2015年二次函數(shù)壓軸題解題思路

1、二次函數(shù)壓軸題解題思路一、基本知識(shí)1會(huì)求解析式2.會(huì)利用函數(shù)性質(zhì)和圖像3.相關(guān)知識(shí)：如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、點(diǎn)的坐標(biāo)、方程。圖形中的三角形、四邊形、圓及平行線、垂直。一些方法：如相似、三角函數(shù)、解方程。一些轉(zhuǎn)換：如軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)。二、典型例題：（一）、求解析式1.（2014萊蕪）過A（1，0）、B（3，0）作x軸的垂線，分別交直線y=4x于C、D兩點(diǎn)拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、C、D三點(diǎn)（1）求拋物線的表達(dá)式；2.（2012萊蕪）頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）的拋物線y=ax2+bx+c（a0）與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)（1）求拋物線的表達(dá)式；練習(xí)：（2014蘭州）把拋物線

2、y=2x2先向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移2個(gè)單位長度后，所得函數(shù)的表達(dá)式為（）Ay=2（x+1）2+2 By=2（x+1）22 Cy=2（x1）2+2 Dy=2（x1）22（二）、二次函數(shù)的相關(guān)應(yīng)用第一類：面積問題例題. （2012萊蕪）如圖，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）的拋物線y=ax2+bx+c（a0）與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)（1）求拋物線的表達(dá)式；（拋物線的解析式：y=（x2）21=x24x+3）（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)D，連接AC、AD，求ACD的面積；xyOACBDEF練習(xí)：1.（2010萊蕪）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線交軸于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn).

3、（1）求此拋物線的解析式；（拋物線的解析式為：.）（3）P為此拋物線在第二象限圖像上的一點(diǎn)，PG垂直于軸，垂足為點(diǎn)G，試確定P點(diǎn)的位置，使得PGA的面積被直線AC分為12兩部分.2. （2014萊蕪）如圖，過A（1，0）、B（3，0）作x軸的垂線，分別交直線y=4x于C、D兩點(diǎn)拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、C、D三點(diǎn)（1）求拋物線的表達(dá)式；（拋物線的表達(dá)式為：y=x2+x）（3）若AOC沿CD方向平移（點(diǎn)C在線段CD上，且不與點(diǎn)D重合），在平移的過程中AOC與OBD重疊部分的面積記為S，試求S的最大值3.（2014蘭州）如圖，拋物線y=x2+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋

4、物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（1，0），C（0，2）（1）求拋物線的表達(dá)式；（3）點(diǎn)E時(shí)線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)k | B| 1 . c |O |m第二類：.構(gòu)造問題（1）構(gòu)造線段（2013萊蕪）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0）經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）、B（1，0）、C（2，1），交y軸于點(diǎn)M（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）D為拋物線在第二象限部分上的一點(diǎn)，作DE垂直x軸于點(diǎn)E，交線段AM于點(diǎn)F，求線段DF長度的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）構(gòu)造相似三角形（

5、2013萊蕪）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0）經(jīng)過點(diǎn)A（3，0）、B（1，0）、C（2，1），交y軸于點(diǎn)M（1）求拋物線的表達(dá)式；（拋物線的表達(dá)式為y=）（3）拋物線上是否存在一點(diǎn)P，作PN垂直x軸于點(diǎn)N，使得以點(diǎn)P、A、N為頂點(diǎn)的三角形與MAO相似？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由（3）構(gòu)造平行四邊形（2014萊蕪）如圖，過A（1，0）、B（3，0）作x軸的垂線，分別交直線y=4x于C、D兩點(diǎn)拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、C、D三點(diǎn)（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)M為直線OD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N，問是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以A、C、M、N為頂點(diǎn)的

