函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(完美版)

1、函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù),f (x)0,f (x)0,1.定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間（a，b）內(nèi)有導(dǎo)數(shù),如果在 這個區(qū)間內(nèi)f/（x） 0,那么函數(shù)y=f(x) 在為這個區(qū)間內(nèi) 的增函數(shù);如果在這個區(qū)間內(nèi)f/（x）0,那么函數(shù)y=f(x) 在為這個區(qū)間內(nèi)的減函數(shù),知識回顧,如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有 ,則 為常數(shù),2.求函數(shù)單調(diào)性的一般步驟,求函數(shù)的定義域,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) f/（x）,解不等式 f/（x）0 得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; 解不等式 f/（x）0 得f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間,關(guān)注用導(dǎo)數(shù)本質(zhì)及其幾何意義解決問題,3.思考： 觀察下圖，當(dāng)t=t0時距水面的高度最大,那么函數(shù) h（t）在此點

2、的導(dǎo)數(shù)是多少呢？此點附近的圖象有什么特點？相應(yīng)地，導(dǎo)數(shù)的符號有什么變化規(guī)律,觀察圖象中，點a和點b處的函數(shù)值與它們附近點的函數(shù)值有什么的大小關(guān)系,新課講解函數(shù)的極值,觀察右下圖為函數(shù)y=2x3-6x2+7的圖象, 從圖象我們可以看出下面的結(jié)論,函數(shù)在x=0的函數(shù)值比它附近所有各點的函數(shù)值都大，我們說f(0)是函數(shù)的一個極大值；函數(shù)在x=2的函數(shù)值比它附近所有各點的函數(shù)值都小，我們說f(2)是函數(shù)的一個極小值,y,0,極值的定義,點a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點， 函數(shù)值f（a）稱為函數(shù)y=f(x)的極小值， 點b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點， 函數(shù)值f（b）稱為函數(shù)y=f(x)的極大值 。

3、 極大值點極小值點統(tǒng)稱為極值點， 極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,注：極值點指的是自變量的值，極值指的是函數(shù)值,函數(shù)極值是在某一點附近的小區(qū)間內(nèi)定義的，是局部性質(zhì)。因此一個函數(shù)在其整個定義區(qū)間上可能有多個極大值或極小值，并對同一個函數(shù)來說，在某一點的極大值也可能小于另一點的極小值,觀察函數(shù)y=f(x)的圖像,探究 1、圖中有哪些極值點？極值點唯一嗎？ 2、極大值一定比極小值大么,結(jié)論:極值點處導(dǎo)數(shù)值為0,探究函數(shù)y=f(x)在極值點的導(dǎo)數(shù)值為多少,探究極值點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號有何規(guī)律,f (x)0,x1,極大值點兩側(cè),極小值點兩側(cè),f (x)0,f (x)0,f (x)0,x2,結(jié)論 若x0滿足 f/(x

4、)=0,且在x0的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號,則x0是f(x)的極值點,f(x0)是極值, 如果 f/(x) 在x0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”,則x0是f(x)的極大值點,f(x0)是極大值; 如果 f/(x) 在x0兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”,則x0是f(x)的極小值點,f(x0)是極小值. 極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,從曲線的切線角度看,曲線在極值點處切線的斜率為0,并且,曲線在極大值點左側(cè)切線的斜率為正,右側(cè)為負(fù);曲線在極小值點左側(cè)切線的斜率為負(fù),右側(cè)為正,如上左圖所示,若x0是f(x)的極大值點,則x0兩側(cè)附近點的函數(shù)值必須小于f(x0) .因此, x0的左側(cè)附近f(x)只能是增函數(shù),即 ; x0的右側(cè)附近f(

