備考2017年百日捷進(jìn)專題03 數(shù)列的解答題

1、【背一背重點(diǎn)知識(shí)】1等差數(shù)列及等比數(shù)列的廣義通項(xiàng)公式：；2一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列必是非零常數(shù)列； 3等差數(shù)列及等比數(shù)列前n項(xiàng)和特征設(shè)法：【講一講提升技能】1. 必備技能：涉及特殊數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列）一般用待定系數(shù)法，注重研究首項(xiàng)及公差或公比；由原數(shù)列抽取或改變項(xiàng)的順序等生成新數(shù)列，一般注重研究生成數(shù)列在新數(shù)列及原數(shù)列的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通常用“算兩次”的思想解決問題2. 典型例題：例1 【江西撫州2017屆高三上學(xué)期七校聯(lián)考，18】在等差數(shù)列中，且（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（I），；（II）【解析】當(dāng)時(shí)，7分（II）若成等比數(shù)列，

2、則，8分，10分12分【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的概念，以及數(shù)列的求和，屬于高考中?？贾R(shí)點(diǎn)，難度不大；常見的數(shù)列求和的方法有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類似于，其中和分別為特殊數(shù)列，裂項(xiàng)相消法類似于，錯(cuò)位相減法類似于，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列等例2【湖北孝感2017屆高三上學(xué)期第一次統(tǒng)考，17】（本小題滿分12分）設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)數(shù)列，求的前項(xiàng)和【答案】（）；（）【解析】 【練一練提升水平】1【河南中原名校2017屆高三上學(xué)期第三次質(zhì)檢，18】在單調(diào)遞增的等差數(shù)列中，成等比數(shù)列，前項(xiàng)之和等于（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（

3、II）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求使成立的的最大值【答案】（I）；（II）【解析】試題分析：（I）由題意知以及，從而求得；（II）由（I）得由裂項(xiàng)相消法得，解不等式得結(jié)果試題解析：（I）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，即，因?yàn)椋鲜娇苫癁?，又?jǐn)?shù)列的前項(xiàng)之和等于，所以，即聯(lián)立解得，所以 2【湖北荊州2017屆高三上學(xué)期第1次質(zhì)檢，19】（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】(1)或；(2)【解析】試題分析：(1)借助題設(shè)條件使用等差數(shù)列等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)求解；(2)依據(jù)題設(shè)使用裂項(xiàng)相消法分析探求試題解析：（I

4、）由等差數(shù)列性質(zhì)，設(shè)公差為，則，解得或或（II）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，以求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和的綜合題【背一背重點(diǎn)知識(shí)】1234求和方法：累加、累乘、裂項(xiàng)相消、錯(cuò)位相減【講一講提升技能】1必備技能：會(huì)由與的關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)；會(huì)對(duì)原數(shù)列適當(dāng)變形構(gòu)成一個(gè)特殊數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列），進(jìn)而求出原數(shù)列通項(xiàng)；能根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)特征，選用對(duì)應(yīng)方法求數(shù)列前n項(xiàng)的和2典型例題：例1【重慶巴蜀中學(xué)2017屆高三上學(xué)期期中，17】已知公差不為0的等差數(shù)列中，且成等比數(shù)列（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)數(shù)列滿足，求適合方程的正整數(shù)的值【答案】（I）；（II）【解析】 ，依題有解得【方法點(diǎn)睛】裂項(xiàng)相消法適用于形如（其中數(shù)列

5、各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列，一類是常見的有相鄰兩項(xiàng)的裂項(xiàng)求和，如本題；另一類是隔一項(xiàng)的裂項(xiàng)求和，如或例2【河南八市重點(diǎn)高中2017屆高三上學(xué)期第一次測(cè)評(píng)，18】（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足（I）求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若是數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：【答案】(1)證明見解析；(2)見解析【解析】試題解析： （I）當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，即，即，因?yàn)?，故，所以是首?xiàng)為-2，公比為2的等比數(shù)列，所以6分（II）由（I）知，所以，所以12分【方法點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義與性質(zhì)、與的關(guān)系以及裂項(xiàng)相消法求和，屬中檔題；在求數(shù)列通項(xiàng)的問題中，如條件中有與關(guān)系的，