6、四邊形為平行四邊形？若存在，求此時(shí)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（4）構(gòu)造等腰三角形（2013泰安）如圖，拋物線y=x2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C（0，-4），與x軸交于點(diǎn)A，B，且B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）（1）求該拋物線的解析式（2）若點(diǎn)P是AB上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PEAC，交BC于E，連接CP，求PCE面積的最大值（3）若點(diǎn)D為OA的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AC上一點(diǎn)，且OMD為等腰三角形，求M點(diǎn)的坐標(biāo)練習(xí)：（2014遵義）如圖，二次函數(shù)的圖象與交于（3,0）、(-1,0),與軸交于點(diǎn).若點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，都以每秒1個(gè)單位長度的速度分別沿，邊運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨即停止運(yùn)動(dòng). （1

7、）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo). （2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，這時(shí)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形.若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由. （3）當(dāng)，運(yùn)動(dòng)到秒時(shí)，沿翻折，點(diǎn)恰好落在拋物線上點(diǎn)處，請(qǐng)判定此時(shí)四邊形的形狀,并求出點(diǎn)坐標(biāo).（5）構(gòu)造直角三角形22 （2014四川內(nèi)江）如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A（3.0）、C（0，4），點(diǎn)B在拋物線上，CBx軸，且AB平分CAO（1）求拋物線的解析式；（2）線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ的最大值；（3）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使ABM是以AB為直角邊的直角三

8、角形？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由（6）構(gòu)造角相等（2014婁底）如圖，拋物線y=x2+mx+（m1）與x軸交于點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），x1x2，與y軸交于點(diǎn)C（0，c），且滿足x12+x22+x1x2=7（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線上能不能找到一點(diǎn)P，使POC=PCO？若能，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由（7）構(gòu)造梯形（2011萊蕪）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2，4)，OB2，拋物線yax2bxc經(jīng)過點(diǎn)A、O、B三點(diǎn)(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，試求AMOM的最小值；ACB(3)在此拋物線上，是否存在點(diǎn)P，

9、使得以點(diǎn)P與點(diǎn)O、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由練習(xí)：（2010臨沂）如圖：二次函數(shù)y=x2 + ax + b的圖象與x軸交于A（-，0），B（2，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C（1）求該拋物線的解析式，并判斷ABC的形狀；（2）在x軸上方的拋物線上有一點(diǎn)D，且A、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，請(qǐng)直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在此拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以A、C、B、P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是直角梯形？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由（8）構(gòu)造菱形（2013棗莊）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)

10、在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式（2）連接PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四邊形POPC，那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POPC為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形ABPC的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積（9）構(gòu)造對(duì)稱點(diǎn)（2011萊蕪）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(2，4)，OB2，拋物線yax2bxc經(jīng)過點(diǎn)A、O、B三點(diǎn)(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，試求AMOM的最小值；(3)

11、在此拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P與點(diǎn)O、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由（10）構(gòu)造平行線（2013威海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y= x+ 與直線y=x交于點(diǎn)A，點(diǎn)B在直線y= x+ 上，BOA=90拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A，O，B，頂點(diǎn)為點(diǎn)E（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；（3）設(shè)直線y=x與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)C，直線BC交拋物線于點(diǎn)D，過點(diǎn)E作FEx軸，交直線AB于點(diǎn)F，連接OD，CF，CF交x軸于點(diǎn)M試判斷OD與CF是否平行，并說明理由練習(xí)：（2014山東煙臺(tái)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，RtAB

12、C的頂點(diǎn)A，C分別在y軸，x軸上，ACB=90，OA=，拋物線y=ax2axa經(jīng)過點(diǎn)B（2，），與y軸交于點(diǎn)D（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)是否在拋物線上？請(qǐng)說明理由；（3）延長BA交拋物線于點(diǎn)E，連接ED，試說明EDAC的理由（11）構(gòu)造垂直第24題圖（2014宜賓市）如圖，已知拋物線y= x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(0，1)，與x軸交于A、B兩點(diǎn). (1)求拋物線的解析式； (2)判斷MAB的形狀，并說明理由； (3)過原點(diǎn)的任意直線(不與y軸重合)交拋物線于C、D兩點(diǎn)，連結(jié)MC、MD，試判斷MC、MD是否垂直，并說明理由（12）構(gòu)造圓(2014年淄博)如圖，點(diǎn)A

