人教版八年級數(shù)學(xué)第12章全等三角形講義

1、全等三角形知識點總結(jié)知識點總結(jié)一、全等圖形、全等三角形：1. 全等圖形：能夠完全 的兩個圖形就是全等圖形。2. 全等圖形的性質(zhì)：全等多邊形的 、分別相等。3. 全等三角形： 三角形是特殊的多邊形，因此，全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等。同樣，如果兩個三角形的邊、角分別對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等。說明：全等三角形對應(yīng)邊上的高，中線相等，對應(yīng)角的平分線相等；全等三角形 的周長，面積也都相等。這里要注意：（1）周長相等的兩個三角形，不一定全等；（2）面積相等的兩個三角形，也不一定全等。二、全等三角形的判定：1. 一般三角形全等的判定（1） 三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（邊邊邊”或）。（2） 兩

2、邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（“邊角邊”或“ ”）。（3） 兩個角和它們的夾邊分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等（“角邊角”或“ ”）。（4） 有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（“角角邊”或“ ”）。2. 直角三角形全等的判定利用一般三角形全等的判定都能證明直角三角形全等.斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（“斜邊、直角邊”或“ ”）注意：兩邊一對角（SSA）和三角（AAA）對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等。3. 性質(zhì)1、全等三角形的對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等。2、全等三角形的對應(yīng)邊上的高對應(yīng)相等。3、全等三角形的對應(yīng)角平分線相等。4、全等三角形的對應(yīng)中線相等。5、全等三

3、角形面積相等。6、全等三角形周長相等。（以上可以簡稱：全等三角形的對應(yīng)元素相等 ）三、角平分線的性質(zhì)及判定：性質(zhì)定理：角平分線上的點到該角兩邊的距離相等。判定定理：到角的兩邊距離相等的點在該角的角平分線上。四、證明兩三角形全等或利用它證明線段或角相等的基本方法步驟：1. 確定已知條件（包括隱含條件，如公共邊、公共角、對頂角、角平分線、中線、高、等腰 三角形、等所隱含的邊角關(guān)系）；2. 回顧三角形判定公理， 搞清還需要什么；3.正確地書寫證明格式 （順序和對應(yīng)關(guān)系從已知 推導(dǎo)出要證明的問題）。初二數(shù)學(xué)第十一章全等三角形綜合復(fù)習(xí)切記：“有三個角對應(yīng)相等”和“有兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等”的兩個三

4、角形不 一定全等。例 1.如圖，A,F,E,B 四點共線， AC_CE，BD _ DF，AE = BF，AC =BD。求證: ： ACF= . BDE。例2.如圖，在 CABC中，BE是/ ABC 的平分線， AD _ BE，垂足為 D。求證:.2 . C。BC例3.如圖，在.：ABC中，AB =BC , ABC =90：。F為AB延長線上一點，點E在BC上, BE 二 BF，連接 AE,EF 和 CF。求證：AE =CF 。例 4.如圖，AB /CD , AD / BC，求證： AB =CD。例5.如圖，AP,CP分別是.：ABC外角.MAC和.NCA的平分線，它們交于點 P。求證:BP為

5、MBN的平分線。BCN例6.如圖，D是 ABC的邊BC上的點，且 CD=AB , . ADB =. BAD , AE是 ABD的 中線。求證：AC =2AE 。P為AD上任意一點。求證：C例 7.如圖，在 ABC 中，AB . AC,. 1 =/2 ,AB AC PB PC。同步練習(xí)一、選擇題：1. 能使兩個直角三角形全等的條件是（）A.兩直角邊對應(yīng)相等B. 一銳角對應(yīng)相等C.兩銳角對應(yīng)相等D.斜邊相等2. 根據(jù)下列條件，能畫出唯一ABC的是（）A. AB =3， BC =4，CA=8B. AB =4，BC =3，乙A =30：C. C =60；， B =45；，AB =4 D. C = 90

6、；，AB = 63. 如圖，已知 1 = 2，AC =AD，增加下列條件： AB =AE :BC = ED :C: B。其中能使ABC三AED的條件有（）A. 4個B. 3個C. 2個D. 1個4.如圖,.1 =/2 , . C =/D , AC,BDTXAD _交于E點，下列不正確的是（A. DAE =/CBEC. DEA不全等于 CBE5.如圖，已知 AB =CD , BC =AD ,A. 67B. 46：；.B = 23，則.D等于（C. 23；）D.無法確定二、填空題：6.如圖，在 ABC中， C = 90：， ABC的平分線BD交AC于點D，且C D: A 2 : 3 AC = 10

7、cm，則點D到AB的距離等于 cm ；召一 C7.如圖，已知AB = DC， AD =BC，E,F是BD上的兩點，且BE = DF，若 AEB =100；， ADB =30；，8.將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，BC,BD為折痕，則 CBD的大小為C4 BE.C =90； , AC = BC ,AD平分/ BAC交BC于D ,9.如圖，在等腰 Rt ABC中,10.如圖，點D, E, F,B在同一條直線上,AB / CD , AE /CF，且 AE 二 CF，若BD =10 , BF =2，貝y EF =三、解答題：11.如圖，ABC為等邊三角形，點M , N分別在BC,AC上，且BM二CN

8、，AM與BN 交于Q點。求 AQN的度數(shù)。AAE _ CD , BF _ CD，交 CD12.如圖，.ACB =90： , AC 二 BC , D 為 AB 上一點, 延長線于F點。求證：BF =CE 。答案例1.思路分析：從結(jié)論 ACC EDE入手，全等條件只有 AC =BD ;由AE二BF兩邊 同時減去 EF得到AF = BE，又得到一個全等條件。還缺少一個全等條件，可以是CF = DE，也可以是A = . B。由條件 AC _ CE，BD _ DF 可得.ACE 二.BDF 二 90，再加上 AE 二 BF , AC 二 BD， 可以證明UACE廠BDF，從而得到.A = . B。解答過

9、程：AC _ CE， BD _ DF.ACE =. BDF =90；在 Rt ACE 與 Rt BDF 中Jae =BFt PB PC。法二：延長AC至M，使AM =AB，連接PM 在ABP與:AMP中Jab = am；0 - 2AP 二 APABP 二 AMP (SAS).PB 二 PM一在 PCM 中，CM PM -PC.AB AC PB PC。解題后的思考：當(dāng)已知或求證中涉及線段的和或差時，一般采用“截長補短”法。具體 作法是：在較長的線段上截取一條線段等于一條較短線段，再設(shè)法證明較長線段的剩余線段等于另外的較短線段，稱為“截長”；或者將一條較短線段延長，使其等于另外的較短線段， 然后證明這兩條線段之和等于較長線段，稱為“補短”。小結(jié)：本題組總結(jié)了本章中常用輔助線的作法，以后隨著學(xué)習(xí)的深入還要繼續(xù)總結(jié)。我們不光要總結(jié)輔助線的作法，還要知道輔助線為什么要這樣作，這樣作有什么用處。同步練習(xí)的答案一、選擇題：I. A2. C3. B4. C5. C二、填空題：6. 47. 708. 909. 1010. 6三、解答題：II. 解：t AABC為等邊三角形.AB =BC，ABC 二 C =60。在.ABM與BCN中AB 二 BCIABC 二 CBM =CNABM 三 BCN (SAS)/NBC BAMAQN