[舉一反三]真題精講與發(fā)散思考——坐標(biāo)系中的幾何問題

1、坐標(biāo)系中的幾何問題【前言】前面六講我們研究了幾何綜合題及代數(shù)綜合題的各種方面，相信很多同學(xué)都已經(jīng)掌握了。但是中考中，最難的問題往往都是幾何和代數(shù)混雜在一起的，一方面涉及函數(shù)，坐標(biāo)系，計(jì)算量很大，另一方面也有各種幾何圖形的性質(zhì)體現(xiàn)。所以往往這類問題都會(huì)在最后兩道題出現(xiàn)，而且基本都是以多個(gè)小問構(gòu)成。此類問題也是失分最高的，往往起到拉開分?jǐn)?shù)檔次的關(guān)鍵作用。作為想在中考數(shù)學(xué)當(dāng)中拿高分甚至滿分的同學(xué)，這類問題一定要重視。此后的兩講我們分別從坐標(biāo)系中的幾何以及動(dòng)態(tài)幾何中的函數(shù)兩個(gè)角度出發(fā)，去徹底攻克此類問題。第一部分 真題精講【例1】2010，石景山，一模已知：如圖1，等邊的邊長為，一邊在軸上且， 交軸于

2、點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)（1）直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)； （2）若直線將四邊形的面積兩等分，求的值； 線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，現(xiàn)給出兩個(gè)結(jié)論： ，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是準(zhǔn)確的，請(qǐng)你判斷哪個(gè)結(jié)論準(zhǔn)確，并證明【思路分析】 很多同學(xué)一看到這種題干又長條件又多又復(fù)雜的代幾綜合壓軸題就覺得頭皮發(fā)麻，稍微看看不太會(huì)做就失去了攻克它的信心。在這種時(shí)候要慢慢將題目拆解，條分縷析提出每一個(gè)條件，然后一步一步來。第一問不難，C點(diǎn)縱坐標(biāo)直接用tg60來算，七分中的兩分就到手了。第二問看似較難，但是實(shí)際上考生需要知道“過四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的任意直線都將四邊形面積平分”這個(gè)定理就輕松解決了，這個(gè)定理的證明不難，有興趣同學(xué)能夠自己證一下加深印象。因

3、為EFAB還是一個(gè)等腰梯形，所以對(duì)角線交點(diǎn)非常好算，四分到手。最后三分收起來有點(diǎn)麻煩，不過稍微認(rèn)真點(diǎn)畫圖，不難猜出式成立。拋物線倒是好求，因?yàn)橐C的是角度相等，所以大家應(yīng)該想到全等或者相似三角形，過D做一條垂線就發(fā)現(xiàn)圖中有多個(gè)全等關(guān)系，下面就忘記拋物線吧，單獨(dú)將三角形拆出來當(dāng)成一個(gè)純粹的幾何題去證明就很簡單了。至此，一道看起來很難的壓軸大題的7分就成功落入囊中了?！窘馕觥拷猓海?）； （2）過點(diǎn)作于，交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)是等邊三角形， 在中，交于， （就是四邊形對(duì)角線的中點(diǎn)，橫坐標(biāo)自然和C一樣，縱坐標(biāo)就是E的縱坐標(biāo)的一半）直線將四邊形的面積兩等分直線必過點(diǎn)， （3）準(zhǔn)確結(jié)論：證明：可求得過的拋物線

4、解析式為 由題意又，過點(diǎn)作于由題意可知即： （這個(gè)問點(diǎn)多圖雜，不行就直接另起一個(gè)沒有拋物線干擾的圖）【例2】2010，懷柔，一模如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,拋物線與正半軸交于點(diǎn)A,與軸交于點(diǎn)B,過點(diǎn)B作x軸的平行線BC,交拋物線于點(diǎn)C,連結(jié)AC現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),點(diǎn)P以每秒4個(gè)單位的速度沿OA向終點(diǎn)A移動(dòng),點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿CB向點(diǎn)B移動(dòng),點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),線段OC,PQ相交于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DEOA,交CA于點(diǎn)E,射線QE交x軸于點(diǎn)F設(shè)動(dòng)點(diǎn)P,Q移動(dòng)的時(shí)間為t(單位：秒)(1)求A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo);(2)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形PQCA為平行四

