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文檔簡介

1、特征方程法求解遞推關系中的數列通項當時,的取值稱為不動點,不動點是我們在競賽中解決遞推式的基本方法。 典型例子: 令 ,即 ,令此方程的兩個根為, (1)若,則有 (其中)(2)若,則有 (其中)例題1:設, (1)求函數的不動點; (2)對(1)中的二個不動點,求使恒成立的常數的值;(3)對由定義的數列,求其通項公式。解析:(1)設函數的不動點為,則解得或 (2)由可知使恒成立的常數。(3)由(2)可知,所以數列 是以為首項,為公比的等比數列。則,則 例2已知數列滿足性質:對于 且求的通項公式.解:依定理作特征方程變形得 其根為故特征方程有兩個相異的根,則有即 又 數列是以為首項,為公比的等

2、比數列 例3已知數列滿足:對于都有(1)若求 (2)若求解:作特征方程 變形得 特征方程有兩個相同的特征根(1)對于都有 (2)一、數列的一階特征方程(型)在數列中,已知,且時,(是常數),(1)當時,數列為等差數列;(2)當時,數列為常數數列;(3)當時,數列為等比數列;(4)當時,稱是數列的一階特征方程,其根叫做特征方程的特征根,這時數列的通項公式為:;例1:已知數列中,且時,求;(參考答案:)二、數列的二階特征方程(型)在數列中,與已知,且(是常數),則稱是數列的二階特征方程,其根,叫做特征方程的特征根。(1)當時,有; (2)當時,有;其中由代入后確定。例2:在數列中,且時,求;(參考

3、答案:)考慮一個簡單的線性遞推問題.設已知數列的項滿足, 其中求這個數列的通項公式.采用數學歸納法可以求解這一問題,然而這樣做太過繁瑣,而且在猜想通項公式中容易出錯,本文提出一種易于被學生掌握的解法特征方程法:針對問題中的遞推關系式作出一個方程稱之為特征方程;借助這個特征方程的根快速求解通項公式.下面以定理形式進行闡述.定理1.設上述遞推關系式的特征方程的根為,則當時,為常數列,即,其中是以為公比的等比數列,即.證明:因為由特征方程得作換元則當時,數列是以為公比的等比數列,故當時,為0數列,故(證畢)下面列舉兩例,說明定理1的應用.例1已知數列滿足:求解:作方程當時,數列是以為公比的等比數列.

4、于是例2已知數列滿足遞推關系:其中為虛數單位.當取何值時,數列是常數數列?解:作方程則要使為常數,即則必須現在考慮一個分式遞推問題(*).例3已知數列滿足性質:對于且求的通項公式.將這問題一般化,應用特征方程法求解,有下述結果.定理2.如果數列滿足下列條件:已知的值且對于,都有(其中p、q、r、h均為常數,且),那么,可作特征方程.(1)當特征方程有兩個相同的根(稱作特征根)時,若則若,則其中特別地,當存在使時,無窮數列不存在.(2)當特征方程有兩個相異的根、(稱作特征根)時,則,其中證明:先證明定理的第(1)部分.作交換則 是特征方程的根,將該式代入式得 將代入特征方程可整理得這與已知條件矛

5、盾.故特征方程的根于是 當,即=時,由式得故當即時,由、兩式可得此時可對式作如下變化: 由是方程的兩個相同的根可以求得 將此式代入式得令則故數列是以為公差的等差數列. 其中當時,當存在使時,無意義.故此時,無窮數列是不存在的.再證明定理的第(2)部分如下:特征方程有兩個相異的根、,其中必有一個特征根不等于,不妨令于是可作變換故,將代入再整理得 由第(1)部分的證明過程知不是特征方程的根,故故所以由式可得: 特征方程有兩個相異根、方程有兩個相異根、,而方程與方程又是同解方程.將上兩式代入式得當即時,數列是等比數列,公比為.此時對于都有 當即時,上式也成立.由且可知 所以(證畢)注:當時,會退化為常數;當時,可化歸為較易解的遞推關系,在此不再贅述.現在求解前述例3的分類遞推問題.解:依定理作特征方程變形得其根為故特征方程有兩個相異的根,使用定理2的第(2)部分,則有 即例4已知數列滿足:對于都有(1)若求(2)若求(3)若求(4)當取哪些值時,無窮數列不存在?解:作特征方程變形得特征方程有兩個相同的特征根依定理2的第(1)部分解答.(1)對于都有(2) 令,得.故數列從第5項開始都不存在,當4,時,.(3) 令則對于(4)顯然當時,數列從第2項開

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