專題四第一講空間幾何體的三視圖表面積及體積

1、專題四,立體幾何,空間幾何體的三視圖,表面積及體積,第一講,空間幾何體的三視圖,一、基礎(chǔ)知識(shí)要記牢,一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則是：俯視圖放在正視,圖的下面，長度與正視圖的長度一樣，側(cè),左,視圖放在,正,主,視圖的右面，高度與正,主,視圖的高度一樣，寬度,與俯視圖的寬度一樣即“長對正、高平齊、寬相,等,二、經(jīng)典例題領(lǐng)悟好,例,1,1,2013,四川高考,一個(gè)幾何體的三視圖如圖所,示，則該幾何體的直觀圖可以是,2,2013,全國卷,一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系,O,xyz,中的坐標(biāo)分別是,1,0,1,1,1,0,0,1,1,0,0,0,畫該,四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以,zOx,平面為投影面，

2、則得到,的正視圖可以為,解析,1,由俯視圖是圓環(huán)可排除,A,B,C,進(jìn)一步,將已知三視圖還原為幾何體，可得選項(xiàng),D,2,根據(jù)已知條件作出圖形：四面體,C,1,A,1,DB,標(biāo)出各個(gè),點(diǎn)的坐標(biāo)如圖,1,所示,可以看出正視圖是正方形，如圖,2,所示,答案,1)D,2) A,分析空間幾何體的三視圖的要點(diǎn),1,根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面,2,根據(jù)正,主,視圖或側(cè),左,視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè),面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對應(yīng)的棱、面的位置,3,確定幾何體的形狀，即可得到結(jié)果,三、預(yù)測押題不能少,1,1,沿一個(gè)正方體三個(gè)面的對角線,截得的幾何體如圖所示，則該幾,何體的左視圖為,解析：依題意，左視圖中棱的方

3、向是從左上角到右下角,答案,B,2,如圖是兩個(gè)全等的正三角形，給定下列三個(gè)命題：存在,四棱錐，其正視圖、側(cè)視圖如圖；存在三棱錐，其正視,圖、側(cè)視圖如圖；存在圓錐，其正視圖、側(cè)視圖如圖其,中真命題的個(gè)數(shù)是,A,3,B,2,C,1,D,0,解析,對于，存在斜高與底邊長相等,的正四棱錐，其正視圖與側(cè)視圖是全等,的正三角形；對于，存在如圖所示的,三棱錐,S,ABC,底面為等腰三角形，其,底邊,AB,的中點(diǎn)為,D,BC,的中點(diǎn)為,E,側(cè)面,SAB,上的斜高為,SD,且,CB,AB,SD,SE,頂點(diǎn),S,在底面上的射影為,AC,的中,點(diǎn)，則此三棱錐的正視圖與側(cè)視圖是全等的正三角形；對于,存在底面直徑與母線

4、長相等的圓錐，其正視圖與側(cè)視圖是,全等的正三角形,答案,A,空間幾何體的表面積與體積,一、基礎(chǔ)知識(shí)要記牢,常見的一些簡單幾何體的表面積和體積公式,圓柱的表面積公式,S,2,r,2,2,rl,2,r,r,l,其中,r,為,底面半徑,l,為圓柱的高,圓錐的表面積公式,S,r,2,rl,r,r,l,其中,r,為底,面半徑,l,為母線長,圓臺(tái)的表面積公式,S,r,2,r,2,r,l,rl,其中,r,和,r,分別為圓臺(tái)的上、下底面半徑,l,為母線長,柱體的體積公式,V,Sh,S,為底面面積,h,為高,錐體的體積公式,V,1,3,Sh,S,為底面面積,h,為高,臺(tái)體的體積公式,V,1,3,S,S,S,S,