5、邊形?請(qǐng)寫出計(jì)算過程;(3)當(dāng)0t時(shí),PQF的面積是否總為定值?若是,求出此定值,若不是,請(qǐng)說明理由;(4)當(dāng)t _時(shí),PQF為等腰三角形?【思路分析】近年來這種問動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)圖像變成特殊圖形的題目非常流行，所以大家需要對(duì)各種特殊圖形的判定性質(zhì)非常熟悉。本題一樣一步步拆開來做，第一問送分，給出的拋物線表達(dá)式很好因式分解。注意平行于X軸的直線交拋物線的兩個(gè)點(diǎn)一定是關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的。第二問就在于當(dāng)四邊形PQCA為平行四邊形的時(shí)候題中已知條件有何關(guān)系。在運(yùn)動(dòng)中，QC和PA始終是平行的，根據(jù)平行四邊形的判定性質(zhì)，只要QC=PA時(shí)候即可。第三問求PQF是否為定值，因?yàn)槿切蔚囊粭l高就是Q到X軸的距離

6、，而運(yùn)動(dòng)中這個(gè)距離是固定的，所以只需看PF是否為定值即可。根據(jù)相似三角形建立比例關(guān)系發(fā)現(xiàn)OP=AF，得解。第四問因?yàn)橐呀?jīng)知道PF為一個(gè)定值，所以只需PQ=PF=18即可，P點(diǎn)（4t,0）Q (8-t,-10),F(18+4t,0)兩點(diǎn)間距離公式分類討論即可.本道題是09年黃岡原題,第四問原本是作為解答題來出的本來是3分,但是本題作為1分的填空,考生只要大概猜出應(yīng)該是FP=FQ就能夠。實(shí)際考試中如果碰到這么麻煩的,如果沒時(shí)間的話作者個(gè)人建議放棄這個(gè)分去檢查其他的.畢竟得到這個(gè)分的時(shí)間都能夠把選擇填空仔細(xì)過一遍了.【解析】解：(1) ，令得，或； 在中，令得即； 由于BCOA，故點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為10

7、，由得或即 于是，（2）若四邊形PQCA為平行四邊形，由于QCPA.故只要QC=PA即可 得 （3）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)秒，則，說明P在線段OA上，且不與點(diǎn)O、A重合，由于QCOP知QDCPDO，故 又點(diǎn)Q到直線PF的距離PQF的面積總為90 （4）由上知，。構(gòu)造直角三角形后易得，若FP=PQ，即，故， 若QP=QF，即，無的滿足條件；12若PQ=PF，即，得，或都不滿足，故無的滿足方程； 綜上所述：當(dāng)時(shí)，PQR是等腰三角形。 【例3】2010,延慶,一模如圖，已知拋物線：的頂點(diǎn)為，與軸相交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（1）求點(diǎn)坐標(biāo)及的值；（2）如圖（1），拋物線與拋物線關(guān)于軸對(duì)稱，將拋物線向

8、右平移，平移后的拋物線記為，的頂點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)、關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱時(shí)，求的解析式；（3）如圖（2），點(diǎn)是軸正半軸上一點(diǎn)，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到拋物線拋物線的頂點(diǎn)為，與軸相交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），當(dāng)以點(diǎn)、為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)yxAOBPM圖1C1C2C3 yxAOBPN圖2C1C4QEF【思路分析】出題人比較仁慈，上來就直接給出拋物線頂點(diǎn)式，再將B（1,0）代入，第一問輕松拿分。第二問直接求出M坐標(biāo)，然后設(shè)頂點(diǎn)式，繼續(xù)代入點(diǎn)B即可。第三問則需要設(shè)出N，然后分別將NP，PF,NF三個(gè)線段的距離表示出來，然后切記分情況討論直角的可能性。計(jì)算量比較大，務(wù)必細(xì)心?！窘馕觥拷猓河蓲佄锞€：