13、與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（1，0），（5，0），點(diǎn)P是該直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（1）使APB=30的點(diǎn)P有無數(shù)個(gè)；（2）若點(diǎn)P在y軸上，且APB=30，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，APB是否有最大值？若有，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并說明此時(shí)APB最大的理由；若沒有，也請(qǐng)說明理由（13）軸對(duì)稱（2012浙江麗水）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是拋物線yx2在第二象限上的點(diǎn)，連接OA，過點(diǎn)O作OBOA，交拋物線于點(diǎn)B，以O(shè)A、OB為邊構(gòu)造矩形AOBC(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為時(shí)，矩形AOBC是正方形；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；將拋物線yx2作關(guān)于x軸的軸對(duì)稱變換得到拋物線y

14、x2，試判斷拋物線yx2經(jīng)過平移交換后，能否經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)？如果可以，說出變換的過程；如果不可以，請(qǐng)說明理由（14）規(guī)律（2014江西撫州，第23題，10分） 如圖，拋物線()位于軸上方的圖象記為1 ，它與軸交于1 、兩點(diǎn)，圖象2與1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 2與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為2 ，將1與2同時(shí)沿軸向右平移12的長度即可得3與4 ；再將3與4 同時(shí)沿軸向右平移12的長度即可得5與6 ； 按這樣的方式一直平移下去即可得到一系列圖象1 ,2 , ，n ,我們把這組圖象稱為“波浪拋物線”. 當(dāng)時(shí)， 求圖象1的頂點(diǎn)坐標(biāo)； 點(diǎn)(2014 , 3) 不在 (填“在”或“不在”)該“波浪拋物線”上；若圖象n 的

15、頂點(diǎn)n的橫坐標(biāo)為201，則圖象n 對(duì)應(yīng)的解析式為 ，其自變量的取值范圍為. 設(shè)圖象m、m+1的頂點(diǎn)分別為m 、m+1 (m為正整數(shù)),軸上一點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(12 ,0).試探究：當(dāng)為何值時(shí)，以、m 、m+1、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？并直接寫出此時(shí)m的值.解析：(1)當(dāng)時(shí)， ，F(xiàn)1的頂點(diǎn)是（-1,1)； 由知：“波浪拋物線”的值的取值范圍是-11， 點(diǎn)H(2014,-3)不在“波浪拋物線”上； 由平移知：F2： F3：， Fn的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是201，F(xiàn)n的解析式是：，此時(shí)圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是（200,0)、(202,0), 200202 . (2)如下圖，取OQ的中點(diǎn)O,連接Tm Tm+1

16、, 四邊形OTmQTm+1是矩形，Tm Tm+1=OQ=12, 且 Tm Tm+1 經(jīng)過O, OTm+1=6,F1：Tm+1的縱坐標(biāo)為，()2+12 =62 , = ,已知0 ， .當(dāng)時(shí)，以以O(shè)、Tm 、Tm+1、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為矩形. 此時(shí)m=4. 解：（1）拋物線y=x2+mx+n經(jīng)過A（1，0），C（0，2）解得：，拋物線的解析式為：y=x2+x+2；（2）y=x2+x+2，y=（x）2+，拋物線的對(duì)稱軸是x=OD=C（0，2），OC=2在RtOCD中，由勾股定理，得CD=CDP是以CD為腰的等腰三角形，CP1=CP2=CP3=CD作CHx軸于H，HP1=HD=2，DP1=4P1（

17、，4），P2（，），P3（，）；（3）當(dāng)y=0時(shí)，0=x2+x+2x1=1，x2=4，B（4，0）設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，由圖象，得，解得：，直線BC的解析式為：y=x+2如圖2，過點(diǎn)C作CMEF于M，設(shè)E（a，a+2），F(xiàn)（a，a2+a+2），EF=a2+a+2（a+2）=a2+2a（0x4）S四邊形CDBF=SBCD+SCEF+SBEF=BDOC+EFCM+EFBN，=+a（a2+2a）+（4a）（a2+2a），=a2+4a+（0x4）=（a2）2+a=2時(shí)，S四邊形CDBF的面積最大=，E（2，1）（2014萊蕪）解：（1）由題意，可得C（1，3），D（3，1）拋物線過原點(diǎn)，設(shè)

