第七章-一維波動方程的解題方法及習(xí)題答案

1、第二篇 數(shù)學(xué)物理方程物理問題中的二階線性偏微分方程及其解法Abstracts:1、根據(jù)物理問題導(dǎo)出數(shù)理方程偏微分方程；2、給定數(shù)理方程的附加條件：初始條件、邊界條件、物理條件(自然條件，連接條件)，從而與數(shù)理方程一起構(gòu)成定解問題；3、方程齊次化；、數(shù)理方程的線性導(dǎo)致解的疊加。一、數(shù)理方程的來源和分類（狀態(tài)描述、變化規(guī)律）1、來源I質(zhì)點力學(xué)：牛頓第二定律連續(xù)體力學(xué)II.麥克斯韋方程III. 熱力學(xué)統(tǒng)計物理特別: 穩(wěn)態(tài)（）: (Laplace equation).IV. 量子力學(xué)的薛定諤方程：2. 分類物理過程方 程數(shù)學(xué)分類振動與波波動方程雙曲線輸運方程拋物線穩(wěn)態(tài)方程Laplace equatio

2、n橢圓型二、數(shù)理方程的導(dǎo)出推導(dǎo)泛定方程的原則性步驟：（1）定變量：找出表征物理過程的物理量作為未知數(shù)（特征量），并確定影響未知函數(shù)的自變量。（2）立假設(shè)：抓主要因素，舍棄次要因素，將問題“理想化”-“無理取鬧”（物理趣樂）。（3）取局部：從對象中找出微小的局部（微元），相對于此局部一切高階無窮小均可忽略-線性化。（4）找作用：根據(jù)已知物理規(guī)律或定律，找出局部和鄰近部分的作用關(guān)系。（5）列方程：根據(jù)物理規(guī)律在局部上的表現(xiàn)，聯(lián)系局部作用列出微分方程。Chapter 7 一維波動方程的傅里葉解第一節(jié) 一維波動方程-弦振動方程的建立7.1.1 弦橫振動方程的建立（一根張緊的柔軟弦的微小振動問題）（1）

3、定變量：取弦的平衡位置為軸。表征振動的物理量為各點的橫向位移，從而速度為，加速度為.（2）立假設(shè)：弦振動是微小的，因此，又，；弦是柔軟的，即在它的橫截面內(nèi)不產(chǎn)生應(yīng)力，則在拉緊的情況下弦上相互間的拉力即張力始終是沿弦的切向(等價于弦上相互間有小的彈簧相連)；所有外力都垂直于軸，外力線密度為；設(shè)弦的線密度（細長）為，重力不計。（3）取局部：在點處取弦段,是如此之小,以至可以把它看成質(zhì)點(微元)。質(zhì)量微元：；微弧長：（即這一小段的長度在振動過程中可以認為是不變的，因此它的密度不隨時間變化，另外根據(jù)Hooke定律可知，張力也不隨時間變化，我們把它們分別記為和.（4）找作用：找出弦段所受的力。外力：，垂

4、直于軸方向；張力變化：,方向緊繃，,垂直于軸方向。（5）列方程：根據(jù)牛頓第二定律，因方向無位移，故.即，其中是單位質(zhì)量所受外力。如果弦是均勻的，即為常數(shù)，則可寫為弦振動的傳播速度，則.自由振動(): (齊次方程)。小結(jié)1：對于弦的橫振動、桿的縱振動方程（一根彈性均勻細桿的微小振動問題）、薄膜的橫振動方程（張緊的柔軟膜的微小振動問題），在不受外力情況下，其振動的微分方程為：（齊次方程）其中a為振動的傳播的速度。當(dāng)單位質(zhì)量所受外力為時，其振動微分方程為：（非齊次方程）7.1.2 定解問題第一節(jié)從物理問題和相應(yīng)的物理定律導(dǎo)出了其所滿足的偏微分方程，但總是選擇物體內(nèi)部，不含端點或邊界，對一小部分來討論