9、得頂點(diǎn)的為 點(diǎn)在拋物線上 解得， 連接，作軸于，作軸于點(diǎn)、關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱過點(diǎn)，且,頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 （標(biāo)準(zhǔn)答案如此，其實(shí)沒這么麻煩，點(diǎn)M到B的橫縱坐標(biāo)之差都等于B到P的，直接可以得出（4,5）拋物線由關(guān)于軸對(duì)稱得到，拋物線由平移得到拋物線的表達(dá)式為拋物線由繞點(diǎn)軸上的點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到頂點(diǎn)、關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱由得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為 作軸于，作軸于作于旋轉(zhuǎn)中心在軸上yxAOBPN圖(2)C1C4QEFHGK，點(diǎn)坐標(biāo)為坐標(biāo)為，坐標(biāo)為，根據(jù)勾股定理得 當(dāng)時(shí)，解得，點(diǎn)坐標(biāo)為 當(dāng)時(shí)，解得，點(diǎn)坐標(biāo)為，綜上所得，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為或時(shí)，以點(diǎn)、為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形 【例4】2010，房山，一模如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直

10、線l1：交軸、軸于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）連接，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到當(dāng)時(shí)，連結(jié)、，若過原點(diǎn)的直線將四邊形分成面積相等的兩個(gè)四邊形，確定此直線的解析式；過點(diǎn)作軸于，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為何值時(shí)，由點(diǎn)、構(gòu)成的四邊形為梯形？ 【思路分析】本題計(jì)算方面不是很繁瑣，但是對(duì)圖形的構(gòu)造能力提出了要求，也是一道比較典型的動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)導(dǎo)致特殊圖形出現(xiàn)的題目。第一問自不必說，第二問第一小問和前面例題是一樣的，也是要把握過四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線一定平分該四邊形面積這一定理。求出交點(diǎn)就意味著知道了直線.第二小問較為麻煩,因?yàn)镃點(diǎn)有兩種可能,H在C點(diǎn)的左右又是兩種可能,所以需要分類討論去求解.

11、只要利用好梯形兩底平行這一性質(zhì)就可以了.【解析】（1）根據(jù)題意：， 是線段的三等分點(diǎn)或-2分（2）如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)， 則點(diǎn)在直線上- 是由繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的無論是、點(diǎn)，四邊形是平行四邊形且為對(duì)稱中心所求的直線必過點(diǎn)直線的解析式為: 當(dāng)時(shí)，第一種情況：在點(diǎn)左側(cè)若四邊形是梯形與不平行此時(shí) 第二種情況：在點(diǎn)右側(cè)若四邊形是梯形與不平行是線段的中點(diǎn)是線段的中點(diǎn)由，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 當(dāng)時(shí)，同理可得第一種情況：在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，- 第二種情況：在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，- 綜上所述，所求M點(diǎn)的坐標(biāo)為：，或【例5】通州，2010，一模在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)）.與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，直線CD

12、與x軸交于點(diǎn)E.（1）請(qǐng)你畫出此拋物線，并求A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo).（2）將直線CD向左平移兩個(gè)單位，與拋物線交于點(diǎn)F（不與A、B兩點(diǎn)重合），請(qǐng)你求出F點(diǎn)坐標(biāo).（3）在點(diǎn)B、點(diǎn)F之間的拋物線上有一點(diǎn)P，使PBF的面積最大，求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)及PBF的最大面積.（4）若平行于x軸的直線與拋物線交于G、H兩點(diǎn)，以GH為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑.【思路分析】本題看似錯(cuò)綜復(fù)雜，尤其最后第四問的圖像畫出來又亂又?jǐn)D，稍微沒畫好就會(huì)讓人頭大無比。但是不用慌，一步步來慢慢做。拋物線表達(dá)式很好分解，第一問輕松寫出四個(gè)點(diǎn)。第二問向左平移，C到對(duì)稱軸的距離剛好是1，所以移動(dòng)兩個(gè)距離以后就到了關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)上

