戴維南定理例題

1、電子發(fā)燒友 電子技術(shù)論壇 第第四四章章 電電路路定定理理 重點：重點： 1、疊加定理、疊加定理 2、戴維南定理和諾頓定理、戴維南定理和諾頓定理 難點：難點： 1、熟練地運用疊加定理、戴維南定理和諾頓定理分析計算電路。、熟練地運用疊加定理、戴維南定理和諾頓定理分析計算電路。 2、掌握特勒根定理和互易定理，理解這兩個定理在路分析中的意義。、掌握特勒根定理和互易定理，理解這兩個定理在路分析中的意義。 4-1 疊疊加加定定理理 網(wǎng)絡(luò)圖論與矩陣論、計算方法等構(gòu)成電路的計算機輔助分析的基礎(chǔ)。其中網(wǎng)絡(luò)圖論 主要討論電路分析中的拓撲規(guī)律性，從而便于電路方程的列寫。 4.1.1 幾個概念幾個概念 1線性電路Li

2、near circuit 由線性元件和獨立源組成的電路稱為線性電路。 2激勵與響應(yīng)excitation and response 在電路中，獨立源為電路的輸入，對電路起著“激勵”的作用，而其他元件的電壓 與電流只是激勵引起的“響應(yīng)” 。 激勵 e 響應(yīng) r 系系 統(tǒng)統(tǒng) 3齊次性和可加性homogeneity property and additivity property “齊次性”又稱“比例性” ，即激勵增大 K 倍，響應(yīng)也增大 K 倍；“可加性”意為 激勵的和產(chǎn)生的響應(yīng)等于激勵分別產(chǎn)生的響應(yīng)的和。 “線性”的含義即包含了齊次性和 可加性。 齊次性： 電子發(fā)燒友 電子技術(shù)論壇 激勵 Ke 響

3、應(yīng) Kr 系系 統(tǒng)統(tǒng) 可加性： 激勵 e1 響應(yīng) r1 系系 統(tǒng)統(tǒng) 激勵 e2 響應(yīng) r2 系系 統(tǒng)統(tǒng) 激勵 e1+ e2 響應(yīng) r1+ r2 系系 統(tǒng)統(tǒng) 4.1.2 疊加定理疊加定理 1定理內(nèi)容 在線性電阻電路中，任一支路電流（電壓）都是電路中各個獨立電源單獨作用時在 該支路產(chǎn)生的電流（電壓）之疊加。此處的“線性電阻電路” ，可以包含線性電阻、獨 立源和線性受控源等元件。 2定理的應(yīng)用方法 將電路中的各個獨立源分別單獨列出，此時其他的電源置零獨立電壓源用短路 線代替，獨立電流源用開路代替分別求取出各獨立源單獨作用時產(chǎn)生的電流或電壓。 計算時，電路中的電阻、受控源元件及其聯(lián)接結(jié)構(gòu)不變。 4.1

4、.3 關(guān)于定理的說明關(guān)于定理的說明 1只適用于線性電路 2進行疊加時，除去獨立源外的所有元件，包含獨立源的內(nèi)阻都不能改變。 3疊加時應(yīng)該注意參考方向與疊加時的符號 4功率的計算不能使用疊加定理 4.1.4 例題例題 1 已知：電路如圖所示 電子發(fā)燒友 電子技術(shù)論壇 6V + I 5A + 2 UX 4 - 2 X U 4 5A + 2 UX 4 - 2 XU 6V + + 2 UX 4 - 2 X U 求：及兩個獨立源和受控源分別產(chǎn)生的功率。 X U 解：根據(jù)疊加定理，電路中電壓源和電流源分別作用時的電路如圖（b） 、 （c） 所示。 圖（b）中，根據(jù)節(jié)點法或直接根據(jù)克?；舴蚨珊蜌W姆定律可得

5、電路方程為： XX UU 2 1 5) 4 1 2 1 ( 解得：。VU X 4 圖（c）中，同樣也可根據(jù)節(jié)點法或直接根據(jù)克?；舴蚨珊蜌W姆定律可得電 路方程為： X XX U UU 2 1 4 6 2 解得：。VU X 2 . 1 根據(jù)疊加定理，VUUU XXX 8 . 2 對于獨立電壓源：，VUS6V U I X 6 . 3 2 8 . 2 5 2 5 因此，獨立電壓源的功率)( 6 . 216 . 36WIUP SUS 對于獨立電流源：，VIS5VUU X 8 . 2 因此，獨立電流源的功率)(148 . 25WUIP SIS 電子發(fā)燒友 電子技術(shù)論壇 對于受控源：，)(4 . 1 2