5、其運動狀況，僅反映了物體內(nèi)部各部分之間的相互聯(lián)系，且在區(qū)域內(nèi)部相鄰之間、相繼時刻之間的這種聯(lián)系（規(guī)律）通常與周圍環(huán)境（邊界上）和初始時刻對象（體系）所處的狀態(tài)無關(guān)。僅有方程還不足以確定物體的運動，因為外界的作用通常是通過物體邊界“傳”到內(nèi)部的；一個方程可能有多個解，通解中含若干任意常數(shù)（函數(shù)），初始條件和邊界條件就是確定它們的條件。求一個微分方程的解滿足一定初始條件和邊界條件的問題稱為定解問題：泛定方程&1. 初始條件即已知初位移和初速度2. 邊界條件i. 第一類邊界條件-狄利克雷條件（Dirichlet邊界條件）：直接給出了未知函數(shù)在邊界上的值。ii. 第二類邊界條件-諾依曼條件（Neuma

6、nn邊界條件）：給出未知函數(shù)在邊界上法向?qū)?shù)的值。自由端點邊界（端點不受外力，自由振動，意味著弦張力在振動方向無分量）屬于此類，邊界條件為iii. 第三類邊界條件-羅賓條件：給出未知函數(shù)和其邊界法向?qū)?shù)在邊界上的線性關(guān)系。彈性支撐邊界（端點受到彈簧的約束而無外力）屬于此類，邊界條件為：Note：初始條件和邊界條件是場運動規(guī)律的極限。例1對弦的橫振動問題導(dǎo)出下列情況的定解條件：弦的兩端點和固定，用手將弦上的點拉開使之與平衡位置的偏離為（），然后放手。解：兩端固定，所以邊界條件為：由點的初始位移求出其他點的初始位移，它們是兩段直線方程，容易求得：顯然，初速度為零：第二節(jié) 齊次方程混合問題的傅里葉解

7、分離變量法 本征值問題Abstract：求解數(shù)理方程定解問題的方法有分離變量法、行波法、積分變換法、變分法、復(fù)變函數(shù)論等，這些方法各有千秋。分離變量法普遍適用，在其使用條件下，自然導(dǎo)致了問題的核心本征值問題。求解常微分方程：一般先求通解，再用初始/邊界條件定其參數(shù)；求解偏微分方程，即使求得通解，亦難于由定解條件來定解（含任意函數(shù)）本征值問題可解決此類問題。7.2.1 利用分離變量法求解齊次弦振動方程的混合問題分離變量法：把二元函數(shù)表示為兩個一元函數(shù)相乘；然后帶入函數(shù)的二階偏微分齊次方程，把偏微分方程化為兩個常微分方程；把偏微分方程的邊界條件轉(zhuǎn)化為常微分方程的邊界條件。題型I：方程和邊界條件都是

8、齊次的，而初始條件是非齊次的。例題1：下面以兩端固定弦的自由振動為例(第一類齊次邊界條件):注意這里的邊界條件。第一步, 分離變量，將二階偏微分方程轉(zhuǎn)化為兩個常微分方程。設(shè)取此特解形式，可得駐波解：是振蕩函數(shù)，而與無關(guān)，是幅度函數(shù)，與無關(guān),將此代入泛定方程，即得等式兩端除以，就有.注意在這個等式中，左端只是的函數(shù)，與無關(guān)，而右端只是的函數(shù)，與無關(guān)。因此，左端和右端相等，就必須共同等于一個既與無關(guān)、又與無關(guān)的常數(shù)。令這個常數(shù)為(參數(shù))，即，.由此得到兩個常微分方程： （7.1） （7.2）第二步，將原來的邊界條件轉(zhuǎn)化為的邊界條件。將此代入邊界條件，得，轉(zhuǎn)化為的邊界條件：，因為不可能恒為0，否則恒

9、為0 （7.3）這樣就完成了分離變量法求解偏微分方程定解（亦定界）問題的前兩步：分離變量。在這兩步中，假設(shè)所要求的是變量分離形式的非零解，導(dǎo)出了函數(shù)應(yīng)該滿足的常微分方程和邊界條件，以及所滿足的常微分方程。分離變量之所以能夠?qū)崿F(xiàn)，是因為原來的偏微分方程和邊界條件都是齊次的（可分離變量）。第三步,求解本征值問題上面得到的函數(shù)的常微分方程定解問題，稱為本征值問題。其特點是：常微分方程中含有一個待定常數(shù)，而定解條件，是一對齊次邊界條件。這樣的定解問題不同于我們過去熟悉的常微分方程的初值問題。下面將看到，并非對于任何值，都有既滿足齊次常微分方程，又滿足齊次邊界條件的非零解。只有當(dāng)取某些特定值時，才有既滿

