選修絕對值不等式的解法課堂

1、絕對值不等式的解法,高二數(shù)學(xué),選修,4-5,第一講,不等式和絕對值不等式,復(fù)習(xí)回顧,1,絕對值的定義,a,a ,a0,a ,a0,0 ,a=0,2,絕對值的幾何意義,實數(shù),a,絕對值,a,表示,數(shù)軸上坐標(biāo)為,A,的點,到原點的距離,a,0,a,A,b,a,a,b,A,B,實數(shù),a,b,之差的絕對值,a-b,表示它們在數(shù)軸上,對應(yīng)的,A,B,之間的距離,3,絕對值的運算性質(zhì),2,a,a,ab,a,b,a,a,b,b,形如,x|a,和,x|a (a0,的不等式的解集,不等式,x|a,的解集為,x|-axa,不等式,x|a,的解集為,x|x-a,或,xa,0,a,a,0,a,a,想一想,如果,0,a

2、,以上不等式的解集是什么,解含絕對值不等式的四種常用思路,這四種思路將有助于我們有效地解決含絕,對值不等式的問題,方法一,利用絕對值的幾何意義觀察,方法二,利用絕對值的定義去掉絕對值符號,需要分類討論,方法三,兩邊同時平方去掉絕對值符號,方法四：利用函數(shù)圖象觀察,5,探索：不等式,x,1,的解集,方法一：利用絕對值的幾何意義觀察,方法二,利用絕對值的定義去掉絕對值符,號，需要分類討論,方法三：兩邊同時平方去掉絕對值符號,方法四,利用函數(shù)圖象觀察,這是解含絕對值不等式的四種常用思路,6,不等式,x|1,的解集表示到原點的距離小于,1,的點的集合,0,1,1,所以，不等式,x|1,的解集為,x|-

3、1x1,探索：不等式,x|1,的解集,方法一,利用絕對值的幾何意義觀察,7,探索：不等式,x|1,的解集,當(dāng),x0,時，原不等式可化為,x,1,當(dāng),x,0,時，原不等式可化為,x,1,即,x,1,0 x,1,1,x,0,綜合得，原不等式的解集為,x,1x1,方法二,利用絕對值的定義去掉絕對值符號,需要分類討論,8,探索：不等式,x|1,的解集,對原不等式兩邊平方得,x,2,1,即,x,2,10,即,x+1)(x,1)0,即,1x1,所以，不等式,x|1,的解集為,x|-1x1,方法三,兩邊同時平方去掉絕對值符號,9,o,x,y,1,1,1,探索：不等式,x|1,的解集,從函數(shù)觀點看，不等式,x

4、|1,的解集表示函數(shù),y=|x,的圖象位于函數(shù),y=1,的圖象下方的部分,對應(yīng)的,x,的取值范圍,y=1,所以，不等式,x|1,的,解集為,x|-1x1,方法四,利用函數(shù)圖象觀察,10,1,ax,b,c,ax,b,c,c,0,型不等式的解法,只需將,ax,b,看成一個整體，即化成,x,a,x,a,a,0,型,不等式求解,ax,b,c,c,0,型不等式的解法：先化為,再由不等式的性質(zhì)求出原不等式的解集,不等式,ax,b,c,c,0,的解法：先化為,或,再進一步利用不等式性質(zhì)求出原不等式的解集,c,ax,b,c,ax,b,c,ax,b,c,c=0? c0,11,ax,b,c,和,ax,b,c,型不

5、等式的解法,當(dāng),c,0,時,ax,b,c,ax,b,c,或,ax,b,c,ax,b,c,c,ax,b,c,當(dāng),c,0,時,ax,b,c,的解集為,R,ax,b,c,的解集為,當(dāng),c,0,時,ax,b,c,的解集為,R,ax,b,c,的解集為,3,2,7,x,解,不,等,式,例,1,2,3,7,x,原,不,等,式,解,2,3,7,2,3,7,x,x,或,2,5,x,x,或,2,5,x,x,x,原,不,等,式,的,解,集,為,或,3,2,1,x,變,解,不,等,式,練,習(xí),式,0,1,U,答,案,2,5,6,x,x,解,不,等,式,例,2,2,6,5,6,x,x,原,不,等,式,解,2,2,5,6

