N維向量的外積

1、若向量a叉乘向量b得c，由向量積的性質(zhì)，c是一個(gè)垂直于a,b的向量，則1、若a,b是二維的，則(一般)不可能存在3個(gè)二維向量互相垂直2、若a,b是四維或更高維的，則又至少有兩個(gè)向量與a,b互相垂直對(duì)于1，c是不可定義的，對(duì)于2，c得定義似乎是歧義的(?)Q0. 所以，向量積只存在于三維向量中？其實(shí)想起這個(gè)事是想用向量積算面積的，于是有下面的問題：Q1. 對(duì)于兩個(gè)n維向量，是否存在一個(gè)關(guān)于坐標(biāo)的運(yùn)算，其結(jié)果是這兩向量所夾平行四邊形的面積？或者類似于向量積，其結(jié)果是個(gè)向量而其模是面積？自然的，三維里面還有個(gè)混合積的東西，這東西在高數(shù)書里使用行列式定義的，三個(gè)三維向量算行列式?jīng)]問題，三個(gè)四維向量就b

2、ug了.于是有Q2.對(duì)于三個(gè)n維向量，是否存在一個(gè)關(guān)于坐標(biāo)的運(yùn)算，其結(jié)果是這三個(gè)向量所夾平行六面體的體積？類似的，可以發(fā)散成下面這個(gè)很泛化的問題Q3. n維空間中的m個(gè)向量可唯一確定一個(gè)m維超立方體，如何通過這些向量的坐標(biāo)計(jì)算超立方體的體積？(顯然不一定立方，但也不知道怎么稱呼.)假定你學(xué)過線性代數(shù)，不然沒法講向量積有很多名字，比如說叉積、外積。它的推廣也有很多種。不過，要回答你這個(gè)問題，我們還是用外積這個(gè)名字吧。為什么不用向量積這個(gè)名字呢？向量的模表示的是一個(gè)長(zhǎng)度，兩個(gè)向量的外積的模表示的卻是一個(gè)面積。雖然我們習(xí)慣了，但細(xì)想起來這還是有點(diǎn)不自然的。而且，如果把兩個(gè)向量的外積當(dāng)作一個(gè)向量的話，

3、這個(gè)向量是依賴于坐標(biāo)系的。也就是說，它在坐標(biāo)變換下不能保持不變。這實(shí)在不是什么好的性質(zhì)。從物理學(xué)的角度來看，它們的量綱也是不同的。也就是說，我們應(yīng)該把它們區(qū)分開來看，把向量與向量的外積看成是不同的東西；至少看成是不同的空間中的向量。那么，應(yīng)該把向量的外積看作是什么東西呢？考慮三維空間里的一組基，它們對(duì)應(yīng)于3條坐標(biāo)軸。兩個(gè)向量的外積是一個(gè)“面積向量”，于是可以想象，如果把全體“面積向量”組成的線性空間記作的話，的基底可以取成對(duì)應(yīng)于3個(gè)坐標(biāo)平面（對(duì)，恰好也是3個(gè)）。把這組基記為。這里用了這個(gè)符號(hào)，這是外代數(shù)里表示外積的符號(hào)，叫做wedge，是楔子的意思，因此外積也叫楔積。為了方便，我們還可以增加一

4、些約定。由一個(gè)向量和它自己張成的“平行四邊形”（可以看成是退化的平行四邊形）面積為0，于是可以約定、。另一方面，在考慮物理等實(shí)際問題的時(shí)候定向是很重要的，從正面看過去的“面積”和從反面看過來的“面積”可以看成是相反的，所以可以約定：、。這樣一來，我們已經(jīng)定義好了對(duì)于三個(gè)基底這個(gè)該怎么算。于是，很容易把這個(gè)雙線性地延拓成一個(gè)的運(yùn)算。比如說，對(duì)于和，就等于有沒有發(fā)現(xiàn)這有結(jié)果看起來點(diǎn)熟悉？如果把最后的換成，換成，換成，這就是我們熟悉的“向量積”了。但我們不換。對(duì)于面積，我們有了。于是很自然地想到，對(duì)于體積，我們也應(yīng)該有個(gè)。而且，它的一組基是。也就是說，是一個(gè)一維的向量空間。然后約定，對(duì)于，如果調(diào)換其

5、中兩項(xiàng)，得到的就是原來的乘以-1，比如說。這樣，如果中有兩項(xiàng)是一樣的，比如說，那么調(diào)換這兩項(xiàng)的次序，就有，于是它只能等于0。這樣，和前面類似，我們就可以定義三個(gè)向量的外積了。經(jīng)過驗(yàn)算（具體過程我就不寫了）就會(huì)發(fā)現(xiàn)：三個(gè)向量的外積就是我們熟悉的混合積，當(dāng)然還要乘上一個(gè)。再看一遍前面的過程，就會(huì)發(fā)現(xiàn)“三”這個(gè)維數(shù)在這里并沒有起到什么特別的作用，頂多是使得的維數(shù)和恰好一樣。于是，我們可以把這些東西推廣到任意一個(gè)有限維的向量空間。也就是說，對(duì)一個(gè)維的向量空間，取它的一組基。這樣，對(duì)，就可以取為由張成的向量空間（這個(gè)空間是維的）。然后約定，對(duì)（這里不要求），如果調(diào)換其中兩項(xiàng)，得到的東西等于原來的乘以-1

6、。然后就可以像前面那樣那樣定義個(gè)維向量的外積。然后，這個(gè)外積（在這個(gè)維空間中）的模就是你所問的那個(gè)“體積”了。特別地，在的時(shí)候，是個(gè)一維空間，個(gè)維向量正好可以排成一個(gè)的方陣，這些向量外積正好相當(dāng)于這個(gè)矩陣的行列式（具體的我也不算了）。到目前為止已經(jīng)回答了你的全部問題。不過，中兩個(gè)向量取了一下外積就到了里，中的東西再和中的東西取外積又到了里這樣總有點(diǎn)不方便。于是我們可以把它們統(tǒng)一一下。我們把實(shí)數(shù)域當(dāng)作一維的向量空間，就記作，約定它和其他東西的外積就等于數(shù)乘。然后把自己記作。然后取所有這些直和，得到，記作。它也是個(gè)向量空間。除了向量空間的結(jié)構(gòu)，這個(gè)東西上面還有一個(gè)外積運(yùn)算。我們把這個(gè)東西叫做外代數(shù)。前面都是先選了上的一組基，然后才定義出這么一堆東西。其實(shí)它們的定義也可以不依賴于基的選取，不過要先講張量什么的，我這里就不介紹了。外代數(shù)還有個(gè)叫“泛性質(zhì)”的性質(zhì)（這段看不懂就算了）：對(duì)任一個(gè)結(jié)合代數(shù)（這里說的“結(jié)合代數(shù)”指的是有某種形式的“乘法”運(yùn)算，而且這個(gè)運(yùn)算滿足結(jié)合律的向量空間，下面就把這個(gè)“乘法”記作）和任何一個(gè)線性映射，如果對(duì)中任一個(gè)元素都有，那么就有唯一的一個(gè)代數(shù)同態(tài)，使得，這里是到的嵌入，也就是把等同于中的那個(gè)。當(dāng)然，向量積還有別的一些推廣，不過我不是很了解，就不說了?？梢詤⒖季S基百科的Cross Product詞條。我這里只