有個根,化簡函數(shù)y,1.二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根分布問題，既可以運(yùn)用公式法先求出方程的根，再列出等價條件組，也可以引入二次函數(shù)，由函數(shù)的圖象特征列出等價的條件組，應(yīng)因題而異，優(yōu)化解題的思路,2.函數(shù)與方程這一節(jié)內(nèi)容滲透了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，解題時需具有敏銳的觀察力和較強(qiáng)的等價轉(zhuǎn)化問題的能力，把復(fù)雜的問題化歸為二次方程或二次函數(shù)問題，再運(yùn)用等價轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、分離參數(shù)方法、分類討論思想等解決問題,3.二分法求方程近似解的過程中，解法的程序框圖

12、蘊(yùn)涵著算法思想、符號化、模型化的思想.這些思想是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要思想，是信息技術(shù)與數(shù)學(xué)內(nèi)容有機(jī)的整合.在學(xué)習(xí)中注意體會并加以運(yùn)用，有利于我們數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)、綜合素質(zhì)的提高,2009遼寧卷)若x1滿足2x+2x=5,x2滿足2x+2log2(x-1)=5,則x1+x2=(,C,A. B. 3 C. D. 4,由題意，2x1+2x1=5， 2x2+2log2(x2-1)=5， 所以2x1=5-2x1,則x1=log2(5-2x1), 即2x1=2log2(5-2x1).令2x1=7-2t,代入上式得7-2t=2log2(2t-2)=2+2log2(t-1), 所以5-2t=2log2(t-1)，與式比較得t=x2,于是2x1=7-2x2，所以有x1+x2,2009山東卷)若函數(shù)f(x)=ax-x-a(a0且a1)有兩個零點,則實數(shù)a的取值范圍是,1,設(shè)函數(shù)y=ax(a0,且a1