八年級數(shù)學(xué)三角形輔助線大全

1、三角形作輔助性方法大全1.在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角證明角的不等關(guān)系時，如果直接證不出來，可連結(jié)兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形外角的位置上，小角處在內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證題.例：已知D為ABC內(nèi)任一點，求證：BDCBAC證法（一）：延長BD交AC于E，BDC是EDC 的外角，BDCDEC同理：DECBACBDCBAC證法（二）：連結(jié)AD，并延長交BC于FBDF是ABD的外角，BDFBAD同理CDFCADBDFCDFBADCAD即：BDCBAC2.有角平分線時常在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形. 例：已知，如圖，AD為ABC的中線且1 = 2，

2、3 = 4，求證：BECFEF證明：在DA上截取DN = DB，連結(jié)NE、NF，則DN = DC 在BDE和NDE中，DN = DB1 = 2ED = EDBDENDEBE = NE同理可證：CF = NF在EFN中，ENFNEFBECFEF3. 有以線段中點為端點的線段時，常加倍延長此線段構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AD為ABC的中線，且1 = 2，3 = 4，求證：BECFEF證明：延長ED到M，使DM = DE，連結(jié)CM、FMBDE和CDM中， BD = CD1 = 5ED = MDBDECDMCM = BE又1 = 2，3 = 4 123 4 = 180o3 2 = 90o即EDF

3、 = 90oFDM = EDF = 90oEDF和MDF中ED = MDFDM = EDFDF = DFEDFMDFEF = MF在CMF中，CFCM MFBECFEF（此題也可加倍FD，證法同上）4. 在三角形中有中線時，常加倍延長中線構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AD為ABC的中線，求證：ABAC2AD證明：延長AD至E，使DE = AD，連結(jié)BEAD為ABC的中線BD = CD在ACD和EBD中BD = CD 1 = 2AD = EDACDEBDABE中有ABBEAEABAC2AD5.截長補短作輔助線的方法截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；補短法：延長較短線段和較長線段相

4、等.這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法.當(dāng)已知或求證中涉及到線段a、b、c、d有下列情況之一時用此種方法：abab = cab = cd例：已知，如圖，在ABC中，ABAC，1 = 2，P為AD上任一點，求證：ABACPBPC證明：截長法：在AB上截取AN = AC，連結(jié)PN在APN和APC中，AN = AC1 = 2AP = APAPNAPCPC = PNBPN中有PBPCBNPBPCABAC補短法：延長AC至M，使AM = AB，連結(jié)PM在ABP和AMP中AB = AM 1 = 2AP = APABPAMPPB = PM又在PCM中有CM PMPCABACPBPC練習(xí)：1.已知，在ABC中，B =

5、60o,AD、CE是ABC的角平分線,并且它們交于點O求證：AC = AECD2.已知，如圖，ABCD1 = 2 ,3 = 4. 求證：BC = ABCD 6.證明兩條線段相等的步驟：觀察要證線段在哪兩個可能全等的三角形中，然后證這兩個三角形全等。若圖中沒有全等三角形，可以把求證線段用和它相等的線段代換，再證它們所在的三角形全等.如果沒有相等的線段代換，可設(shè)法作輔助線構(gòu)造全等三角形.例:如圖，已知，BE、CD相交于F，B = C，1 = 2，求證：DF = EF 證明：ADF =B3 AEF = C4又3 = 4B = CADF = AEF在ADF和AEF中ADF = AEF1 = 2 AF

6、= AFADFAEFDF = EF7.在一個圖形中，有多個垂直關(guān)系時，常用同角（等角）的余角相等來證明兩個角相等.例：已知，如圖RtABC中，AB = AC，BAC = 90o，過A作任一條直線AN，作BDAN于D，CEAN于E，求證：DE = BDCE證明：BAC = 90o, BDAN12 = 90o 13 = 90o2 = 3BDAN CEANBDA =AEC = 90o在ABD和CAE中，BDA =AEC2 = 3AB = ACABDCAEBD = AE且AD = CEAEAD = BDCEDE = BDCE8.三角形一邊的兩端點到這邊的中線所在的直線的距離相等.例：AD為ABC的中線