6、,5,6,x,x,x,x,2,2,5,6,0,2,3,1,6,5,6,0,x,x,x,x,x,x,x,或,1,23,6,x,x,或,1,3,4,6,x,解,不,等,式,變,練,習(xí),式,1,0,5,2,1,3,3,3,U,答,案,1,2,3,6,U,原,不,等,式,的,解,集,為,ax,b|c,和,ax+b|c(c0,型不等式比較,類型,化去絕對值后,集合上解的意義區(qū)別,ax+b|c,cax+bc,x|ax+b,c,x|ax+bc,交,ax+b|c,ax+b-c,或,ax+bc,x|ax+b-c,x|ax+bc,并,2,34,1,x,x,x,解,不,等,式,例,3,2,2,2,2,34,0,34

7、,0,34,1,34,1,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,原,不,等,式,或,解,1,4,1,1,4,1,3,5,1,x,x,x,x,x,x,或,或,或,1,5,1,3,x,x,x,或,或,1,1,3,5,x,x,xx,原,不,等,式,的,解,集,為,或,或,2,34,1,x,x,x,解,不,等,式,例,3,2,2,3,4,1,3,4,1,x,x,x,x,x,x,原,不,等,式,或,解,2,2,2,23,0,45,0,x,x,x,x,或,1,3,1,5,x,x,x,或,或,1,1,3,5,x,x,x,x,原,不,等,式,的,解,集,為,或,或,1,3,0,1,5,0,x,x,x,x,或

8、,解絕對值不等式的思路是轉(zhuǎn)化為等價的不含,絕對值符號的不等式,組,常見的類型有,1,0,f,x,a,a,f,x,a,f,xa,或,2,0,f,xa,a,a,f,x,a,3,f,x,g,x,f,x,g,x,f,x,g,x,或,4,f,x,g,x,g,x,f,x,g,x,2,2,5,f,x,g,x,f,x,g,x,18,3,解不等式,1|2,x,1|3,答案,2,1)(0,1,5,解不等式,x,1,x,3,答案,x,x,2,4,解不等式,5,x,6|6,x,答案,0,2,練習(xí),2.|2,x,2,x,1,1,2,1,x,x,1.|2,x,1|5,3,2,x,x,x,或,6.|2,x,1|1,1,x,

9、x,19,2,x,a,x,b,c,和,x,a,x,b,c,型不等式的解法,可采用三種方法,1,利用,絕對值的幾何意義,2,利用各絕對值的,零點分段,討論,3,構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)圖像分析求解,例,4,解不等式,x,1|+|x+2|5,方法一,利用絕對值的幾何意義,解,如圖,數(shù)軸上,2,1,對應(yīng)的點分別為,A,B,原不等式的解集為x|x,3,或,x2,2,1,2,3,1,0,A,A,1,B,B,1,3,2,對應(yīng)的點分別為,A,1,B,1,A,1,A|+|A,1,B|=5,B,1,A|+|B,1,B|=5,數(shù)軸上,點,A,1,和,B,1,之間的任何一點,到點,A,B,的距離之和都小于,5,而,A,1

10、,的左邊或,B,1,的右邊的任何一點,到點,A,B,的距離之和都大于,5,這種方法體現(xiàn)了,數(shù)形結(jié)合的思想,方法二,利用,x-1|=0,|x+2|=0,的零點,分段討論去絕對值,例,4,解不等式,x,1|+|x+2|5,1,2,x,當(dāng),時,解,2,1,2,5,x,x,x,原,不,等,式,2,3,3,x,x,x,2,2,1,x,當(dāng),時,2,1,1,2,5,x,x,x,原,不,等,式,2,1,3,5,x,x,3,1,x,當(dāng),時,1,1,2,5,x,x,x,原,不,等,式,1,2,2,x,x,x,這種解法體現(xiàn)了分類討論的思想,原不等式的解集為x|x,3,或,x2,方法三,通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求