13、，所以F直接寫出為（-2,-3）第三問看似棘手，但是只要將PBF拆解成以Y軸上的線段為公共邊的兩個(gè)小三角形就會(huì)很輕松了。將P點(diǎn)設(shè)出來然后列方程求解即可。最后一問要分GH在X軸上方和下方兩種情況，分類討論。不過做到最后一步相信同學(xué)們的圖已經(jīng)畫的亂七八糟了，因?yàn)楹颓懊娴膯栴}沒有太大關(guān)系，所以建議大家畫兩個(gè)圖分開來看。【解析】解：（1）. （2） （3）過點(diǎn)作軸的平行線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)易得，直線解析式為設(shè)，則， 的最大值是. 當(dāng)取最大值時(shí)的面積最大 的面積的最大值為 . （4）如圖，當(dāng)直線在軸上方時(shí)，設(shè)圓的半徑為，則，代入拋物線的表達(dá)式，解得. 當(dāng)直線在軸下方時(shí)，設(shè)圓的半徑為，則，代入拋物線的表

14、達(dá)式，解得 圓的半徑為或 .【總結(jié)】 通過以上五道一模真題，我們發(fā)現(xiàn)這類問題雖然看起來十分復(fù)雜，但是只要一問一問研究慢慢分析，總能拿到不錯(cuò)的分?jǐn)?shù)。將幾何圖形添進(jìn)坐標(biāo)系大多情況下是和拋物線有關(guān)，所以首先需要同學(xué)們對(duì)拋物線的各種性質(zhì)熟練掌握，尤其是借助拋物線的對(duì)稱性，有的時(shí)候解題會(huì)十分方便。無論題目中的圖形是三角形，梯形以及平行四邊形或者圓，只要認(rèn)清各種圖形的一般性質(zhì)如何在題中體現(xiàn)就可以了。例如等腰/邊三角形大多和相似以及線段長度有關(guān)，梯形要抓住平行，平行四邊形要看平行且相等，圓形就要看半徑和題目中的條件有何關(guān)系。還需要掌握平分三角形/四邊形/圓形面積的直線分別都一定過哪些點(diǎn)?？傊?，再難的問題都是

15、由一個(gè)個(gè)小問題組成的，就算最后一兩問沒有時(shí)間思考拿不了全分，至少要將前面容易的分?jǐn)?shù)拿到手，這部分分?jǐn)?shù)其實(shí)還不少。像例2最后一問那種情況，該放棄時(shí)候果斷放棄，不要為1分的題失去了大量檢查的時(shí)間。第二部分 發(fā)散思考【思考1】2009，北京. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，延長AC到點(diǎn)D,使CD=,過點(diǎn)D作DEAB交BC的延長線于點(diǎn)E.（1）求D點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）作C點(diǎn)關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)F,分別連結(jié)DF、EF，若過B點(diǎn)的直線將四邊形CDFE分成周長相等的兩個(gè)四邊形，確定此直線的解析式；（3）設(shè)G為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GA到達(dá)A點(diǎn)，若P點(diǎn)在y

16、軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，試確定G點(diǎn)的位置，使P點(diǎn)按照上述要求到達(dá)A點(diǎn)所用的時(shí)間最短。（要求：簡述確定G點(diǎn)位置的方法，但不要求證明）【思路分析】在一模真題部分我們談到的是直線分四邊形面積相等，但是這道去年中考原題則是分周長相等。周長是由很多個(gè)線段組成的，所以分周長相等只需要研究哪些線段之和相等就可以了。所以自然想到去證明全等三角形。第三問雖然不要求證明，但是只需設(shè)出速度,利用相似三角形去建立關(guān)系,還是不難證明的,有余力的同學(xué)可以試試.【思考2】2009，西城，一模已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為A、B，將OBA對(duì)折，使點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H落在直線