7、，且CFAD于F，BEAD的延長線于E求證：BE = CF 證明：（略）9.條件不足時延長已知邊構(gòu)造三角形.例：已知AC = BD，ADAC于A，BCBD于B求證：AD = BC證明：分別延長DA、CB交于點EADAC BCBDCAE = DBE = 90o在DBE和CAE中DBE =CAEBD = ACE =EDBECAEED = EC，EB = EAEDEA = EC EBAD = BC10.連接四邊形的對角線，把四邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形來解決問題.例：已知，如圖，ABCD，ADBC 求證：AB = CD 證明：連結(jié)AC（或BD）ABCD，ADBC1 = 2 在ABC和CDA中，1 = 2

8、AC = CA3 = 4 ABCCDAAB = CD練習(xí)：已知，如圖，AB = DC，AD = BC，DE = BF，求證：BE = DF11.有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。可歸結(jié)為“角分垂等腰歸”.例：已知，如圖，在RtABC中，AB = AC，BAC = 90o，1 = 2 ，CEBD的延長線于E求證：BD = 2CE證明：分別延長BA、CE交于FBECFBEF =BEC = 90o在BEF和BEC中1 = 2 BE = BEBEF =BECBEFBECCE = FE =CFBAC = 90o , BECFBAC = CAF = 90o 1BDA = 90o1BFC = 9

9、0oBDA = BFC在ABD和ACF中BAC = CAFBDA = BFCAB = ACABDACFBD = CFBD = 2CE練習(xí)：已知，如圖，ACB = 3B，1 =2,CDAD于D，求證：ABAC = 2CD12.當(dāng)證題有困難時，可結(jié)合已知條件，把圖形中的某兩點連接起來構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AC、BD相交于O，且AB = DC，AC = BD，求證：A = D證明：（連結(jié)BC，過程略）13.當(dāng)證題缺少線段相等的條件時，可取某條線段中點，為證題提供條件.例：已知，如圖，AB = DC，A = D 求證：ABC = DCB 證明：分別取AD、BC中點N、M，連結(jié)NB、NM、NC

10、（過程略）14.有角平分線時，常過角平分線上的點向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點到角兩邊距離相等證題.例：已知，如圖，1 = 2 ，P為BN上一點，且PDBC于D，ABBC = 2BD，求證：BAPBCP = 180o證明：過P作PEBA于EPDBC，1 = 2 PE = PD在RtBPE和RtBPD中BP = BPPE = PDRtBPERtBPDBE = BDABBC = 2BD，BC = CDBD，AB = BEAEAE = CDPEBE，PDBCPEB =PDC = 90o在PEA和PDC中PE = PDPEB =PDCAE =CDPEAPDCPCB = EAPBAPEAP = 18

11、0oBAPBCP = 180o練習(xí)：1.已知，如圖，PA、PC分別是ABC外角MAC與NCA的平分線，它們交于P，PDBM于M，PFBN于F，求證：BP為MBN的平分線2. 已知，如圖，在ABC中，ABC =100o，ACB = 20o，CE是ACB的平分線，D是AC上一點，若CBD = 20o，求CED的度數(shù)。15.有等腰三角形時常用的輔助線作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線例：已知，如圖，AB = AC，BDAC于D，求證：BAC = 2DBC證明：（方法一）作BAC的平分線AE，交BC于E，則1 = 2 = BAC又AB = ACAEBC2ACB = 90oBDACDBCACB = 90

12、o2 = DBCBAC = 2DBC（方法二）過A作AEBC于E（過程略）（方法三）取BC中點E，連結(jié)AE（過程略）有底邊中點時，常作底邊中線例：已知，如圖，ABC中，AB = AC，D為BC中點，DEAB于E，DFAC于F，求證：DE = DF證明：連結(jié)AD.D為BC中點，BD = CD又AB =ACAD平分BACDEAB，DFACDE = DF將腰延長一倍，構(gòu)造直角三角形解題例：已知，如圖，ABC中，AB = AC，在BA延長線和AC上各取一點E、F，使AE = AF，求證：EFBC證明：延長BE到N，使AN = AB,連結(jié)CN,則AB = AN = ACB = ACB, ACN = AN

13、CBACBACNANC = 180o2BCA2ACN = 180oBCAACN = 90o即BCN = 90oNCBCAE = AFAEF = AFE又BAC = AEF AFEBAC = ACN ANCBAC =2AEF = 2ANCAEF = ANCEFNCEFBC常過一腰上的某一已知點做另一腰的平行線例：已知，如圖，在ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延長線上，且BD = CE，連結(jié)DE交BC于F求證：DF = EF證明：（證法一）過D作DNAE，交BC于N，則DNB = ACB，NDE = E，AB = AC，B = ACBB =DNBBD = DN又BD = CE DN