6、要利用求解；裂項(xiàng)相消法是每年高考的熱點(diǎn)，主要命題角度是直接考查裂項(xiàng)相消法求和或與不等式結(jié)合考查裂項(xiàng)相消法求和【練一練提升能力】1【河北滄州一中2017屆高三11月考，17】（本小題滿分12分）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，（I）求的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】(1)；(2)【解析】 2【河北滄州一中2017屆高三11月考，21】已知數(shù)列是首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】(1)；(2)【解析】解答題（共10題）1【河南百校聯(lián)盟2017屆高三11月質(zhì)檢，17】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù)都有成立（）記，求數(shù)列的通

7、項(xiàng)公式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（）（）【解析】試題解析：（）在中，令得 因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)，都有成立，所以，兩式相減得，所以， 又，所以為等比數(shù)列，所以，所以（），所以2【河北武邑中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第四次調(diào)研，18】 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，又?jǐn)?shù)列滿足()求數(shù)列的通項(xiàng)公式；()當(dāng)為何值時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列？并求此時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和的取值范圍【答案】（）；()【解析】試題分析：（）由，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即可得出； ()由有則數(shù)列為等比數(shù)列，則首項(xiàng)為滿足的情況，故，則，而是單調(diào)遞增的，故3【遼寧葫蘆島普通高中作協(xié)體2017屆高三上學(xué)期第二次考試，18】（本小題滿分12分）在等差數(shù)列中，公差，且，

8、成等比數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和；若，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】，；【解析】試題分析：由成等比數(shù)列；由可得試題解析：成等比數(shù)列，又，7分由可得，12分4【河南八市重點(diǎn)高中2017屆高三上學(xué)期第一次測(cè)評(píng)，21】（本小題滿分12分）設(shè)公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，數(shù)列滿足（I）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列滿足，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：對(duì)任意【答案】(1) ；（II）見解析【解析】試題解析： （I）設(shè)的公比為，則有，解得，則即數(shù)列和的通項(xiàng)公式為 （II）證明：，易知當(dāng)時(shí)，有成立，令 則 -得，從而，即5【甘肅天水一中2017屆上學(xué)期第3次考試，19】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是1與的等差

9、中項(xiàng)（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（I）；（II）【解析】 6【湖南百所重點(diǎn)中學(xué)2017屆高三階段性診斷，21】（本小題滿分12分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（I）求證：不論取何值，數(shù)列總是等差數(shù)列，并求此數(shù)列的公差；（II）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，試比較與的大小【答案】（I）證明見解析，；（II）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，【解析】（II）解：，7分，9分，當(dāng)時(shí)，；10分當(dāng)時(shí)，；11分當(dāng)時(shí)，12分7【炎德英才大才大聯(lián)考湖南師大2017屆高三上學(xué)期第3次月考，19】（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知()求的值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；()若數(shù)列為等差數(shù)列，且設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明

10、：對(duì)任意是一個(gè)與無關(guān)的常數(shù)【答案】()；()證明見解析【解析】 ()因?yàn)?，則又，則設(shè)的公差為，則，所以，所以由題設(shè)，則 8【浙江省紹興市柯橋區(qū)2016屆高三教學(xué)質(zhì)量調(diào)測(cè)（二模）數(shù)學(xué)（理）試題】（本小題滿分15分）已知數(shù)列滿足：.（1）若,求證數(shù)列是等差數(shù)列； （2）若,求證：.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.9【山東菏澤一中2017屆高三上學(xué)期第3聯(lián)考，19】（本小題滿分12分）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（）；（）【解析】試題解析：（）由題意，數(shù)列為等比數(shù)列，1分設(shè)公比為，則，由，4分（），6分，9分，12分10【河南南陽一中2017屆高三上學(xué)期第4次月考，17】已知各項(xiàng)均不相等的等差