求數(shù)列前N項(xiàng)和的方法

1、求數(shù)列前N項(xiàng)和的方法1. 公式法等差數(shù)列前n項(xiàng)和：特別的，當(dāng)前n項(xiàng)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，即前n項(xiàng)和為中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)。這個(gè)公式在很多時(shí)候可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。等比數(shù)列前n項(xiàng)和：q=1時(shí)，特別要注意對(duì)公比的討論。其他公式：1、 2、3、例1 已知，求的前n項(xiàng)和.解：由 由等比數(shù)列求和公式得 （利用常用公式） 1例2 設(shè)Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 解：由等差數(shù)列求和公式得 ， （利用常用公式） 當(dāng) ，即n8時(shí)，2. 錯(cuò)位相減法這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例3 求和：解：由題可知，的通項(xiàng)是

2、等差數(shù)列2n1的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè). （設(shè)制錯(cuò)位）得 （錯(cuò)位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得： 例4 求數(shù)列前n項(xiàng)的和.解：由題可知，的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列的通項(xiàng)之積設(shè) （設(shè)制錯(cuò)位）得 （錯(cuò)位相減） 練習(xí)：求：Sn=1+5x+9x2+(4n-3)xn-1 解：Sn=1+5x+9x2+(4n-3)xn-1 兩邊同乘以x，得 x Sn=x+5 x2+9x3+(4n-3)xn -得，（1-x）Sn=1+4（x+ x2+x3+ ）-（4n-3）xn 當(dāng)x=1時(shí)，Sn=1+5+9+（4n-3）=2n2-n 當(dāng)x1時(shí)，Sn= 1 1-x 4x(1-xn) 1-x +1-（4n-3）x

3、n 3. 反序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè). 例5 求的值解：設(shè). 將式右邊反序得 . （反序） 又因?yàn)?+得 （反序相加）89 S44.54. 分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例6 求數(shù)列的前n項(xiàng)和：，解：設(shè)將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得 （分組）當(dāng)a1時(shí)， （分組求和）當(dāng)時(shí)，例7 求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項(xiàng)和.解：設(shè) 將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得 Sn （分組） （分組求和） 練習(xí)：求

4、數(shù)列的前n項(xiàng)和。解： 5. 裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 通項(xiàng)分解（裂項(xiàng)）如：（1） （2）（3） （4）（5）(6) 例9 求數(shù)列的前n項(xiàng)和.解：設(shè) （裂項(xiàng)）則 （裂項(xiàng)求和） 例10 在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和.解： （裂項(xiàng)） 數(shù)列bn的前n項(xiàng)和 （裂項(xiàng)求和） 例11 求證：解：設(shè) （裂項(xiàng)） （裂項(xiàng)求和） 原等式成立 練習(xí)：求 1 3， 1 1 5， 1 3 5， 1 63之和。 解： 6. 合并法求和針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)

5、，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn. 例12 求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：設(shè)Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 （找特殊性質(zhì)項(xiàng)）Sn （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177）+（cos89+ cos91）+ cos90 （合并求和） 0例13 數(shù)列an：，求S2002.解：設(shè)S2002由可得 （找特殊性質(zhì)項(xiàng)）S2002 （合并求和） 5例14 在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若的值.解：設(shè)由等比數(shù)列的性質(zhì) （找特殊性質(zhì)項(xiàng)）和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性

6、質(zhì) 得 （合并求和） 107. 利用數(shù)列的通項(xiàng)求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)律來(lái)求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是一個(gè)重要的方法.例15 求之和.解：由于 （找通項(xiàng)及特征） （分組求和）例16 已知數(shù)列an：的值.解： （找通項(xiàng)及特征） （設(shè)制分組） （裂項(xiàng)） （分組、裂項(xiàng)求和） 練習(xí)：求5，55，555，的前n項(xiàng)和。解：an= 5 9(10n-1)Sn = 5 9(10-1)+ 5 9(102-1) + 5 9(103-1) + + 5 9(10n-1) = 5 9（10+102+103+10n）-n = （10n1-9n-10）以上一個(gè)7種方法雖