17、AB上，折痕交x軸于點(diǎn)C.（1）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）若拋物線的頂點(diǎn)為D，在直線BC上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線BC的交點(diǎn)為T，Q為線段BT上一點(diǎn)，直接寫出的取值范圍.【思路分析】第二問有兩個(gè)思路，第一個(gè)是看已知四邊形的線段是否平行且相等，角是否符合平行四邊形的條件。另一個(gè)是看假如有平行四邊形，那么構(gòu)成平行四邊形的點(diǎn)P是否在BC上。從這兩個(gè)思路出發(fā)，列出方程等式即可求解。第三問根據(jù)拋物線的對(duì)稱性來看三點(diǎn)共線，繼而看出最大值和最小值分別是多少。【思考3】2009，

18、朝陽，一模拋物線與x軸交于A（1，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），拋物線頂點(diǎn)為M，連接AC并延長AC交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)Q，且點(diǎn)Q到x軸的距離為6.（1）求此拋物線的解析式；（2）在拋物線上找一點(diǎn)D，使得DC與AC垂直，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得SPAM=3SACM，若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【思路分析】第一問要算的比較多，設(shè)直線以后求解析式，看出拋物線對(duì)稱軸為x=1,然后設(shè)頂點(diǎn)式解個(gè)二元方程組即可.第二問利用三角形相似求出點(diǎn)N坐標(biāo),然后聯(lián)立拋物線與直線CN即可求出點(diǎn)D.第三問考驗(yàn)對(duì)圖形的理解,如果能巧妙的將ACM的面積看成是四邊形ACEM

19、減去AME,那么就會(huì)發(fā)現(xiàn)四邊形ACEM剛好也是AOC和梯形OCEM之和,于是可以求出PM的距離,然后分類討論P(yáng)M的位置即可求解.【思考4】2009，崇文，一模如圖，拋物線，與軸交于點(diǎn)，且（I）求拋物線的解析式；（II）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由； （III）直線交軸于點(diǎn)，為拋物線頂點(diǎn)若，的值【思路分析】本題雖然沒有明確給出坐標(biāo)，但是表達(dá)式中暗含了X=0時(shí)Y=-3，于是C點(diǎn)得出，然后利用給定的等式關(guān)系寫出A,B去求解析式。第二問中，因?yàn)锳C是固定的，所以構(gòu)成的直角三角形根據(jù)P的不同有三種類型。注意分類討論。第三問則是少見的

20、計(jì)算角度問題，但是實(shí)際上也是用線段去看角度的相等。最方便就是利用正切值構(gòu)建比例關(guān)系，發(fā)現(xiàn)CBE=DBO，于是所求角度差就變成了求OBC。第三部分 思考題解析【思考1解析】解：（1），設(shè)與軸交于點(diǎn)由可得又，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）由（1）可得點(diǎn)的坐標(biāo)為yDECBOAx11HSMTGF由，可得軸所在直線是線段的垂直平分線點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在軸上與互相垂直平分四邊形為菱形，且點(diǎn)為其對(duì)稱中心作直線設(shè)與分別交于點(diǎn)、點(diǎn)可證，直線將四邊形分成周長相等的兩個(gè)四邊形由點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，可得直線的解析式為（3）確定點(diǎn)位置的方法：過點(diǎn)作于點(diǎn)則與軸的交點(diǎn)為所求的點(diǎn)由，可得，在中，點(diǎn)的坐標(biāo)為（或點(diǎn)的位置為線段的中點(diǎn)）【思考2解析】解：（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為. 點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為， 可設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為. 將代入拋物線的解析式，得. 圖8 過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為. （2）可得拋物線的對(duì)稱軸為，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為 ，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為G.直線BC的解析式為.- 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為.解法一：如圖8，作OPAD交直線BC于點(diǎn)P，連結(jié)AP，作PMx軸于點(diǎn)M. OPAD， POM=GAD，tanPOM=tanGAD. ，即. 解得. 經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解. 此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 但此時(shí)，OMGA. OPAD，即