18、拋物線的解析式為：y=ax2+bx，解得，拋物線的表達(dá)式為：y=x2+x（2）存在設(shè)直線OD解析式為y=kx，將D（3，1）代入求得k=，直線OD解析式為y=x設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則M（x，x），N（x，x2+x），MN=|yMyN|=|x（x2+x）|=|x24x|由題意，可知MNAC，因?yàn)橐訟、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，則有MN=AC=3|x24x|=3若x24x=3，整理得：4x212x9=0，解得：x=或x=；若x24x=3，整理得：4x212x+9=0，解得：x=存在滿足條件的點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為：或或（3）C（1，3），D（3，1）易得直線OC的解析式為y=3x，直線O

19、D的解析式為y=x如解答圖所示，設(shè)平移中的三角形為AOC，點(diǎn)C在線段CD上設(shè)OC與x軸交于點(diǎn)E，與直線OD交于點(diǎn)P；設(shè)AC與x軸交于點(diǎn)F，與直線OD交于點(diǎn)Q設(shè)水平方向的平移距離為t（0t2），則圖中AF=t，F(xiàn)（1+t），Q（1+t，+t），C（1+t，3t）設(shè)直線OC的解析式為y=3x+b，將C（1+t，3t）代入得：b=4t，直線OC的解析式為y=3x4tE（t，0）聯(lián)立y=3x4t與y=x，解得x=t，P（t，t）過點(diǎn)P作PGx軸于點(diǎn)G，則PG=tS=SOFQSOEP=OFFQOEPG=（1+t）（+t）tt=（t1）2+當(dāng)t=1時(shí)，S有最大值為S的最大值為（2013萊蕪）解：由題意可知

20、解得拋物線的表達(dá)式為y=（2）將x=0代入拋物線表達(dá)式，得y=1點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）設(shè)直線MA的表達(dá)式為y=kx+b，則解得直線MA的表達(dá)式為y=x+1設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（）DF=當(dāng)時(shí)，DF的最大值為此時(shí)，即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（）（3）存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、A、N為頂點(diǎn)的三角形與MAO相似設(shè)P（m，）在RtMAO中，AO=3MO，要使兩個(gè)三角形相似，由題意可知，點(diǎn)P不可能在第一象限設(shè)點(diǎn)P在第二象限時(shí)，點(diǎn)P不可能在直線MN上，只能PN=3NM，即m2+11m+24=0解得m=3（舍去）或m=8又3m0，故此時(shí)滿足條件的點(diǎn)不存在當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，點(diǎn)P不可能在直線MN上，只能PN=3N

21、M，即m2+11m+24=0解得m=3或m=8此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，15）當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，若AN=3PN時(shí)，則3，即m2+m6=0解得m=3（舍去）或m=2當(dāng)m=2時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，）若PN=3NA，則，即m27m30=0解得m=3（舍去）或m=10，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（10，39）綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，15）、（2，）、（10，39）（2012萊蕪）解：（1）依題意，設(shè)拋物線的解析式為 y=a（x2）21，代入C（O，3）后，得：a（02）21=3，a=1拋物線的解析式：y=（x2）21=x24x+3（2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；設(shè)直線BC的解析式為

22、：y=kx+3，代入點(diǎn)B的坐標(biāo)后，得：3k+3=0，k=1直線BC：y=x+3；由（1）知：拋物線的對(duì)稱軸：x=2，則 D（2，1）；AD2=2，AC2=10，CD2=8即：AC2=AD2+CD2，ACD是直角三角形，且ADCD；SACD=ADCD=2=2（3）由題意知：EFy軸，則FED=OCB，若OCB與FED相似，則有：DFE=90，即 DFx軸；將點(diǎn)D縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，得：x24x+3=1，解得 x=2；當(dāng)x=2+時(shí)，y=x+3=1；當(dāng)x=2時(shí)，y=x+3=1+；E1（2+，1）、E2（2，1+）EDF=90；易知，直線AD：y=x1，聯(lián)立拋物線的解析式有：x24x+3=x1