10、足齊次常微分方程，又滿足齊次邊界條件的非零解.的這些特定值稱為本征值(eigenvalue)，相應(yīng)的非零解稱為本征函數(shù)(eigenfunction).通過討論分析得出只有時，方程（7.2）的解才有意義。因此，時解（7.2）式得，.將這個通解代入邊界條件（7.3），就有即和不能同時為0，否則恒為零，恒為0（平凡解，雖然零解無物理意義，但至少說明數(shù)學(xué)上可能行得通），因此只能是，即 .于是，只能取如下的一系列值： ；相應(yīng)的本征函數(shù)就是：這里取，因為我們所要求的必然只是線性無關(guān)解。不同的值給出的是線性相關(guān)的。由于同樣的原因，我們也不必考慮為負整數(shù)的情形。這樣求得的本征值有無窮多個，他們可以用正整數(shù)標(biāo)記

11、，因此，我們把本征值和本征函數(shù)分別記為和.第四步,求特解，并進一步疊加出一般解：對于每一個本征值，由（7.1）解出相應(yīng)的:.因此，也就得到了滿足偏微分方程和邊界條件的特解: .這樣的特解有無窮多個。每一個特解都同時滿足齊次偏微分方程和齊次邊界條件。它們是一系列的駐波。但是，一般來說，單獨任何一個特解都不能滿足定解問題中的初始條件。然而，由于偏微分方程和邊界條件都是齊次的，把它們的特解線性疊加起來，即.這樣得到的也仍然是齊次偏微分方程在齊次邊界條件下的解（當(dāng)然要求此級數(shù)收斂且可以逐項求二階偏導(dǎo)，即求和和求導(dǎo)可以交換次序）。這種形式的解稱為一般解?，F(xiàn)在根據(jù)初始條件中的已知函數(shù)和定出疊加系數(shù)和.將上

12、面的一般解代入初始條件，得注：是已知函數(shù)而非任意函數(shù)既要滿足方程又要滿足條件。由構(gòu)成，亦由構(gòu)成。初、邊條件僅是其內(nèi)部規(guī)律的極限。第五步,利用本征函數(shù)的正交性確定疊加系數(shù)：設(shè)和是分別對應(yīng)本征值和的兩個本征函數(shù)，（即）. 顯然，它們分別滿足 （7.6）， （7.7）和 （7.8）， （7.9）用乘以(7.6)，用乘以(7.8)，相減并在區(qū)間上積分，即得其中利用了和所滿足的邊界條件（7.7）和（7.9）.考慮到，因此，就證得本征函數(shù)的正交性:.進一步計算還可以得到本征函數(shù)的模方:.因此，在(7.4)式兩端同乘以，并逐項積分，就得到所以，. 同樣可以得到，.（實為傅里葉級數(shù)的奇延拓）這樣，根據(jù)初始條件

13、中的已知函數(shù)和，計算出積分，就可以得到疊加系數(shù)和，從而就求得了整個定解問題的解。Step 6,解的物理解釋先觀察特解：其中，.因此，代表一個駐波，表示線上各點的振幅分布，表示點諧振動。是駐波的圓頻率，稱為兩端固定弦的固有頻率或本征頻率，與初始條件無關(guān)；稱為波數(shù)，是單位長度上波的個數(shù)；稱為位相，由初始條件決定。在，即的各點上，振動的幅度恒為0，稱為波節(jié)。包括弦的兩個端點在內(nèi)，波節(jié)點共有個。在，即的各點上，振幅的絕對值恒為最大，稱為波腹。波腹共有個。整個問題的解則是這些駐波的迭加。正是因為這個原因，這種解法也稱為駐波法(a generized method of the separation va