11、解,1,2,5,0,x,x,原,不,等,式,化,為,解,例,4,解不等式,x,1|+,x,2|5,2,6,2,2,2,1,2,4,1,x,x,y,x,x,x,即,x,1),x,2)-5,x,1,x,1),x,2)-5 -2,x,1,x,1),x,2)-5,x,2,f,x,構(gòu)造函數(shù),f,x,x,1|+,x,2|-5,則,3,1,2,2,2,x,y,這種方法體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想,例,4,解不等式,x,1|+,x,2|5,如,圖,作,出,函,數(shù),的,圖,象,2,6,2,2,2,1,2,4,1,x,x,y,x,x,x,3,2,0,x,x,y,由,圖,象,可,知,當(dāng),或,時,函,數(shù),的,零,點,是,3

12、,2,原不等式的解集為,x,x,3,或,x,2,24,x,a,x,b,c,x,a,x,b,c,c,0,型不等式,的三種解法：分區(qū)間,分類,討論法、圖像法和幾何法,分區(qū)間討論的方法具有普遍性，但較麻煩；幾何法和,圖像法直觀，但只適用于數(shù)據(jù)較簡單的情況,25,解不等式,x,3,x,1|1,2,3,4,3,2,3,4,3,5,2,3,4,2,3,3,2,2,3,4,3,2,5,4,2,3,4,3,2,2,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,解,不,等,式,解,當(dāng),時,原,不,等,式,可,化,為,解,得,即,不,等,式,組,的,解,集,是,當(dāng),時,原,不,等,式,可,化,為,即,顯

13、,然,成,立,所,以,不,等,式,組,的,解,集,為,例,1,2,2,1,1,2,2,1,1,1,1,1,2,2,2,2,1,2,1,2,2,1,2,1,2,1,2,2,3,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,x,解,不,等,式,解,當(dāng),時,原,不,等,式,可,化,為,解,得,即,不,等,式,組,的,解,集,是,當(dāng),時,原,不,等,式,可,化,為,即,顯,然,成,立,所,以,不,等,式,組,的,例,練習(xí),不等式,2,x,1,x,的解集為,_,x,x,1,或,x,1,3,R,x,2,5,2,1,2,1,x,x,26,例,3,已知不等式,x,2|-,x,3,m,1,若不等式有解

14、,2,若不等式解集為,R,3,若不等式解集為,分別求出,m,的范圍,思路點撥,解答本題可以先根據(jù)絕對值,x,a,的意義或,絕對值不等式的性質(zhì)求出,x,2,x,3,的最大值和最小值,再分別寫出三種情況下,m,的范圍,27,解：法一,由,x,2,x,3,x,2,x,3),1,x,3,x,2,x,3,x,2),1,可得,1,x,2,x,3|1,1,若不等式有解，則,m,1,2,若不等式解集為,R,則,m,1,3,若不等式解集為,則,m,1,例,3,已知不等式,x,2|-,x,3,m,1,若不等式有解,2,若不等式解集為,R,3,若不等式解集為,分別求出,m,的范圍,28,解,法二,因,x,2,x,3

15、,的幾何意義為數(shù)軸上任,意一點,P,x,與兩定點,A,2,B,3,距離的差,即,x,2,x,3,PA,PB,由圖像知,PA,PB,max,1,PA,PB,min,1,即,1,x,2,x,3|1,1,若不等式有解,m,只要比,x,2,x,3,的最大值小,即可，即,m,1,m,的范圍為,1,例,3,已知不等式,x,2|-,x,3,m,1,若不等式有解,求出,m,的范圍,29,2,若不等式的解集為,R,即不等式恒成立,m,只要比,x,2,x,3,的最小值還小，即,m,1,m,的范圍為,1,3,若不等式的解集為,m,只要不小于,x,2,x,3,的最大值即可，即,m,1,m,的范圍為,1,例,3,已知不等式,x,2|-,x,3,m,2,若不等式解集為,R,3,若不等式解集為,分別求出,m,的范圍,1,x,2,x,3|1,30,問題,1,是存在性問題，只要求存在滿足條件的,x,即可；不等式解集為,R,或為空集時，不等式為絕對不,等式或矛盾不等式，屬于恒成立問題，恒成立問題,f,x,a,恒成立,f,x,max,a,f,x,a,恒成立