Hilbert希爾伯特環(huán)變換[精制研究]

1、黃鍔院士在On Holo-Hilbert spectral analysis: a full informational spectral representation for nonlinear and non-stationary data中提出一種高維全息譜分析理論HHSA(Holo-Hilbert spectral analysis)要理解HHSA方法，首先要了解希爾伯特變換、經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(EMD)、與希爾伯特-黃變換(HHT)。學(xué)術(shù)背景： 在信號處理與頻譜分析的目的是要描述信號的頻譜含量在時間上變化，以便能在時間和頻譜上同時表示信號的能量或者強度。傅里葉頻譜并沒有告訴我們哪些頻率在什

2、么時候出現(xiàn)。因此傅里葉變換無法表現(xiàn)信號頻率成分的時變性，因此學(xué)術(shù)界先后發(fā)展出了短時傅里葉變換、窗口傅里葉變換、小波等手段，近似的求信號某一時刻的瞬時頻率。希爾伯特變換：希爾伯特變換是以著名數(shù)學(xué)家大衛(wèi)希爾伯特(David Hilbert)來命名。通過希爾伯特變換，使得我們對短信號和復(fù)雜信號的瞬時參數(shù)的定義及計算成為可能，能夠?qū)崿F(xiàn)真正意義上的瞬時頻率的提取，因而希爾伯特變換在信號處理上具有十分重要的地位，使得希爾伯特變換具有廣泛的工程應(yīng)用。但在進一步的工程應(yīng)用中，希爾伯特變換具有以下缺陷：(1) 希爾伯特變換只能近似應(yīng)用于窄帶信號。但實際應(yīng)用中，存在許多非窄帶信號，希爾伯特變換對這些信號無能為力。

3、即便是窄帶信號，如果不能完全滿足希爾伯特變換條件，也會使結(jié)果發(fā)生錯誤。而實際信號中由于噪聲的存在，會使很多原來滿足希爾伯特變換條件的信號無法完全滿足； (2) 對于任意給定時刻，通過希爾伯特變換運算后的結(jié)果只能在一個頻率值，即只能處理任何時刻為單一頻率的信號； (3) 對于一個非平穩(wěn)的數(shù)據(jù)序列，希爾伯特變換得到的結(jié)果很大程度上失去了原有的物理意義。圖1 傅立葉、小波與希爾伯特-黃變換對瞬時頻率的分辨率希爾伯特-黃變換： 針對上述的三個問題，黃鍔院士在1998年提出希爾伯特-黃變換(HHT)。其基本思想是：講一個非穩(wěn)態(tài)、非線性的信號分解為若干個穩(wěn)態(tài)信號，在對分解后的信號進行希爾伯特變換，分別求取

4、對應(yīng)的瞬時頻率。在這里將非穩(wěn)態(tài)、非線性信號分解為多個穩(wěn)態(tài)信號的算法成為經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(EMD)，EMD算法是希爾伯特-黃變換的核心，也是其能處理非穩(wěn)態(tài)信號與非線性信號的關(guān)鍵。經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(EMD)EMD方法被認為是2000年來以傅立葉變換為基礎(chǔ)的線性和穩(wěn)態(tài)頻譜分析的一個重大突破，該方法是依據(jù)數(shù)據(jù)自身的時間尺度特征來進行信號分解，無須預(yù)先設(shè)定任何基函數(shù)。這一點與建立在先驗性的諧波基函數(shù)和小波基函數(shù)上的傅里葉分解與小波分解方法具有本質(zhì)性的差別。正是由于這樣的特點，EMD 方法在理論上可以應(yīng)用于任何類型的信號的分解， 因而在處理非平穩(wěn)及非線性數(shù)據(jù)上，具有非常明顯的優(yōu)勢,適合于分析非線性、非平穩(wěn)信號序列

5、，具有很高的信噪比。所以，EMD方法一經(jīng)提出就在不同的工程領(lǐng)域得到了迅速有效的應(yīng)用，例如用在海洋、大氣、天體觀測資料與地震記錄分析、機械故障診斷、動力系統(tǒng)的阻尼識別以及大型土木工程結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識別等方面。EMD能使復(fù)雜信號分解為有限個本征模函數(shù)（Intrinsic Mode Function，IMF），所分解出來的各IMF分量包含了原信號的不同時間尺度的局部特征信號。然后進行希爾伯特變換獲得時頻譜圖，得到有物理意義的頻率。本征模函數(shù)(IMF） 在物理上，如果瞬時頻率有意義，那么函數(shù)必須是對稱的，局部均值為零，并且具有相同的過零點和極值點數(shù)目。在此基礎(chǔ)上，NordneE.Huang等人提出了本

