高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量 5.2 平面向量基本定理及向量的坐標(biāo)表示 文 北師大版

1、5.2平面向量基本定理及向量 的坐標(biāo)表示,考綱要求:1.了解平面向量的基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件,1.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,存在唯一一對(duì)實(shí)數(shù)1,2,使a=1e1+2e2,把不共線的向量e1,e2叫作表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底. 2.平面向量的坐標(biāo)表示 (1)向量的坐標(biāo)表示:在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為基底,對(duì)于平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y使得a=

2、xi+yj,則把實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)叫作向量a的坐標(biāo),a=(x,y)叫作向量a的坐標(biāo)表示. (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),則 =(x2-x1,y2-y1,3.平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a+b=(x1+x2,y1+y2); (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a-b=(x1-x2,y1-y2); (3)若a=(x,y),R,則a=(x,y). 4.向量平行的坐標(biāo)表示 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則abx1y2-x2y1=0,2,3,4,1,5,1.下列結(jié)論正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”. (1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)

3、向量都可以作為一組基底. () (2)平面向量不論經(jīng)過(guò)怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變. () (3)若a,b不共線,且1a+1b=2a+2b,則1=2,1=2. ( ) (3) 在同一組基底下,同一向量的表示形式是唯一的. () (4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab的充要條件可表示成 (,2,3,4,1,5,2.(2015課標(biāo)全國(guó),文2)已知點(diǎn)A(0,1),B(3,2),向量 =(-4,-3),則向量 =() A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4,答案,解析,2,3,4,1,5,3.(2015四川,文2)設(shè)向量a=(2,4)與向量b=(x,6)共線,則實(shí)

4、數(shù)x=() A.2B.3C.4D.6,答案,解析,2,3,4,1,5,4.已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,),若A,B,C三點(diǎn)共線,則,答案,解析,2,3,4,1,5,5.(2015江蘇,6)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,nR),則m-n的值為,答案,解析,2,3,4,1,5,自測(cè)點(diǎn)評(píng) 1.能作為基底的兩個(gè)向量必須是不共線的. 2.向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)不同,向量平移后,其起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)都變了,但由于向量的坐標(biāo)均為終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo),故平移后坐標(biāo)不變. 3. 若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab的充要條件不能表示成 ,因?yàn)閤

5、2,y2有可能等于0,應(yīng)表示為x1y2-x2y1=0,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)1平面向量基本定理的應(yīng)用 例1(1)如果e1,e2是平面內(nèi)一組不共線的向量,那么下列四組向量中,不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是() A.e1與e1+e2B.e1-2e2與e1+2e2 C.e1+e2與e1-e2D.e1+3e2與2e1+6e2,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,2)在平行四邊形ABCD中,AC與BD交于點(diǎn)O,E是線段OD的中點(diǎn),AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F.若 =(,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,3)設(shè)e1,e2是平面內(nèi)一組基

6、向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,則向量e1+e2可以表示為另一組基向量a,b的線性組合,即e1+e2,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,思考:用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是什么? 解題心得:1.應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算. 2.用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是:先選擇一組基底,然后通過(guò)向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件,把相關(guān)向量用這一組基底表示出來(lái),考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)如圖所示,在四邊形ABCD中,AC和BD相交于點(diǎn)O,設(shè) =(用向量

7、a和b表示,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 例2已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).設(shè) ,且 (1)求3a+b-3c; (2)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n; (3)求M,N的坐標(biāo)及向量 的坐標(biāo),答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,思考:利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決問(wèn)題的一般思路是什么? 解題心得:向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行的.解題過(guò)程中,常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則,通過(guò)列方程(組)來(lái)進(jìn)行求解,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)

8、易混,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)在平行四邊形ABCD中,AC為一條對(duì)角線,若 =() A.(-2,-4)B.(-3,-5)C.(3,5)D.(2,4,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,2)(2015昆明一中摸底)已知點(diǎn)M(5,-6)和向量a=(1,-2),若 =-3a,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為() A.(2,0)B.(-3,6)C.(6,2)D.(-2,0,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,考點(diǎn)3平面向量共線的坐標(biāo)表示 例3平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),請(qǐng)解答下列問(wèn)題: (1)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n的值; (2)若(a+k

9、c)(2b-a),求實(shí)數(shù)k的值; (3)若d滿足(d-c)(a+b),且|d-c|= ,求d,答案,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,思考:向量共線有哪幾種表示形式?兩向量共線的充要條件有哪些作用? 解題心得:1.向量共線的兩種表示形式 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),aba=b(b0);abx1y2-x2y1=0.至于使用哪種形式,應(yīng)視題目的具體條件而定,一般情況涉及坐標(biāo)的應(yīng)用. 2.兩向量共線的充要條件的作用 判斷兩向量是否共線(平行),可解決三點(diǎn)共線的問(wèn)題;另外,利用兩向量共線的充要條件可以列出方程(組),求出未知數(shù)的值,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,對(duì)

10、點(diǎn)訓(xùn)練3(1)(2015四川攀枝花模擬)已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若為實(shí)數(shù),(a+b)c,則= (,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,2)(2015鄭州模擬)已知向量 ,且A,B,C三點(diǎn)共線,則k的值是(,答案,解析,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,1.只要兩個(gè)向量不共線,就可以作為平面的一組基底,對(duì)基底的選取不唯一,平面內(nèi)任意向量a都可被這個(gè)平面的一組基底e1,e2線性表示,且在基底確定后,這樣的表示是唯一的. 2.平面向量基本定理的本質(zhì)是運(yùn)用向量加法的平行四邊形法則,將向量進(jìn)行分解. 3.向量的坐標(biāo)表示的本質(zhì)是向量的代數(shù)表示,其中坐標(biāo)運(yùn)算法則是運(yùn)算的關(guān)鍵,通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算可將一些幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題處理,從而用向量可以解決平面解析幾何中的許多相關(guān)問(wèn)題. 4.在向量的運(yùn)算中要注意待定系數(shù)法、方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,考點(diǎn)3,知識(shí)方法,易錯(cuò)易混,5.三個(gè)結(jié)論向量中必須掌握的三個(gè)結(jié)論: (1)若a與b不共線,a+b=0,則=0; (2)已知 (,為常數(shù)),則A,B,C三