6、8 . 2 2 A U I X 受 )(8 . 88 . 266VUU X 受 因此，受控源的功率)(32.124 . 18 . 8WIUP 受受受 從這個例題可以看出，使用疊加定理時，當幾個獨立源單獨作用時的電路的分析應(yīng)從這個例題可以看出，使用疊加定理時，當幾個獨立源單獨作用時的電路的分析應(yīng) 該靈活地使用我們所學(xué)過的電路分析方法。該靈活地使用我們所學(xué)過的電路分析方法。 2 已知：如圖所示的電路中，網(wǎng)絡(luò) N 由線性電阻組成，當，時，A1 s iV2 s u ；當，時，。A5iA2 s iV4 s uV24u + - us i is + u 3 _ 網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)絡(luò) N 求：當，時，？A2 s iV6

7、s uu 解：所求的電壓 u 可以看作是激勵和產(chǎn)生的響應(yīng)，利用線性電路的線性性質(zhì)， s i s u 響應(yīng) u 與激勵和之間為一次線性函數(shù)關(guān)系： s i s u ss ukiku 21 根據(jù)已知條件，列寫聯(lián)立方程組， V4A)2(V24 V2A13A5 21 21 kk kk 可以解出，由此當，時， 5 . 13 1 k75 . 0 2 kA2 s iV6 s u )V( 5 . 31675 . 0 2 5 . 13 21 ss ukiku 4-2 替替代代定定理理 4.2.1 定理內(nèi)容定理內(nèi)容 給定任意一個線性電阻電路，其中第 k 條支路的電壓和電流已知，那么這條支 k u k i 路就可以用

8、一個具有電壓等于的獨立電壓源，或者一個具有電流等于的獨立電流源 k u k i 來代替，替代后的電路中的全部電壓和電流均將保持原值（即電路在改變前后，各支路 電子發(fā)燒友 電子技術(shù)論壇 電壓和電流均是唯一的） 。 4.2.2 關(guān)于定理的說明關(guān)于定理的說明 1定理中的支路可以含源，也可以不含源，但不含受控源的控制量或受控量； 2定理可以應(yīng)用于非線性電路； 3定理的證明略去，但可以根據(jù)“等效”的概念去理解。 4.2.3 例題例題 1已知：如圖所示 求：當？ 1 i + - I I 1V 2 10 0.5A + 1 2V I1 _ 2 4 + - I 1V 10 0.5A + U I1 _ 2 4 (

9、a) I 2 + + U 1 2V _ _ (b) 解：圖（a）中： 17 7 34 3 4/210 1 5 . 0 U U I 圖（b）中： 1 2 3 2 2 1 U UU I 由于對于外電路而言是等效的，因此，被劃開的支路的 VCR 應(yīng)相同： 1 2 3 17 7 34 3 UIU 電子發(fā)燒友 電子技術(shù)論壇 VU 9 8 這樣，就可以在圖（a）中計算待求量。 AI 9 1 42 4 4/210 1 ) 9 8 1 ( 1 4-3 戴戴維維南南定定理理和和諾諾頓頓定定理理 4.3.1 戴維南定理戴維南定理 一、定理內(nèi)容 一個含獨立電源、線性電阻和受控源的一端口，對外電路來說，可以用一個電壓

10、源 和電阻串聯(lián)的組合來等效置換，此電壓源的電壓等于一端口的開路電壓，而電阻等于一 端口的全部獨立源置零后的輸入電阻。 1 1 Req + uoc 1 1 - (a) (b) 1 1 + uoc Req - 1 1 (c) (d) NS 外外 電電 路路 NS 外外 電電 路路 N0 二、定理的證明 1 i(t) 1 i(t) + 替代定理 + iS(t) u(t) u(t) _ _ _ 1 1 (a) (b) N 外外 電電 路路 N疊 加 定 理 電子發(fā)燒友 電子技術(shù)論壇 網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)絡(luò) N 1 i(t) Req + + u(t) uoc _ _ 外外 電電 路路 1 ioc=0 1 i(t) +

11、 + iS(t) uoc uN0 _ _ (c) u(t) = uoc+ uN0 (d) NN0 N 的的除除源源網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)絡(luò) N 中中的的電電源源 產(chǎn)產(chǎn)生生的的響響應(yīng)應(yīng) )()()( 0 tiRutuutu eqocNoc 三、定理的使用 1將所求支路劃出，余下部分成為一個一端口網(wǎng)絡(luò)； 2求出一端口網(wǎng)絡(luò)的端口開路電壓； 3將一端口網(wǎng)絡(luò)中的獨立源置零，求取其入端等效電阻； 4用實際電壓源模型代替原一端口網(wǎng)絡(luò)，對該簡單電路進行計算，求出待求量。 4.3.2 諾頓定理諾頓定理 一、定理內(nèi)容 一個含獨立電源、線性電阻和受控源的一端口，對外電路來說，可以用一個電流源 和電阻并聯(lián)的組合來等效置換，此電流源的