5、h,S,S,分別,為上、下底面面積,h,為高,球的表面積和體積公式,S,4,R,2,V,4,3,R,3,R,為球的半,徑,二、經(jīng)典例題領(lǐng)悟好,例,2,1,2013,全國卷,如圖，有一個(gè)水平放置的透明,無蓋的正方體容器，容器高,8 cm,將一個(gè)球放在容器口，再,向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為,6 cm,如,果不計(jì)容器厚度，則球的體積為,A,500,3,cm,3,B,866,3,cm,3,C,1 372,3,cm,3,D,2 048,3,cm,3,2,2013,浙江高考,若某幾何體的三視圖,單位,cm,如圖,所示，則此幾何體的體積等于,_cm,3,解析,1,如圖,作出球的一個(gè)截面,則

6、,MC,8,6,2(cm,BM,1,2,AB,1,2,8,4(cm,設(shè)球的半徑為,R,cm,則,R,2,OM,2,MB,2,R,2,2,4,2,R,5,V,球,4,3,5,3,500,3,cm,3,2,由三視圖可知該幾何體為一個(gè)直三棱柱被截去了一個(gè),小三棱錐，如圖所示三棱柱的底面為直角三角形，且直角邊,長分別為,3,和,4,三棱柱的高為,5,故其體積,V,1,1,2,3,4,5,30(cm,3,小三棱錐的底面與三棱柱的上底面相同，高為,3,故其體積,V,2,1,3,1,2,3,4,3,6(cm,3,所以所求幾何體的體,積為,30,6,24(cm,3,答案,1)A (2)24,1,求幾何體的表面

7、積及體積問題，可以多角度、多方位,地考慮，熟記公式是關(guān)鍵所在,求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化,是常用的方法，轉(zhuǎn)換原則是其高易求，底面放在已知幾何體,的某一面上,2,求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將,不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解,三、預(yù)測押題不能少,2,1,已知某幾何體的三視圖的正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰,梯形，俯視圖是兩個(gè)同心圓，如圖所示，則該幾何體的全,面積為,_,解析,由三視圖知該幾何體為上底直徑為,2,下底直徑為,6,高為,2,3,的圓臺(tái)，則幾何體的全面積,S,1,9,1,2,2(3,6,1,2,26,答案,26,2,已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為,

8、_,解析,作出三視圖所對應(yīng)的幾何體,如圖,底面,ABCD,是邊長,為,2,的正方形,SD,平面,ABCD,EC,平面,ABCD,SD,2,EC,1,連接,SC,則該幾何體的體積為,V,SDABCE,V,S,ABCD,V,S,BCE,1,3,4,2,1,3,1,2,2,1,2,10,3,答案,10,3,球與多面體,一、基礎(chǔ)知識(shí)要記牢,1,若球面上四點(diǎn),P,A,B,C,構(gòu)成的三條線段,PA,PB,PC,兩兩互相垂直，可采用“補(bǔ)形法”成為一個(gè)球內(nèi)接,長方體,2,正四面體的內(nèi)切球與外接球半徑之比為,1,3,二、經(jīng)典例題領(lǐng)悟好,例,3,2013,遼寧高考,已知直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,的

9、,6,個(gè),頂點(diǎn)都在球,O,的球面上若,AB,3,AC,4,AB,AC,AA,1,12,則球,O,的半徑為,A,3,17,2,B,2,10,C,13,2,D,3,10,解析,因?yàn)橹比庵?AB,3,AC,4,AA,1,12,AB,AC,所以,BC,5,且,BC,為過底面,ABC,的截面圓的直,徑取,BC,中點(diǎn),D,則,OD,底面,ABC,則,O,在側(cè)面,BCC,1,B,1,內(nèi)，矩形,BCC,1,B,1,的對角線長即為球直徑，所以,2,R,12,2,5,2,13,即,R,13,2,答案,C,處理球與棱柱、棱錐切、接問題的思路,1,過球及多面體中的特殊點(diǎn),一般為接,切點(diǎn),或線作面,化空間問題為平面

