三角函數(shù)恒等式證明的基本方法

1、三角函數(shù)恒等式證明的基本方法 三角函數(shù)恒等式是指對(duì)定義域內(nèi)的任何一個(gè)自變量x都成立的等式；三角函數(shù)恒等式的證明問(wèn)題是指證明給定的三角函數(shù)等式對(duì)定義域內(nèi)的任何一個(gè)自變量x都成立的數(shù)學(xué)問(wèn)題。這類問(wèn)題主要包括：三角函數(shù)等式一邊較繁雜，一邊較簡(jiǎn)單；三角函數(shù)等式的兩邊都較繁雜兩種類型。那么在實(shí)際解答三角函數(shù)恒等式的證明問(wèn)題時(shí)，到底應(yīng)該怎樣展開(kāi)思路，它的基本方法如何呢？下面通過(guò)典型例題的解析來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題。 【典例1】解答下列問(wèn)題： 1、證明下列三角函數(shù)恒等式： 222242?2cos2?1)?sin?(cos?1?sincoscos?sin ）； （2；（1） ?sinsin?11?22? =。（3）若

2、sin，求證：.cos2tan0,sin .tan0 ?2sin11?sin?22【解析】 【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系；二次根式的定義與性質(zhì)；分式的定義與性質(zhì)。 【解題思路】（1）對(duì)左邊運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，通過(guò)運(yùn)算就可得到右邊，從而證明恒等式；（2）對(duì)左邊運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，通過(guò)運(yùn)算就可得到右邊，從而證明恒等式；（3）對(duì)左邊運(yùn)用分式的性質(zhì)，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和二次根式的性質(zhì)，通過(guò)運(yùn)算就可得到右邊，從而證明恒等式。 ?222222Q=1 + cos= sin( sin+ cos【詳細(xì)解答】（1）)+ cos左邊=sin?224222?1?sincossincos?Q?

3、-2 cos= cos；（2=右邊，）+1+ sin左邊?22?2cos?(cos2?1)?sin?Q?0sin，；=右邊，（3）.cos=2-2 cos ?是第一象限或第三象限的角，0，當(dāng)sin是第.tan是第二象限的角， 22 ?22)sin(1?(1?sin)sin|1? 222- 一象限的角時(shí)，左邊=-= ?)(1?sin(1?sin)(1?)sin(1?sin|cos 22222?sin|1?1|1?sinsin? 222是第一象限的角時(shí)，左邊 =；當(dāng)=2tan ?22cos|cos 22 ?22)(1)sin?sin?(1sin?|1|?|1|sin 2222 -=- ?)?(1)

4、(1sin?sinsinsin?)(1?(1|cos|cos| 222222?sin?1?1?sin? 22?0右邊，=-2tan.cos；=若若左邊=sin2tan，= ?22cos 2 ?sin?11?sin?22? 。sin2tan.tan 0=， ?2sin1?1?sin222?tan)?)sin(sin(2、求證：=1-； 222?cossintan【解析】 【知識(shí)點(diǎn)】和角公式及運(yùn)用；差角公式及運(yùn)用；同角三角函數(shù)基本關(guān)系。 【解題思路】對(duì)左邊運(yùn)用和角公式，差角公式與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，通過(guò)運(yùn)算就可得到右邊，從而證明恒等式。 ?)sinsin?)(sincos(sincoscos?

5、cosQ= 【詳細(xì)解答】左邊= 22?cossin2222222?sinsin?cossincoscostan? 右邊，=1-=1-= 22222?cossincossintan2?tan)sin()sin(?=1-。 222?cossintan?cos1?2sin=3； 、求證： 22【解析】 【知識(shí)點(diǎn)】二倍角公式及運(yùn)用；同角三角函數(shù)基本關(guān)系。 【解題思路】對(duì)右邊運(yùn)用二倍角公式與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，通過(guò)運(yùn)算就可得到左邊，從而證明恒等式。 ?222cos21?(2cos?1)? 2222sincosQ=】詳【細(xì)解答左右邊=1-邊，= 2222?cos?12sin?=。 22?cos?12t

6、an=4； 、求證： ?cos?12【解析】 【知識(shí)點(diǎn)】二倍角公式及運(yùn)用；同角三角函數(shù)基本關(guān)系。 【解題思路】對(duì)右邊運(yùn)用二倍角公式與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，通過(guò)運(yùn)算就可得到左邊， 從而證明恒等式。?222sin(1?2sin)1? 2222tantan?Q= 右邊左邊，= 【詳細(xì)解答】= = ?22222cos1?1?2cos 22?cos1?。 ?cos1?；+sincos、求證：sin=2sin 5 22【解析】 【知識(shí)點(diǎn)】和角公式及運(yùn)用；差角公式及運(yùn)用；二倍角公式及運(yùn)用；同角三角函基本關(guān)系。 【解題思路】對(duì)右邊運(yùn)用和角公式，差角公式，二倍角公式與同角三角函數(shù)基本關(guān)系，通過(guò)運(yùn)算就可得到左邊

7、，從而證明恒等式。 ?Q右邊=2（ 【詳細(xì)解答】sin）(coscos+sinsin)=2 sincos+cossin 222222222?2222 sincos+2 sin. cos. coscos +2 sin cossin+2 sin cos 22222222222?2222 )= 2 sin. cos)+2 sin= 2 sin. cos(sin+ cos cos(sin+ cos 2222222222? +sin。左邊，=2sin +2 sincos= sinsin+sincos= 22221? )+sin(6、求證：sin；cos=sin(-+ 2【解析】 【知識(shí)點(diǎn)】和角公式及運(yùn)用

8、；差角公式及運(yùn)用。 【解題思路】對(duì)右邊運(yùn)用和角公式，差角公式通過(guò)運(yùn)算就可得到左邊，從而證明恒等式。 1?Q）sin- cos）+【詳細(xì)解答】右邊=（sinsincos= + coscossin 21? coscossin+ cos左邊，sin）+sin= sincos=- cos（sin 21?)+。)+sin(sin cos=sin(- 2?sin?sin(2)?)=；+7、證明-2cos( ?sinsin【解析】 【知識(shí)點(diǎn)】和角公式及運(yùn)用；分式的定義與性質(zhì)。 【解題思路】對(duì)左邊運(yùn)用和角公式與分式的性質(zhì)通過(guò)運(yùn)算就可得到右邊，從而證明恒等式。 ?)?2sin(cossin2sincoscos?