12、電流等于一端口的短路電流，而電阻等于一 端口的全部獨立源置零后的輸入電阻。 電子發(fā)燒友 電子技術(shù)論壇 1 1 isc Req 1 1 (a) (b) 1 1 isc Req 1 1 (c) (d) NS 外外 電電 路路 NS 外外 電電 路路 N0 二、定理的證明 略。 三、定理的使用 與戴維南定理的用法相同。只是在第 2 點時變?yōu)榍笕∫欢丝诰W(wǎng)絡(luò)的短路電流。 4.3.3 最大功率傳遞定理最大功率傳遞定理 一、定理內(nèi)容 應(yīng)用 T-N 定理可以推出：由線性單口網(wǎng)絡(luò)傳遞給可變負載可變負載的功率為最大的條件是： 負載應(yīng)該與戴維南（諾頓）等效電阻相等。 + Ro i Uoc RL _ 設(shè)為變量，在任意

13、瞬間，其獲得的功率為： L R L Lo oc L R RR U Rip 22 )( 這樣，原電路問題變?yōu)椋阂詾楹瘮?shù)，為變量，求取在變量為何值時，其功 L Rp L R 率為最值。p 因為 電子發(fā)燒友 電子技術(shù)論壇 時，0 )( )( )( )(2)( 34 2 Lo Looc Lo LLoLo oc L RR RRU RR RRRRR U dR dp oL RR 而 0 8 3 2 2 2 o oc RR L R U dR pd oL 因此，即為使功率為最大值時的條件。 oL RR 二、說明 1 該定理應(yīng)用于電源（或信號）的內(nèi)阻一定，而負載變化的情況。如果負載電阻 一定，而內(nèi)阻可變的話，應(yīng)該

14、是內(nèi)阻越小，負載獲得的功率越大，當內(nèi)阻為零時，負載 獲得的功率最大。 2 線性一端口網(wǎng)絡(luò)獲得最大功率時，功率的傳遞效率未必為 50%。 （即由等效電 阻算得的功率并不等于網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部消耗的功率） o R 4.3.4 關(guān)于這兩個定理的說明關(guān)于這兩個定理的說明 1 十分重要，常常用以簡化一個復(fù)雜電路中不需要進行研究的有源部分，即將一 個復(fù)雜電路中不需要進行研究的有源二端網(wǎng)絡(luò)用戴維南或諾頓等效來代替，以利于其余 部分的分析計算。 2 如果外部電路為非線性電路，定理仍然適用。 3 并非任何線性含源一端口網(wǎng)絡(luò)都有戴維南或諾頓等效電路。如果一個單口網(wǎng)絡(luò) 只能等效為一個理想電壓源，那么它就不具有諾頓等效電路；相

15、同的，如果一個單口網(wǎng) 絡(luò)只能等效為一個理想電流源，那么它就不具有戴維南等效電路。具體的說明可以參看 有關(guān)參考文獻或資料。 （問題：何時會出現(xiàn)這種情況，可否舉出相應(yīng)的例子？） 4 當電路中存在受控源時使用這兩個定理要十分小心。外電路不能含有控制量在 一端口網(wǎng)絡(luò) NS之中的受控源，但是控制量可以為端口電壓或電流。因為在等效過程中， 受控量所在的支路已經(jīng)被消除，在計算外電路的電流電壓時就無法考慮這一受控源的作 用了。 4.3.5 例題例題 一、一、 戴維南定理戴維南定理 1已知：電路如圖所示 電子發(fā)燒友 電子技術(shù)論壇 + R1 c R3 US a b _ R2 d R4 I RL （a） + R1

16、c R3 US a b _ R2 d R4 + Uoc - (b) R1 R3 R2 R4 Req (c) 求：負載上的電流 I。 解：實際上這是我們在電子測量中常常遇到的實際上這是我們在電子測量中常常遇到的“電橋電橋”電路。可以分析出，如電路?？梢苑治龀觯?果用前面的果用前面的“支路法支路法” 、 “回路法回路法”或或“節(jié)點法節(jié)點法”計算負載電阻上流過的電流，都比較麻計算負載電阻上流過的電流，都比較麻 煩。而且這類問題只關(guān)系某一條支路的響應(yīng)，用前面的方法必然引入多余的電量。煩。而且這類問題只關(guān)系某一條支路的響應(yīng)，用前面的方法必然引入多余的電量。 1將負載電阻劃出 電路如圖（b）所示 2求一