10、問題,2,利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間關(guān)系,確定球,心位置,3,建立幾何量間關(guān)系求半徑,r,三、預(yù)測押題不能少,3,已知三棱錐,S,ABC,的所有頂點(diǎn)都在球,O,的球面上,SA,平面,ABC,SA,2,3,AB,1,AC,2,BAC,60,則球,O,的表面積為,A,4,B,12,C,16,D,64,解析,取,SC,的中點(diǎn),E,連接,AE,BE,依題意,BC,2,AB,2,AC,2,2,AB,AC,cos 60,3,AC,2,AB,2,BC,2,即,AB,BC,又,SA,平面,ABC,SA,BC,又,SA,AB,A,BC,平,面,SAB,BC,SB,AE,1,2,SC,BE,點(diǎn),E,是三棱

11、錐,S,ABC,的外接球的球心，即點(diǎn),E,與點(diǎn),O,重合,OA,1,2,SC,1,2,SA,2,AC,2,2,故球,O,的表面積為,4,OA,2,16,答案,C,求空間幾何體的體積一直是考查的重點(diǎn)，幾乎每年,都考查，既可以與三視圖結(jié)合考查，又可以單獨(dú)考,查而求空間幾何體體積的最值問題，又常與函數(shù)、導(dǎo),數(shù)、不等式等知識(shí)交匯考查,探求空間幾何體中體積最值的創(chuàng)新問題,一、經(jīng)典例題領(lǐng)悟好,例,如圖,1,ACB,45,BC,3,過動(dòng)點(diǎn),A,作,AD,BC,垂足,D,在線段,BC,上且異于點(diǎn),B,連接,AB,沿,AD,將,ABD,折起，使,BDC,90,如圖,2,所示,當(dāng),BD,的長為多少,時(shí)，三棱錐,A

12、,BCD,的體積最大,學(xué)審題,審條件之審視圖形,AD,BC,折起,AD,平面,BCD,令,BD,x,CD,AD,3,x,S,BCD,的式子,V,A,BCD,的式子,構(gòu)造函數(shù),f,x,利用函數(shù),V,A,BCD,的最大值,用,思想,嘗試用,函數(shù)與方程思想,解題,如圖,1,所示的,ABC,中，設(shè),BD,x,0,x,3,則,CD,3,x,由,AD,BC,ACB,45,知,ADC,為等腰直角三角形,所以,AD,CD,3,x,由折起前,AD,BC,知，折起后,如圖,2,AD,DC,AD,BD,且,BD,DC,D,所以,AD,平面,BDC,又因?yàn)?BDC,90,所以,S,BCD,1,2,BD,CD,1,2,

13、x,3,x,于是,V,A,BCD,1,3,AD,S,BCD,1,3,3,x,1,2,x,3,x,V,A,BCD,1,6,x,3,6,x,2,9,x,令,f,x,1,6,x,3,6,x,2,9,x,由,f,x,1,2,x,1,x,3,0,且,0,x,3,解得,x,1,當(dāng),x,0,1,時(shí),f,x,0,當(dāng),x,1,3,時(shí),f,x,0,所以當(dāng),x,1,時(shí),f,x,取得最大值，即,BD,1,時(shí),三棱錐,A,BCD,的體積最大,解答此題的關(guān)鍵是恰當(dāng)引入變量,x,即令,BD,x,結(jié)合,位置關(guān)系列出體積的表達(dá)式，將求體積的最值問題轉(zhuǎn)化為求,函數(shù)的最值問題,二、預(yù)測押題不能少,球,O,的球面上有四點(diǎn),S,A,B,C,其中,O,A,B,C,四點(diǎn)共,面,ABC,是邊長為,2,的正三角形，平面,SAB,平面,ABC,則三棱錐,S,ABC,的體積的最大值為,_,解析,記球,O,的半徑為,R,作,SD,AB,于,D,連接,OD