7、然各有其特點(diǎn)，但總的原則是要善于改變?cè)瓟?shù)列的形式結(jié)構(gòu)，使其能進(jìn)行消項(xiàng)處理或能使用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式以及其它已知的基本求和公式來(lái)解決，只要很好地把握這一規(guī)律，就能使數(shù)列求和化難為易，迎刃而解。求數(shù)列通項(xiàng)公式的八種方法一、公式法（定義法）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)二、累加、累乘法 1、累加法 適用于： 若，則 兩邊分別相加得 例1 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由得則所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。例2 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解法一：由得則所以解法二：兩邊除以，得，則，故因此，則2、累乘法 適用于： 若，則兩邊分別相乘得，例3 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所?/p>

8、，則，故所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為三、待定系數(shù)法 適用于分析：通過(guò)湊配可轉(zhuǎn)化為; 解題基本步驟：1、確定2、設(shè)等比數(shù)列，公比為3、列出關(guān)系式4、比較系數(shù)求，5、解得數(shù)列的通項(xiàng)公式6、解得數(shù)列的通項(xiàng)公式例4 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解法一： 又是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列 ，即解法二： 兩式相減得，故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，再用累加法的例5 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解法一：設(shè)，比較系數(shù)得，則數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以，即解法二： 兩邊同時(shí)除以得：，下面解法略注意：例6 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè) 比較系數(shù)得， 所以 由，得則，故數(shù)列為以為首項(xiàng)，以2為

9、公比的等比數(shù)列，因此，則。注意：形如時(shí)將作為求解分析：原遞推式可化為的形式，比較系數(shù)可求得，數(shù)列為等比數(shù)列。例7 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：設(shè)比較系數(shù)得或，不妨取，則，則是首項(xiàng)為4，公比為3的等比數(shù)列，所以四、迭代法例8 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以又，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為。注：本題還可綜合利用累乘法和對(duì)數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。五、變性轉(zhuǎn)化法1、對(duì)數(shù)變換法 適用于指數(shù)關(guān)系的遞推公式例9 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)?，所以。兩邊取常用?duì)數(shù)得設(shè)（同類型四）比較系數(shù)得， 由，得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以5為公比的等比數(shù)列，則，因此則。 2、倒數(shù)變換法 適用于分

10、式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項(xiàng)例10 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：求倒數(shù)得為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差為，3、換元法 適用于含根式的遞推關(guān)系例11 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：令，則代入得即因?yàn)椋?則，即，可化為，所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，因此，則，即，得。六、數(shù)學(xué)歸納法 通過(guò)首項(xiàng)和遞推關(guān)系式求出數(shù)列的前n項(xiàng)，猜出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。例12 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：由及，得由此可猜測(cè)，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。（1）當(dāng)時(shí)，所以等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，由此可知，當(dāng)時(shí)等式也成立。根據(jù)（1），（2）可知，等式對(duì)任何都成立。

11、七、階差法 1、遞推公式中既有，又有 分析：把已知關(guān)系通過(guò)轉(zhuǎn)化為數(shù)列或的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求解。例13 已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前n項(xiàng)和滿足，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：對(duì)任意有 當(dāng)n=1時(shí)，解得或當(dāng)n2時(shí)， -整理得：各項(xiàng)均為正數(shù)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)成立當(dāng)時(shí)，此時(shí)不成立，故舍去所以2、對(duì)無(wú)窮遞推數(shù)列例14 已知數(shù)列滿足，求的通項(xiàng)公式。解：因?yàn)樗杂檬绞降脛t故所以由，則，又知，則，代入得。所以，的通項(xiàng)公式為八、不動(dòng)點(diǎn)法不動(dòng)點(diǎn)的定義：函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在，使成立，則稱為的不動(dòng)點(diǎn)或稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)。分析：由求出不動(dòng)點(diǎn)，在遞推公式兩邊同時(shí)減去，在變形求解。類型一：形如例 15 已知數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：遞推關(guān)系是對(duì)應(yīng)得遞歸函數(shù)為，由得，