5、x)只能是減函數(shù),即,同理,如上右圖所示,若x0是f(x)極小值點,則在x0的左側(cè)附近f(x)只能是減函數(shù),即 ;在x0的右側(cè)附近只能是增函數(shù),即,練習(xí),下圖是導(dǎo)函數(shù) 的圖象, 試找出函數(shù) 的極值點, 并指出哪些是極大值點, 哪些是極小值點,a,b,x,y,x1,o,x2,x3,x4,x5,x6,2、函數(shù)在某點取得極值的必要條件 和充分條件分別是什么,探究 1、導(dǎo)數(shù)值為0的點一定是函數(shù)的極值點嗎,可導(dǎo)函數(shù)的極值點一定是它導(dǎo)數(shù)為零的點, 反之函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點,不一定是該函數(shù)的極值點. 例如,函數(shù)y=x3,在點x=0處的導(dǎo)數(shù)為零,但它不是極值點,原因是函數(shù)在點x=0處左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)都大于零,導(dǎo)數(shù)

6、為零的點僅是該點為極值點的必要條件, 其充分條件是在這點兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號,如何列表，列表中的基本元素有哪些？ 區(qū)間分配依據(jù)是什么？ 各區(qū)間對應(yīng)導(dǎo)數(shù)的符號如何判定,例1、求函數(shù) 的極值,解,令 ,解得x1=-2,x2=2,當(dāng)x變化時, ,y的變化情況如下表,因此,當(dāng)x=-2時有極大值,并且,y極大值=28/3; 而,當(dāng)x=2時有極小值,并且,y極小值=- 4/3,1)確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù) (2)求方程 的根 (3)用方程 的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干小開區(qū)間，并列成表格. (4)檢查 在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個根

7、處取得極小值,f (x,f (x)=0,f (x)=0,f (x,求解函數(shù)極值的一般步驟,故當(dāng)x=-a時,f(x)有極大值f(-a)=-2a;當(dāng)x=a時,f(x)有極小值f(a)=2a,例2、求函數(shù) 的極值,解:函數(shù)的定義域為,令 ,解得x1=-a,x2=a(a0,當(dāng)x變化時, ,f(x)的變化情況如下表,練習(xí):求函數(shù) 的極值,解,令 =0,解得x1=-1,x2=1,當(dāng)x變化時, ,y的變化情況如下表,因此,當(dāng)x=-1時有極大值,并且,y極大值=3; 而,當(dāng)x=1時有極小值,并且,y極小值=- 3,練習(xí):已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為 10,求a、b的值,解: =

8、3x2+2ax+b=0有一個根x=1,故3+2a+b=0,又f(1)=10,故1+a+b+a2=10,由、解得 或,當(dāng)a=-3,b=3時, ,此時f(x)在x=1處無 極值,不合題意,當(dāng)a=4,b=-11時,3/111時, ,此時x=1是極 值點,從而所求的解為a=4,b=-11,練習(xí):已知f(x)=ax5-bx3+c在x= 1處有極值,且極大值為4,極小值為0.試確定a,b,c的值,解,由題意, 應(yīng)有根 ,故5a=3b,于是,1)設(shè)a0,列表如下,由表可得 ,即,又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2,2)設(shè)a0,列表如下,由表可得 ,即,又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2,例4

9、、已知: (1)證明:f(x)恰有一個極大值點和一個極小值點; (2)當(dāng)f(x)的極大值為1、極小值為-1時,求a、b的值,解:(1,令 ,得-ax2-2bx+a=0,=4b2+4a20,故 有不相等的兩實根、,設(shè),又設(shè)g(x)=-ax2-2bx+a, 由于-a0,g(x)的圖象開口 向下,g(x)的值在的右正左負(fù),在的左正右負(fù),注意到 與g(x)的符號相同,可知為極小值點, 為極大值點,2)由f()=-1和f()=1可得,兩式相加,并注意到+=-2b/a,于是有,從而方程 可化為x2=1,它的兩根為+1和-1, 即=-1,=1,由,故所求的值為a=2,b=0,例5、已知函數(shù) f(x)滿足條件:當(dāng)x2時, ; 當(dāng)x2時, ; . 求證:函數(shù)y=f(x2)在 處有極小值,證:設(shè)g(x)=f(x2),則,故當(dāng) 時,x22,由條件可知 ,即,當(dāng) 時,x22,由條件可知 ,即,又當(dāng) 時,所以當(dāng) 時,函數(shù)y=f(x2)取得極小值,為什么要加上這一步,例6、直線ya與函數(shù)f(x)x33x的圖象有