14、= EC在DNF和ECF中1 = 2NDF =EDN = EC DNFECFDF = EF（證法二）過E作EMAB交BC延長線于M,則EMB =B（過程略）常過一腰上的某一已知點做底的平行線例：已知，如圖，ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BA延長線上，且AD = AE，連結(jié)DE求證：DEBC證明：（證法一）過點E作EFBC交AB于F，則AFE =BAEF =CAB = ACB =CAFE =AEFAD = AEAED =ADE又AFEAEFAEDADE = 180o2AEF2AED = 90o 即FED = 90o DEFE又EFBCDEBC（證法二）過點D作DNBC交CA的延長線于N

15、，（過程略）（證法三）過點A作AMBC交DE于M，（過程略）常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形-等邊三角形例：已知，如圖，ABC中，AB = AC，BAC = 80o ,P為形內(nèi)一點，若PBC = 10o PCB = 30o 求PAB的度數(shù).解法一：以AB為一邊作等邊三角形，連結(jié)CE則BAE =ABE = 60oAE = AB = BEAB = ACAE = AC ABC =ACBAEC =ACEEAC =BACBAE = 80o 60o = 20oACE = (180oEAC)= 80oACB= (180oBAC)= 50oBCE =ACEACB = 80o50o = 30oPCB = 3

16、0oPCB = BCEABC =ACB = 50o, ABE = 60oEBC =ABEABC = 60o50o =10oPBC = 10oPBC = EBC在PBC和EBC中PBC = EBCBC = BCPCB = BCEPBCEBCBP = BEAB = BEAB = BPBAP =BPAABP =ABCPBC = 50o10o = 40oPAB = (180oABP)= 70o解法二：以AC為一邊作等邊三角形，證法同一。解法三：以BC為一邊作等邊三角形BCE，連結(jié)AE,則EB = EC = BC，BEC =EBC = 60oEB = ECE在BC的中垂線上同理A在BC的中垂線上EA所在

17、的直線是BC的中垂線EABCAEB = BEC = 30o =PCB由解法一知：ABC = 50oABE = EBCABC = 10o =PBCABE =PBC,BE = BC,AEB =PCBABEPBCAB = BPBAP =BPAABP =ABCPBC = 50o10o = 40oPAB = (180oABP) = (180o40o)= 70o16.有二倍角時常用的輔助線構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角例：已知，如圖，在ABC中，1 = 2，ABC = 2C，求證：ABBD = AC證明：延長AB到E，使BE = BD，連結(jié)DE則BED = BDEABD =EBDEABC

18、=2EABC = 2CE = C 在AED和ACD中E = C1 = 2AD = ADAEDACDAC = AEAE = ABBEAC = ABBE即ABBD = AC平分二倍角例：已知，如圖，在ABC中，BDAC于D，BAC = 2DBC求證：ABC = ACB證明：作BAC的平分線AE交BC于E，則BAE = CAE = DBCBDACCBD C = 90oCAEC= 90o AEC= 180oCAEC= 90oAEBCABCBAE = 90oCAEC= 90oBAE = CAEABC = ACB加倍小角例：已知，如圖，在ABC中，BDAC于D，BAC = 2DBC求證：ABC = ACB

19、證明：作FBD =DBC,BF交AC于F（過程略）17.有垂直平分線時常把垂直平分線上的點與線段兩端點連結(jié)起來.例：已知，如圖，ABC中，AB = AC，BAC = 120o，EF為AB的垂直平分線，EF交BC于F，交AB于E求證：BF =FC證明：連結(jié)AF，則AF = BFB =FABAB = ACB =CBAC = 120oB =CBAC =(180oBAC) = 30oFAB = 30oFAC =BACFAB = 120o30o =90o又C = 30oAF = FCBF =FC練習(xí)：已知，如圖，在ABC中，CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點D，DMAB于M，DNAC延長線于N求證：BM = CN18. 有垂直時常構(gòu)造垂直平分線.例：已知，如圖，在ABC中，B =2C，ADBC于D求證：CD = ABBD證明：（一）在CD上截取DE = DB，連結(jié)AE，則AB = AEB =AEBB = 2CAEB = 2C又AEB = CEACC =EA