9、2cossinsinQ 左邊【詳細(xì)解答】= ?sin22?)2sin?22sinsin?sinsin2coscos?2(cossin?sin2cos= ?sinsin22222?)sin2sin?(cossinsin(cossin?sin? 右邊，= ?sinsinsin?sin?)sin(2?)=。+ -2cos( ?sinsin思考問(wèn)題1 （1）【典例1】是三角函數(shù)恒等式的證明問(wèn)題，從題型結(jié)構(gòu)上看，問(wèn)題中的恒等式都是等式一邊較繁雜，一邊較簡(jiǎn)單，解答這類問(wèn)題的基本思路是從等式較繁雜的一邊入手，通過(guò)三角函數(shù)的恒等變換使其余等式較簡(jiǎn)單的一邊相等，從而證明三角函數(shù)的恒等式； （2）三角函數(shù)的恒等變

10、換過(guò)程中涉及到同角三角函數(shù)基本關(guān)系，和角公式，差角公式，二倍角公式，輔助角公式等基本知識(shí)點(diǎn)，理解和掌握這些基本知識(shí)點(diǎn)是解答該類問(wèn)題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。 練習(xí)1解答下列問(wèn)題： 1?2sinxcosx1?tanx= 1、求證： 22xtansinx1?cosx?cossin?1? 2、證明tan=； ?cos1sin?21? -= sin(；+)-sin(3、證明cossin 2?2?2cos1?sin? ；、證明=tan4 ?2cos?1?sin2? =2cossin5、求證：sin；-sin 22?2?(sincos)?、求證：； =1+sin6 2221? =- tan；- 7、求證： ?2tan

11、tan? )=2tan28、求證：tan(+；)+tan(- 44?2sin1?； 9、求證：+cos=sin ?cossin?； (1+cos2cos)=sin210、求證：sin?)=cos2 2sin()sin(+-11、求證： 44【典例2】解答下列問(wèn)題： 1、證明下列三角函數(shù)恒等式： 22224422?xcos?tansinsinx?cosx1?2sinxtansin? 。（ ； ）（1 2） 【解析】 【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系；完全平方公式及運(yùn)用。）對(duì)兩邊運(yùn)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系，通過(guò)變換使之得到同一三角函數(shù)式，【解題思路】（1從而）對(duì)兩邊運(yùn)用完全平方公式，通過(guò)變換使之得到同

12、一三角函數(shù)式，2從而證明恒等式；（ 證明恒等式。222224?)?sincoscossin(1)sin?sinQ左邊= = 細(xì)解答】= ，右邊= 詳【 222?coscoscos24?sinsin22222?sin?sinsintantan?Q? 2. ），=；左邊=右邊，（ 22?coscos22224222422)x?cosx(sinxsincosxxcossinxsinxcosxcosxsinx .-2=+左邊=.+2-2224422xx?1?2sinxcossinxcosxsinx?cos? 。=.右邊，=1-2?4?sin4?cos4cos11?sin4?=；、求證：2 2?tant

13、an1?2【解析】 【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系；二倍角公式及運(yùn)用。 【解題思路】對(duì)兩邊運(yùn)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系與二倍角公式，通過(guò)變換使之得到同一三角函數(shù)式，從而證明恒等式。 2?)2sin2?1?2sin2(1cos2?)2?cossin(cos22sin2Q左邊=【詳細(xì)解答】= ?2sin?2sin ?cos2?1cos22?2cos1?2sin22?)sin(cos22?cos =2=，右邊 22?sin?cos 2?cos22?)2?2(sin)2cos22cos22.cos.coscos(sin2?cos= 22?2sincos?cos?4?sin4?cos4cos1?1?sin4

14、2?)?sincos2(cos2?=，右邊，左邊=。=2 2?tantan2?1?sintantan?sin? 3、證明。 ?sinsintantan?【解析】 【知識(shí)點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系；二倍角公式及運(yùn)用。 【解題思路】對(duì)兩邊運(yùn)用同角三角函數(shù)基本關(guān)系與二倍角公式，通過(guò)變換使之得到同一三角函數(shù)式，從而證明恒等式。 2?)sincos(1?sin?)cos(1?sin ?coscosQ= 左邊=【詳細(xì)解答】，右邊 ?)sincos(1?2?sin)cos(1?sin ?cos?cos22?sin)(1?cossin?cos(1?cos)(1?左邊=，右邊，= ?)(1cos?sinsincos(1?)(1?cos?)sincos(1?sintansin?tan?。 ?sintantan?sin思考問(wèn)題1 （1）【典例1】是三角函數(shù)恒等式的證明問(wèn)題，從題型結(jié)構(gòu)上看，問(wèn)題中的恒等式都是等式使通過(guò)三角函數(shù)的恒等變換，解答這類問(wèn)題的基本思路是從等式的兩邊入手，兩邊較繁雜，之等于同一三角函數(shù)式，從而證明三角函