23、，解得 x1=1、x2=4；當(dāng)x=1時(shí)，y=x+3=2；當(dāng)x=4時(shí)，y=x+3=1；E3（1，2）、E4（4，1）；綜上，存在符合條件的點(diǎn)E，且坐標(biāo)為：（2+，1）、（2，1+）、（1，2）或（4，1）（2011萊蕪）解得：拋物線的函數(shù)表達(dá)式為。（2）由，可得，拋物線的對(duì)稱軸為直線，且對(duì)稱軸是線段OB的垂直平分線，連結(jié)AB交直線于點(diǎn)M，即為所求。MO=MB，則MO+MA=MA+MB=AB作ACx軸，垂足為C，則AC=4，BC=4，AB=MO+MA的最小值為。（3）若OBAP，此時(shí)點(diǎn)A與點(diǎn)P關(guān)于直線對(duì)稱，來源:學(xué)由A(2，4),得P(4,4),則得梯形OAPB。若OABP，設(shè)直線OA的表達(dá)式為，

24、由A(2，4)得，。設(shè)直線BP的表達(dá)式為，由B(2,0)得，即，直線BP的表達(dá)式為由，解得，（不合題意，舍去）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P()，則得梯形OAPB。若ABOP，設(shè)直線AB的表達(dá)式為，則，解得，AB的表達(dá)式為。直線OP的表達(dá)式為。由，得 ，解得，（不合題意，舍去），此時(shí)點(diǎn)P不存在。綜上所述，存在兩點(diǎn)P(4,4)或P()使得以點(diǎn)P與點(diǎn)O、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是梯形。（2014山東臨沂）解：（1）直線y=2x1，當(dāng)x=0時(shí)，y=1，則點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，1）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，點(diǎn)A（1，0）、B（1，0）、C（0，1）在拋物線上，解得，拋物線的解析式為：y=x21（2）如答圖2所示，直線y

25、=2x1，當(dāng)y=0時(shí)，x=；設(shè)直線CD交x軸于點(diǎn)E，則E（，0）在RtOCE中，OC=1，OE=，由勾股定理得：CE=，設(shè)OEC=，則sin=，cos=過點(diǎn)A作AFCD于點(diǎn)F，則AF=AEsin=（OA+OE）sin=（1+）=，點(diǎn)A到直線CD的距離為（3）平移后拋物線的頂點(diǎn)P在直線y=2x1上，設(shè)P（t，2t1），則平移后拋物線的解析式為y=（xt）2+2t1聯(lián)立，化簡得：x2（2t+2）x+t2+2t=0，解得：x1=t，x2=t+2，即點(diǎn)P、點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)相差2，PQ=GPQ為等腰直角三角形，可能有以下情形：i）若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，如答圖3所示，則PG=PQ=CG=10，OG=CGOC=10

26、1=9，G（0，9）；ii）若點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)，如答圖3所示，則QG=PQ=同理可得：Q（0，9）；iii）若點(diǎn)G為直角頂點(diǎn)，如答圖3所示，此時(shí)PQ=，則GP=GQ=分別過點(diǎn)P、Q作y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N易證RtPMGRtGNQ，GN=PM，GM=QN在RtQNG中，由勾股定理得：GN2+QN2=GQ2，即PM2+QN2=10 點(diǎn)P、Q橫坐標(biāo)相差2，NQ=PM+2，代入式得：PM2+（PM+2）2=10，解得PM=1，NQ=3直線y=2x1，當(dāng)x=1時(shí)，y=1，P（1，1），即OM=1OG=OM+GM=OM+NQ=1+3=4，G（0，4）綜上所述，符合條件的點(diǎn)G有兩個(gè)，其坐標(biāo)為（0，4）