6、征模函數(shù)（Intrinsic Mode Function，簡稱IMF）的概念。本征模函數(shù)任意一點的瞬時頻率都是有意義的。Huang等人認為任何信號都是由若干本征模函數(shù)組成，任何時候，一個信號都可以包含若干個本征模函數(shù)，如果本征模函數(shù)之間相互重疊，便形成復(fù)合信號。EMD分解的目的就是為了獲取本征模函數(shù)，然后再對各本征模函數(shù)進行希爾伯特變換，得到希爾伯特譜。Huang認為，一個本征模函數(shù)必須滿足以下兩個條件：(1) 函數(shù)在整個時間范圍內(nèi)，局部極值點和過零點的數(shù)目必須相等，或最多相差一個；(2) 在任意時刻點，局部最大值的包絡(luò)（上包絡(luò)線）和局部最小值的包絡(luò)（下包絡(luò)線） 平均必須為零。EMD分解為IM

7、F過程：例如：某一信號如下所示：第一步，找出信號中的局部最大值，并使用三次樣條擬合成一條包絡(luò)線，如下圖所示：第二步，找出信號中的局部最最小值，并使用三次樣條擬合成一條包絡(luò)線，如下圖所示： 第三步，局部最大值包絡(luò)線減去局部最小值包絡(luò)線，如下圖所示：第四步，原始信號減去均值包絡(luò)線即使第一個分量IMF1，如下圖所示對IMF1進行同樣操作可以獲得第二個IMF2，如此反復(fù)，獲得所有IMF，如下圖所示：在HHT中，對部分的非線性的信號不能很好的識別，例如一個正弦波與噪聲信號乘積所產(chǎn)生的信號，雖然可以通過HHT變換識別出來，但不清楚具體細節(jié)。信號加上高斯噪聲，與信號乘上高斯噪聲兩種方式噪聲引入信號后，所對應(yīng)

8、的頻譜，其中綠色虛線為原正弦波頻譜，藍色實線為噪聲頻譜，紅色為信號頻譜?？梢园l(fā)現(xiàn)正弦波乘上噪聲后的頻譜中完全沒有原信號的頻率成分。而當(dāng)前的HHT中可以觀察到一部分的正弦波成分，但卻缺失正弦波的關(guān)鍵信息。在這里黃鍔認為，雖然在整個信號上的頻率分布不清楚，但在分解后的IMF中，能量的分布與原信號相一致，即在IMF中的幅值是即關(guān)于頻率也關(guān)于時間的函數(shù)。即黃鍔最新提出的HHSA方法是一個同是體現(xiàn)時域-頻域-能量域(幅值)的方法，如下圖所示主要應(yīng)用哈佛醫(yī)學(xué)院用HHT來測量心率不整約翰霍普金斯公共衛(wèi)生學(xué)院用它來測量登革熱的擴散海軍用它來探測潛艇地震工程、地球物理探測、衛(wèi)星資料分析潛艇設(shè)計、結(jié)構(gòu)損害偵測潮汐

9、、波浪場等各項研究在腦機上的應(yīng)用目前HHT作為經(jīng)典的非線性系統(tǒng)分析方法，在腦機上早有大量應(yīng)用。上述的分析表明HHT與HHAS均是對信號進行經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解的基礎(chǔ)上進行的。而經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解一個很重要的特點是依靠信號自身的特性分解為若干個IMF，通過對這些分解后的IMF分析，進而判斷信號的特性。因此從HHT與HHAS的應(yīng)用場合上可以看出，其分析的信號多是能反復(fù)出現(xiàn)的、有規(guī)律的、非線性的、非穩(wěn)態(tài)的信號。在腦機上，HHT與的典型應(yīng)用是針對腦信號經(jīng)常穩(wěn)定在某一狀態(tài)上的場景，大腦在這些狀態(tài)下的腦電信號是可以穩(wěn)定復(fù)現(xiàn)的，即使是腦電信號本身非穩(wěn)態(tài)、非線性，但分解出的信號是類似的。例如長期失眠、抑郁狀態(tài)、或高度睡眠、注意力高度集中下，其分解的信號是比較“純凈”的，可以作為參考的。而人腦在一般的思維過程中產(chǎn)生的信號是很難分解出與有具體含義的成分的。這是有算法本身所決定的，因為依靠信號本身特性分解，沒有一個共同的“基”，因此一旦腦電信號解析出來的沒有對應(yīng)參考，就無法判斷大腦狀態(tài)。因此與在神經(jīng)學(xué)上檢測睡眠、失眠、抑郁，即其他大腦長期處于某種狀態(tài)的疾病，具有較好的應(yīng)用。此外課題組曾在2015年的暑假期間，使用算法對類的運動想象信號進行識別分類，在離線數(shù)據(jù)集上達到的正確率，而在實際測試中發(fā)現(xiàn)，