高等數(shù)學(xué)課件完整版

1、一、羅爾(Rolle)定理,例如,幾何解釋,證,注意:若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足,其結(jié)論可能不成立,例如,又例如,例1,證,由介值定理,即為方程的小于1的正實(shí)根,矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,幾何解釋,證,分析,弦AB方程為,作輔助函數(shù),拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系,拉格朗日中值定理又稱有限增量定理,拉格朗日中值公式又稱有限增量公式,微分中值定理,推論,例2,證,例3,證,由上式得,三、柯西(Cauchy)中值定理,幾何解釋,證,作輔助函數(shù),例4,證,分析,結(jié)論可變形為,四、小結(jié),Rolle

2、定理,Lagrange 中值定理,Cauchy 中值定理,羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系,注意定理成立的條件,注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟,思考題,試舉例說明拉格朗日中值定理的條件缺一不可,思考題解答,不滿足在閉區(qū)間上連續(xù)的條件,且,不滿足在開區(qū)間內(nèi)可微的條件,以上兩個(gè)都可說明問題,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,定義,例如,定理,定義 這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則,證,定義輔助函數(shù),則有,例1,解,例2,解,例3,解,例4,解,例5,解,注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好,例

3、6,解,例7,解,關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型,步驟,例8,解,步驟,步驟,例9,解,例10,解,例11,解,例12,解,極限不存在,洛必達(dá)法則失效,注意：洛必達(dá)法則的使用條件,三、小結(jié),思考題,思考題解答,不一定,例,顯然,極限不存在,但,極限存在,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,一、單調(diào)性的判別法,定理,證,應(yīng)用拉氏定理,得,例1,解,注意:函數(shù)的單調(diào)性是一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，要用導(dǎo)數(shù)在這一區(qū)間上的符號(hào)來判定，而不能用一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)符號(hào)來判別一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性,二、單調(diào)區(qū)間求法,問題:如上例，函數(shù)在定義區(qū)間上不是單調(diào)的，但在各個(gè)部分區(qū)間上單調(diào),定義:若函數(shù)在其定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)是單調(diào)

4、的，則該區(qū)間稱為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn),方法,例2,解,單調(diào)區(qū)間為,例3,解,單調(diào)區(qū)間為,例4,證,注意:區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為零,不影響區(qū)間的單調(diào)性,例如,三、小結(jié),單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理定理的重要應(yīng)用,定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立,應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式,思考題,思考題解答,不能斷定,例,但,當(dāng) 時(shí),當(dāng) 時(shí),注意 可以任意大，故在 點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)， 都不單調(diào)遞增,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,一、函數(shù)極值的定義,定義,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn),二、函數(shù)極值的

5、求法,定理1(必要條件,定義,注意,例如,定理2(第一充分條件,是極值點(diǎn)情形,求極值的步驟,不是極值點(diǎn)情形,例1,解,列表討論,極大值,極小值,圖形如下,定理3(第二充分條件,證,例2,解,圖形如下,注意,例3,解,注意:函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn),三、小結(jié),極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值,駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn),函數(shù)的極值必在臨界點(diǎn)取得,判別法,第一充分條件,第二充分條件,注意使用條件,思考題,下命題正確嗎,思考題解答,不正確,例,在1和1之間振蕩,故命題不成立,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,一、最值的求法,步驟,1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn),2.求區(qū)間端

6、點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就是最小值,注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值,二、應(yīng)用舉例,例1,解,計(jì)算,比較得,例2,敵人乘汽車從河的北岸A處以1千米/分鐘的速度向正北逃竄，同時(shí)我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊， 速度為2千米/分鐘 問我軍摩托車何 時(shí)射擊最好（相 距最近射擊最好）,解,1)建立敵我相距函數(shù)關(guān)系,敵我相距函數(shù),得唯一駐點(diǎn),實(shí)際問題求最值應(yīng)注意,1)建立目標(biāo)函數(shù),2)求最值,例3,某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月180元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去當(dāng)租金每月增加10元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租

7、出的房子每月需花費(fèi)20元的整修維護(hù)費(fèi)試問房租定為多少可獲得最大收入,解,設(shè)房租為每月 元,租出去的房子有 套,每月總收入為,唯一駐點(diǎn),故每月每套租金為350元時(shí)收入最高,最大收入為,例4,解,如圖,解得,三、小結(jié),注意最值與極值的區(qū)別,最值是整體概念而極值是局部概念,實(shí)際問題求最值的步驟,思考題,思考題解答,結(jié)論不成立,因?yàn)樽钪迭c(diǎn)不一定是內(nèi)點(diǎn),例,在 有最小值，但,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,一、曲線凹凸的定義,問題:如何研究曲線的彎曲方向,圖形上任意弧段位 于所張弦的上方,圖形上任意弧段位 于所張弦的下方,定義,二、曲線凹凸的判定,定理1,例1,解,注意到,三、曲線的拐點(diǎn)及其求法,1.定義,注意

8、:拐點(diǎn)處的切線必在拐點(diǎn)處穿過曲線,2.拐點(diǎn)的求法,證,方法1,例2,解,凹的,凸的,凹的,拐點(diǎn),拐點(diǎn),方法2,例3,解,注意,例4,解,四、小結(jié),曲線的彎曲方向凹凸性,改變彎曲方向的點(diǎn)拐點(diǎn),凹凸性的判定,拐點(diǎn)的求法1, 2,思考題,思考題解答,例,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,一、漸近線,定義,1.鉛直漸近線,例如,有鉛直漸近線兩條,2.水平漸近線,例如,有水平漸近線兩條,3.斜漸近線,斜漸近線求法,注意,例1,解,二、圖形描繪的步驟,利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形,第一步,第二步,第三步,第四步,確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線、斜漸近線以及其他變化趨勢(shì),第五步,三、作圖舉例,例2,解,非奇非偶函數(shù),且無

9、對(duì)稱性,列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)和拐點(diǎn),不存在,拐點(diǎn),極值點(diǎn),間斷點(diǎn),作圖,例3,解,偶函數(shù), 圖形關(guān)于y軸對(duì)稱,拐點(diǎn),極大值,列表確定函數(shù)升降區(qū)間,凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn),拐點(diǎn),例4,解,無奇偶性及周期性,列表確定函數(shù)升降區(qū)間, 凹凸區(qū)間及極值點(diǎn)與拐點(diǎn),拐點(diǎn),極大值,極小值,四、小結(jié),函數(shù)圖形的描繪綜合運(yùn)用函數(shù)性態(tài)的研究,是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的綜合考察,最大值,最小值,極大值,極小值,拐點(diǎn),凹的,凸的,單增,單減,思考題,思考題解答,練 習(xí) 題,練習(xí)題答案,第三章習(xí)題課,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,常用的 泰勒公式,Cauchy 中值定理,Taylor 中值定理,一、主

10、要內(nèi)容,1、羅爾中值定理,2、拉格朗日中值定理,有限增量公式,3、柯西中值定理,推論,4、洛必達(dá)法則,定義 這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則,關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型,注意：洛必達(dá)法則的使用條件,5、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,定理,1) 函數(shù)單調(diào)性的判定法,定義,2) 函數(shù)的極值及其求法,定理(必要條件,定義,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn),極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值,駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn),定理(第一充分條件,定理(第二充分條件,求極值的步驟,步驟,1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn),2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就是最小值,注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值,3) 最大值、最小值問題,實(shí)際問題求最值應(yīng)注意,1)建立目標(biāo)函數(shù),2)求最值,4) 曲線的凹凸與拐點(diǎn),定義,定理1,方法1,方法2,利用函數(shù)特