17、端口網(wǎng)絡(luò)的開路電壓（這一部分可能會遇到復(fù)雜電路，就可以用網(wǎng)孔法或（這一部分可能會遇到復(fù)雜電路，就可以用網(wǎng)孔法或 節(jié)點法來解決）節(jié)點法來解決） )( 4321 3241 3 43 1 21 RRRR RRRR U R RR U R RR U UUUU s ss cbacaboc 3將一端口網(wǎng)絡(luò)內(nèi)的獨立電源置零，求其入端等效電阻 置零后，一端口網(wǎng)絡(luò)的電路如圖（c）所示， 。因此 )( )()( / 4321 21434321 4321 RRRR RRRRRRRR RRRRReq 電子發(fā)燒友 電子技術(shù)論壇 4對于負載電阻而言，原電路等效為 a Req Uoc + Uoc I - b S LL oc

18、U RRRRRRRRRRRRR RRRR RR U I )()()( 432121434321 3241 0 二、二、諾頓定理諾頓定理 1 已知：電路如圖所示 2.25k + I 12 _ 1k 2k 3k 2mA (a) 求：I。 解：1將待求支路從原電路中劃開，如圖（a） 2求 o R 將電路中的電源置零電壓源用短路線代替，電流源用開路代替，如圖（b）所 示： 2.25k Ro 1k 3k (b) kRo33/125 . 2 3求 sc I 應(yīng)用疊加定理。求取短路電流的電路如圖（c）所示。將它等效為圖（d）+圖（e）： 電子發(fā)燒友 電子技術(shù)論壇 + 2.25k _ 12 1k Isc 3k

19、 2mA (c) + 2.25k _ 12 1k Isc 3k (d) 2.25k Isc 1k 3k 2mA (e) 在圖（d）中， mAI sc 1 25 . 2 1 1 1/25 . 2 3 12 在圖（e）中，所求支路為短路線，所以 mAI sc 2 所以：。mAIII scscsc 112 4原電路等效為： I 3k 2k -1mA (f) 可以計算得出： mAI6 . 0 23 3 1 5電路如圖，用戴維南定理求 I 及 U 1 11 + 5 I + IX 10 11IX + U 10V _ - _ 1 1 11 + 5 Isc 11 IX + IX _ _ 電子發(fā)燒友 電子技術(shù)論

20、壇 10 + I + 10 20V U _ _ 解：（1）將所求支路劃出 （2）求 Uoc 因為，所以。而 X X I I 51 1011 AIx2VIU Xcd 20105 （3）求 Req 使用節(jié)點法：，解得 105 5 10 1 11 ) 11 1 5 1 1 1 ( 1 1 X X Iu I u Vu22 1 ，AIsc2 11 22 10 2 20 sc cd eq I U R （4）戴維南等效 對于非線性電阻而言，其外電路的戴維南等效如圖。 這樣聯(lián)立非線性元件的伏安關(guān)系及外電路提供給非線性電阻的伏安關(guān)系，有以下方 程 AI1 1010 20 而。VU10 4-4 特特勒勒根根定定理

21、理 特勒根定理（Tellegens theorem）是在克?；舴蚨傻幕A(chǔ)上發(fā)展起來的網(wǎng)絡(luò)定理。 它與網(wǎng)絡(luò)元件的特性無關(guān)，對非線性參數(shù)以及時變參數(shù)的網(wǎng)絡(luò)都適用。 4.4.1 特勒根功率定理特勒根功率定理 一、內(nèi)容 在一個具有 n 個節(jié)點、b 條支路的網(wǎng)絡(luò) N 中，假設(shè)各個支路的電壓與支路電流分別 為和，它們?nèi)￡P(guān)聯(lián)參考方向，則對任意時間 t，有)( 21b uuu，)( 21b iii， 電子發(fā)燒友 電子技術(shù)論壇 b k kki u 1 0 二、定理的證明 本教材中給出了一個實際的例子進行說明，有助于大家理解。 證明的依據(jù)是克?；舴蚨?，以及電路的節(jié)點電壓與各個支路電壓的關(guān)系。具體的 嚴格證明過

