用特征根方程法求數(shù)列通項

1、特征方程法求解遞推關(guān)系中的數(shù)列通項當(dāng)時，的取值稱為不動點，不動點是我們在競賽中解決遞推式的基本方法。 典型例子： 令 ，即 ，令此方程的兩個根為， (1)若,則有 （其中）(2)若,則有 （其中）例題1：設(shè)， (1)求函數(shù)的不動點； (2）對(1)中的二個不動點，求使恒成立的常數(shù)的值；(3)對由定義的數(shù)列，求其通項公式。解析：(1)設(shè)函數(shù)的不動點為，則解得或 (2)由可知使恒成立的常數(shù)。(3)由(2)可知，所以數(shù)列 是以為首項，為公比的等比數(shù)列。則，則 例2已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對于 且求的通項公式.解:依定理作特征方程變形得 其根為故特征方程有兩個相異的根，則有即 又 數(shù)列是以為首項，為公比的等

2、比數(shù)列 例3已知數(shù)列滿足：對于都有（1）若求 （2）若求解：作特征方程 變形得 特征方程有兩個相同的特征根（1）對于都有 （2）一、數(shù)列的一階特征方程（型）在數(shù)列中，已知，且時，（是常數(shù)），（1）當(dāng)時，數(shù)列為等差數(shù)列；（2）當(dāng)時，數(shù)列為常數(shù)數(shù)列；（3）當(dāng)時，數(shù)列為等比數(shù)列；（4）當(dāng)時，稱是數(shù)列的一階特征方程，其根叫做特征方程的特征根，這時數(shù)列的通項公式為：；例1：已知數(shù)列中，且時，求；（參考答案：）二、數(shù)列的二階特征方程（型）在數(shù)列中，與已知，且（是常數(shù)），則稱是數(shù)列的二階特征方程，其根，叫做特征方程的特征根。（1）當(dāng)時，有； （2）當(dāng)時，有；其中由代入后確定。例2：在數(shù)列中，且時，求；（參考

3、答案：）考慮一個簡單的線性遞推問題.設(shè)已知數(shù)列的項滿足, 其中求這個數(shù)列的通項公式.采用數(shù)學(xué)歸納法可以求解這一問題，然而這樣做太過繁瑣，而且在猜想通項公式中容易出錯，本文提出一種易于被學(xué)生掌握的解法特征方程法：針對問題中的遞推關(guān)系式作出一個方程稱之為特征方程；借助這個特征方程的根快速求解通項公式.下面以定理形式進(jìn)行闡述.定理1.設(shè)上述遞推關(guān)系式的特征方程的根為，則當(dāng)時，為常數(shù)列，即，其中是以為公比的等比數(shù)列，即.證明：因為由特征方程得作換元則當(dāng)時，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，故當(dāng)時，為0數(shù)列，故（證畢）下面列舉兩例，說明定理1的應(yīng)用.例1已知數(shù)列滿足：求解：作方程當(dāng)時，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.

4、于是例2已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系：其中為虛數(shù)單位.當(dāng)取何值時，數(shù)列是常數(shù)數(shù)列？解：作方程則要使為常數(shù)，即則必須現(xiàn)在考慮一個分式遞推問題（*）.例3已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對于且求的通項公式.將這問題一般化，應(yīng)用特征方程法求解，有下述結(jié)果.定理2.如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程.（1）當(dāng)特征方程有兩個相同的根（稱作特征根）時，若則若，則其中特別地，當(dāng)存在使時，無窮數(shù)列不存在.（2）當(dāng)特征方程有兩個相異的根、（稱作特征根）時，則，其中證明：先證明定理的第（1）部分.作交換則 是特征方程的根，將該式代入式得 將代入特征方程可整理得這與已知條件矛

5、盾.故特征方程的根于是 當(dāng)，即=時，由式得故當(dāng)即時，由、兩式可得此時可對式作如下變化： 由是方程的兩個相同的根可以求得 將此式代入式得令則故數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列. 其中當(dāng)時，當(dāng)存在使時，無意義.故此時，無窮數(shù)列是不存在的.再證明定理的第（2）部分如下：特征方程有兩個相異的根、，其中必有一個特征根不等于，不妨令于是可作變換故，將代入再整理得 由第（1）部分的證明過程知不是特征方程的根，故故所以由式可得： 特征方程有兩個相異根、方程有兩個相異根、，而方程與方程又是同解方程.將上兩式代入式得當(dāng)即時，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為.此時對于都有 當(dāng)即時，上式也成立.由且可知 所以(證畢)注:當(dāng)時,會退化為常數(shù);當(dāng)時,可化歸為較易解的遞推關(guān)系,在此不再贅述.現(xiàn)在求解前述例3的分類遞推問題.解:依定理作特征方程變形得其根為故特征方程有兩個相異的根，使用定理2的第（2）部分，則有 即例4已知數(shù)列滿足：對于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）當(dāng)取哪些值時，無窮數(shù)列不存在？解：作特征方程變形得特征方程有兩個相同的特征根依定理2的第（1）部分解答.（1）對于都有（2） 令，得.故數(shù)列從第5項開始都不存在，當(dāng)4，時，.（3） 令則對于（4）顯然當(dāng)時，數(shù)列從第2項開