14、riables).就兩端固定弦來說，固有頻率中有一個最小值，即，稱為基頻。其它固有頻率都是它的整數(shù)倍，稱為倍頻。弦的基頻決定了所發(fā)聲音的音調(diào)。在弦樂器中，當(dāng)弦的質(zhì)料一定（即一定）時，通過改變弦的繃緊程度（即改變張力T的大?。?，就可以調(diào)節(jié)基頻的大小?；l和倍頻的迭加系數(shù)和的相對大小決定了聲音的頻譜分布，即決定了聲音的音色。小結(jié)2：對于弦振動的齊次方程和第一類齊次邊界條件的混合問題，即：（注意：這里的x的范圍和函數(shù)的邊界條件的表示）它的解是：其中：習(xí)題七的1-6題屬于例題1類型。例題2，弦振動的齊次邊界條件中存在第二類邊界條件，如：注意：邊界條件與例題1不一樣。第一步，分離變量，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為

15、兩個常微分方程。令，并代入泛定方程，即得等式兩端同時除以，就有.由此得到兩個常微分方程：第二步，將原函數(shù)的邊界條件化為分離變量后函數(shù)的邊界條件。將代入關(guān)于的一對齊次邊界條件，得，得X的邊界條件為：，第三步，解本征值問題。這樣，我們得到本征值問題:, ，.才有解. 解得：.得到：代入邊界條件，就有即和不能同時為0，否則恒為零，因而恒為0（平凡解）。因此只能是，即 .于是，只能取如下的一系列值：;相應(yīng)的本征函數(shù)就是：.第四步，解的微分方程，得到的特解，疊加得出一般解。對于每一個本征值，可以求出相應(yīng)的:因此，也就得到了滿足邊界條件的特解:把這些特解疊加起來，就得到一般解:.第五步，由本征函數(shù)的正交歸

16、一性，得到系數(shù)，確定解。將上面的一般解代入初始條件，根據(jù)本征函數(shù)的正交性得系數(shù)為：例題3，弦振動的齊次方程和齊次第一類、第二類邊界條件注意：邊界條件與例題1、例題2都不一樣。第一步，分離變量，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為兩個常微分方程。令，并代入泛定方程，即得等式兩端同時除以，就有.由此得到兩個常微分方程：第二步，將原函數(shù)的邊界條件化為分離變量后函數(shù)的邊界條件。將代入關(guān)于的一對齊次邊界條件，得，這時也可以分離變量，得X的邊界條件為：，.第三步，解本征值問題。這樣，我們得到本征值問題:, ，.才有解. 解得：.得到：以上兩式代入邊界條件，就有即和不能同時為0，否則恒為零，因而恒為0（平凡解）。因此只能是，

17、即 .于是，只能取如下的一系列值：;相應(yīng)的本征函數(shù)就是：.第四步，解的微分方程，得到的特解，疊加得出一般解。對于每一個本征值，可以求出相應(yīng)的:因此，也就得到了滿足邊界條件的特解:把這些特解疊加起來，就得到一般解:第五步，由本征函數(shù)的正交歸一性，得到系數(shù)，確定解。將上面的一般解代入初始條件，根據(jù)本征函數(shù)的正交性得系數(shù)為：小結(jié)3：對于弦的自由振動，針對齊次邊界條件中存在第二類邊界條件的兩類例題：例題2的解為其中例題3的解為其中習(xí)題七的13題屬于例題2類型。題型II：方程為齊次，邊界條件為非齊次。以習(xí)題10為例：求解長為的弦的振動問題注意邊界條件，邊界條件為非齊次，直接用分離變量法無法求出解，所以需

18、將非齊次邊界條件處理成齊次邊界條件，再用分離變量法。解題方法：用輔助函數(shù)法，把非齊次邊界條件轉(zhuǎn)化為齊次邊界條件。令函數(shù)，其中為已知函數(shù)。已知函數(shù)的選取條件是：必須能夠使得滿足齊次邊界條件的混合問題，即：解：第一步，找出已知函數(shù)令 （4）第二步，把上式帶入的混合問題，轉(zhuǎn)化為的齊次邊界條件的混合問題。把公式（4）帶入公式（1）得： （5）將公式（2）帶入公式（4）得： （6）將公式（3）帶入公式（4）得： （7） （8）這樣，函數(shù)滿足的混合問題為：第三步，解關(guān)于的混合問題。的混合問題為例題1，所以解為其中：第四步，寫出原方程的解。由得：習(xí)題七第12題：其中是一個充分小的正數(shù)，為充分光滑的已知函數(shù)。