22、程同學(xué)們可以參見相關(guān)參考文獻。 三、意義 在任意網(wǎng)絡(luò) N 中，在任意瞬時 t，各個支路吸收的功率的代數(shù)和恒等于零。也就是 說，該定理實質(zhì)上是功率守恒的具體體現(xiàn)。 4.4.2 特勒根擬功率定理特勒根擬功率定理 一、內(nèi)容 兩個具有 n 個節(jié)點、b 條支路的網(wǎng)絡(luò) N，它們由不同的元件組成，但它們的拓撲結(jié) 構(gòu)完全相同。假設(shè)兩個網(wǎng)絡(luò)中對應(yīng)的各個支路的電壓與電流取關(guān)聯(lián)參考方向，分別為 、和、，則對任意時間)( 21b uuu，)( 21b iii，)( 21b uuu，) ( 21b iii， t，有 ， b k kki u 1 0 b k kki u 1 0 這個和式中的每一項，都僅僅是一個數(shù)學(xué)量，沒有

23、實際物理意義，定義它為“擬功 率” 。 三、定理的證明 類似于前面的證明方法。 四、意義 有向圖相同的任意兩個網(wǎng)絡(luò) N 和在任意瞬時 t，任意網(wǎng)絡(luò)的支路電壓與另一個網(wǎng)N 絡(luò)的支路電流的乘積的代數(shù)和恒等于零。 該定理實質(zhì)上是擬功率守恒的具體體現(xiàn)。而實際上，該定理并不一定要求式中的量 為實際網(wǎng)絡(luò)中的電壓電流，只要它們滿足克?；舴蚨伞?（該定理可以應(yīng)用證明正弦交 流網(wǎng)絡(luò)中的平均功率和無功功率的守恒） 五、例題 1 已知：電路如圖所示，當，時，測得， 2 2 RVU6 1 AI2 1 VU2 2 電子發(fā)燒友 電子技術(shù)論壇 當，時，測得， 4 2 RVU10 1 AI3 1 求：？ 2 U 網(wǎng)絡(luò) N

24、I1 I2 + + U1 U2 R2 _ _ 解：設(shè)網(wǎng)絡(luò) N 中含有 b 條支路，由特勒根似功率定理： 0 1 2211 b k kkI UIUIU 0 1 2211 b k kkI UIUIU 由于網(wǎng)絡(luò) N 中得結(jié)構(gòu)與參數(shù)均不會變化，因此 b k kk b k kk IUIU 11 這樣就有： 22112211 IUIUIUIU 所以： VU4 2 4-5 互互易易定定理理（ RECIPROCITY THEOREM） 互易定理（Reciprocity theorem）可以直接由特勒根定理推導(dǎo)出來。同樣，它與網(wǎng)絡(luò) 元件的特性也無關(guān)，該定理僅針對線性網(wǎng)絡(luò)。 電子發(fā)燒友 電子技術(shù)論壇 4.5.1

25、定理的形式一定理的形式一 1 i 1 i2 2 1 1 i 2 i 2 + + us us _ _ NN 1 2 1 2 21 ii 4.5.2 定理的形式二定理的形式二 1 i 1 i2 2 1 1 i 2 i 2 + + + + is u 2 1 u is _ _ _ _ 1 2 1 2 NN 12 u u 4.5.3 定理的形式三定理的形式三 1 i 1 i2 2 1 1 i 2 i 2 + + + is i2 1 u us _ _ _ N 1 2 1 2 N 12 u i 4.5.4 定理的證明思路及有關(guān)說明定理的證明思路及有關(guān)說明 一、證明思路 略去，希望同學(xué)們自學(xué)，有興趣的同學(xué)還可

26、以進一步研究。 二、說明 該定理實質(zhì)上是表征了線性網(wǎng)絡(luò)的特性。在下冊的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)和二端口網(wǎng)絡(luò) 電子發(fā)燒友 電子技術(shù)論壇 章節(jié)中，我們可以直接看到它的意義。 4.5.5 例題例題 1已知： 40 4 R 1 - R1 + R 2 + U1 + + US R2 U2 R3 U3 I22 _ _ _ 1 R4 2 1 - R1 + R 2 U1 + + + I11 R2 U2 R3 U3 US _ _ _ 1 R4 2 當在 11端加電壓源 US，且 22端短接時， S UU2 . 0 3 當在 22端加電壓源 US，且 11端短接時， S UU1 . 0 1S UU5 . 0 3 求：R 解：由互易定理可知： 2211 II 所以： R U R UU 3 4 21 20 21 43 UU RU R 2已知：當，時，VU3 1 20 2 R5 3 RAI2 . 1 1 VU3 2 AI2 . 0 3 當，時，VU3 1 20 2 R5 3 RAI2 1 VU2 3 求：？