27、或（0，9）（2010臨沂）（1）根據(jù)題意，將，B（2，0）代入中，得 解這個(gè)方程，得該拋物線的解析式為 當(dāng)時(shí)，.點(diǎn)的坐標(biāo)為.在中，.在中，.，是直角三角形.（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為（3）存在.由（1）知，.若以BC為底邊，則BCAP，如圖5所示.可求得直線BC的解析式為.直線AP可以看作是由直線BC平移得到的，所以設(shè)直線AP的解析式為.把點(diǎn)代入直線的解析式，求得，直線AP的解析式為.點(diǎn)既在拋物線上，又在直線上,點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，即解得(不合題意，舍去).當(dāng)時(shí)，.點(diǎn)的坐標(biāo)為.若以為底邊，則BPAC，如圖6所示.可求得直線的解析式為.直線可以看作是由直線平移得到的，所以直線的解析式為.把點(diǎn)代入直線的解析式

28、，求得直線的解析式為.點(diǎn)既在拋物線上，又在直線上.點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,即.解得 (不合題意，舍去).當(dāng)時(shí)，.點(diǎn)的坐標(biāo)為.綜上所述，滿足題目條件的點(diǎn)為或.（2014遵義） （2）存在分三種情況討論如下：以為圓心，為半徑畫弧，交軸于點(diǎn),.=4，=3，=1，=3+4=7.,以為圓心，為半徑畫弧，交軸于,(與點(diǎn)重合，不合題意)過作軸于點(diǎn),則軸， 即 ，,.作的中垂線交軸于點(diǎn),垂足為,=,=.即，,綜上，這樣的點(diǎn)有四個(gè)，,，.（3）（6分）四邊形是菱形. 解法一：過作軸于點(diǎn),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，則 =. ,=,=. , , ,即， ，,， 點(diǎn)在拋物線上， 解得（舍去）， ，（2014婁底）解（1）依題意：x1

29、+x2=m，x1x2=m1，x1+x2+x1x2=7，（x1+x2）2x1x2=7，（m）2（m1）=7，即m2m6=0，解得m1=2，m2=3，c=m10，m=3不合題意m=2拋物線的解析式是y=x22x3；（2）能如圖，設(shè)p是拋物線上的一點(diǎn)，連接PO，PC，過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為D若POC=PCO則PD應(yīng)是線段OC的垂直平分線C的坐標(biāo)為（0，3）D的坐標(biāo)為（0，）P的縱坐標(biāo)應(yīng)是令x22x3=，解得，x1=，x2=因此所求點(diǎn)P的坐標(biāo)是（，），（，）(2014年淄博)（1）以AB為邊，在第一象限內(nèi)作等邊三角形ABC，以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑作C，交y軸于點(diǎn)P1、P2在優(yōu)弧AP1B上任取一點(diǎn)

30、P，如圖1，則APB=ACB=60=30使APB=30的點(diǎn)P有無數(shù)個(gè)故答案為：無數(shù)（2）當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí)，過點(diǎn)C作CGAB，垂足為G，如圖1點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（5，0），OA=1，OB=5AB=4點(diǎn)C為圓心，CGAB，AG=BG=AB=2OG=OA+AG=3ABC是等邊三角形，AC=BC=AB=4CG=2點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2）過點(diǎn)C作CDy軸，垂足為D，連接CP2，如圖1，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，2），CD=3，OD=2P1、P2是C與y軸的交點(diǎn)，AP1B=AP2B=30CP2=CA=4，CD=3，DP2=點(diǎn)C為圓心，CDP1P2，P1D=P2D=P2（0，2）P1（0，2+）當(dāng)點(diǎn)P在y軸

31、的負(fù)半軸上時(shí)，同理可得：P3（0，2）P4（0，2+）綜上所述：滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)有：（0，2）、（0，2+）、（0，2）、（0，2+）（3）當(dāng)過點(diǎn)A、B的E與y軸相切于點(diǎn)P時(shí)，APB最大當(dāng)點(diǎn)P在y軸的正半軸上時(shí)，連接EA，作EHx軸，垂足為H，如圖2E與y軸相切于點(diǎn)P，PEOPEHAB，OPOH，EPO=POH=EHO=90四邊形OPEH是矩形OP=EH，PE=OH=3EA=3EHA=90，AH=2，EA=3，EH=OP=P（0，）當(dāng)點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上時(shí)，同理可得：P（0，）理由：若點(diǎn)P在y軸的正半軸上，在y軸的正半軸上任取一點(diǎn)M（不與點(diǎn)P重合），連接MA，MB，交E于點(diǎn)N，連接NA，如