19、分析：泛定方程（1）式除了u，不存在第二個函數(shù)項，所示是齊次微分方程，（2）式為邊界條件而且是齊次的，所以該題可以用分離變量法。解：第一步，分離變量，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為兩個常微分方程。令 （4）將（4）式代入方程（1），即得等式兩端同時除以，把關(guān)于x和t的函數(shù)分移至等號兩邊，有.由此得到兩個常微分方程： （5） （6）第二步，將原函數(shù)的邊界條件化為分離變量后函數(shù)的邊界條件。將代入關(guān)于的一對齊次邊界條件（2）式，得，這時也可以分離變量，得X函數(shù)的邊界條件為：， （7）第三步，解本征值問題。這樣，我們得到本征值問題:, ，.解得：.代入邊界條件，就有即和不能同時為0，否則恒為零，因而恒為0（平凡解

20、）。因此只能是，即 .于是，只能取如下的一系列值：;相應(yīng)的本征函數(shù)就是： （8）第四步，解的微分方程，得到的特解，疊加得出一般解。解（6）式：（6）式的特征函數(shù)為，其特征根為：因此（6）式解為：對于每一個本征值，相應(yīng)的:因此，也就得到了滿足邊界條件的特解:把這些特解疊加起來，就得到一般解: （9）第五步，由本征函數(shù)的正交性，得到系數(shù)，確定解。將初始條件代入上面的一般解，得：根據(jù)本征函數(shù)的正交性得系數(shù)為： （10）（9）式對t求導(dǎo)為：將初始條件帶入上求導(dǎo)式，得根據(jù)本征函數(shù)的正交性，得：把（10）式帶入，得到（11）該題的解為（9）式，（10）式和（11）式為（9）式中的系數(shù)。第四節(jié) 非齊次振動方

21、程求解前面所討論的問題中的偏微分方程都是齊次的，現(xiàn)在來討論非齊次偏微分方程的解法。為方便起見，以長為l兩端固定的弦的強迫振動為例，所用方法對其它類型的方程也適合。即考慮定解問題由所給的定解問題可以看出：弦兩端固定，所以做的是強迫振動。方法1：直接利用本征函數(shù)來求解，即把解展開成本征函數(shù)的形式，求出參數(shù)。（該方法的前提條件是要知道此定解問題對應(yīng)的齊次方程的本征函數(shù)）由上節(jié)例題1可知：兩端固定的弦的自由振動在弦上形成駐波形式，其本征值為，本征函數(shù)為。則該弦在強迫力作用下仍作類似該駐波形式的振動，因此，直接利用本征函數(shù)來求解。第一步，將上述定解問題中未知函數(shù)、已知函數(shù)、和都展開成本征函數(shù)的級數(shù)形式。

22、令 （4-1.4） （4-1.5） （4-1.6） （4-1.7）由本征函數(shù)的正交性可知： （4-1.8） （4-1.9） （4-1.10）第二步，通過比較系數(shù)，得出參數(shù)滿足的常微分方程及滿足的初始條件。將式（4-1.4）及（4-1.5）帶入式（4.1）通過比較系數(shù)，得到常微分方程： （4-1.11）將式（4-1.6）、（4-1.7）帶入式（4.3）導(dǎo)出應(yīng)該滿足的初始條件： （4-1.12） （4-1.13）通過比較式（4-1.12）與式（4-1.6），比較式（4-1.13）與式（4-1.7）得到： （4-1.14） （4-1.15）第三步，求解關(guān)于的常微分方程（4-1.11）式。（4-1.11）式為非齊次，用常數(shù)變易法（第一冊中關(guān)于常微分方程初步）或積分變換法（第十二章或第十三章），或根據(jù)杜阿梅爾原則（第八章8.4.3的齊次化原理），結(jié)合初始條件（4-1.14）、（4-1.15），求出： （4-1.16）式（4-1.16）帶入式（4-1.4）即為（4.1）（4.3）混合問題的解。方法2：將原問題分成兩部分來處理在上述定解問題中，弦的振動是由兩部