32、圖2所示ANB是AMN的外角，ANBAMBAPB=ANB，APBAMB若點(diǎn)P在y軸的負(fù)半軸上，同理可證得：APBAMB綜上所述：當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，APB有最大值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）和（0，）2014泰安解：（1）由題設(shè)可知A（0，1），B（3，），根據(jù)題意得：，解得：，則二次函數(shù)的解析式是：y=x+1；（2）設(shè)N（x，x2x+1），則M、P點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（x，x+1），（x，0）MN=PNPM=x2x+1（x+1）=x2x=（x+）2+，則當(dāng)x=時(shí)，MN的最大值為；（3）連接MN、BN、BM與NC互相垂直平分，即四邊形BCMN是菱形，由于BCMN，即MN=BC，且BC=MC，即x2x

33、=，且（x+1）2+（x+3）2=，解得：x=1，故當(dāng)N（1，4）時(shí)，MN和NC互相垂直平分（2014四川內(nèi)江，第28題，12分）解：（1）如圖1，A（3，0），C（0，4），OA=3，OC=4AOC=90，AC=5BCAO，AB平分CAO，CBA=BAO=CABBC=ACBC=5BCAO，BC=5，OC=4，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，4）A（3.0）、C（0，4）、B（5，4）在拋物線y=ax2+bx+c上，解得：拋物線的解析式為y=x2+x+4（2）如圖2，設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，A（3.0）、B（5，4）在直線AB上，解得：直線AB的解析式為y=x+設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（3t5），則點(diǎn)Q

34、的橫坐標(biāo)也為tyP=t+，yQ=t2+t+4PQ=yQyP=t2+t+4（t+）=t2+t+4t=t2+=（t22t15）= （t1）216=（t1）2+0，315，當(dāng)t=1時(shí)，PQ取到最大值，最大值為線段PQ的最大值為（3）當(dāng)BAM=90時(shí)，如圖3所示拋物線的對(duì)稱軸為x=xH=xG=xM=yG=+=GH=GHA=GAM=90，MAH=90GAH=AGMAHG=MHA=90，MAH=AGM，AHGMHA=解：MH=11點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，11）當(dāng)ABM=90時(shí)，如圖4所示BDG=90，BD=5=，DG=4=，BG=同理：AG=AGH=MGB，AHG=MBG=90，AGHMGB=解得：MG=MH=M

35、G+GH=+=9點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，9）綜上所述：符合要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，9）和（，11）（2014宜賓市）解：（1）拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（0，1），b=0，c=1，拋物線的解析式為：y=x21（2）MAB是等腰直角三角形，由拋物線的解析式為：y=x21可知A（1，0），B（1，0），OA=OB=OC=1，AMO=MAO=BMO=BOM=45，AMB=AMO+BMO=90y軸是對(duì)稱軸，A、B為對(duì)稱點(diǎn)，AM=BM，MAB是等腰直角三角形（3）MCMF；分別過C點(diǎn)，D點(diǎn)作y軸的平行線，交x軸于E、F，過M點(diǎn)作x軸的平行線交EC于G，交DF于H，設(shè)D（m，m21），C（n，n21），

36、OE=n，CE=1n2，OF=m，DF=m21，OM=1，CG=n2，DH=m2，F(xiàn)GDH，=，即=解得m=，=n，=，=，CGM=MHD=90，CGMMHD，CMG=MDH，MDH+DMH=90CMG+DMH=90，CMD=90，即MCMF（2013泰安）解：（1）把點(diǎn)C（0，-4），B（2，0）分別代入y=x2+bx+c中，得，解得。該拋物線的解析式為y=x2+x-4（2）令y=0，即x2+x-4=0，解得x1=-4，x2=2，A（-4，0），SABC=ABOC=12設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0），則PB=2-xPEAC，BPE=BAC，BEP=BCA，PBEABC，即，化簡得：SPBE=（2-x）2SPCE=SPCB-SP