線性代數(shù)課程總結(jié)

1、線性代數(shù)課程總結(jié)第一章 行列式1.1二階、三階行列式 （一）二階行列式 （二）三階行列式 1.2 階行列式（二） 階行列式的定義定義1.2 用 個元素 組成的記號 稱為 階行列式。 注意：（1）、一階行列式就是 （2）、行列式有時簡記為 。第二章 矩陣及其運算2.1 矩陣的概念定義2.1 由 個數(shù) 排列成的一個 行 列的矩形表，稱為一個 矩陣,記作 其中 稱為矩陣第 行第 列的元素。定義2.2 如果兩個矩陣有相同的行數(shù)與相同的列數(shù)，并且對應(yīng)位置上的元素均相等，則稱矩陣 與矩陣 相等，記為 。即如果 且 ，則 。2.2 矩陣的運算（）矩陣的加法和數(shù)乘矩陣定義2.3 兩個 行 列矩陣 對應(yīng)位置元素

2、相加得到的 行 列矩陣，稱為矩陣 與矩陣 的和，記 。定義2.4 以數(shù) 乘矩陣 的每一個元素得到的矩陣，稱為數(shù) 與矩陣 的積，記作 。由上面定義的矩陣加法、數(shù)與矩陣的乘法，不難得到下面的運算律。設(shè) 都是 矩陣， 是數(shù)，則(1) (3) (5) (7) （二）矩陣的乘法定義2.5 設(shè)矩陣 的列數(shù)與矩陣 的行數(shù)相同，則由元素 構(gòu)成的 行 列矩陣 稱為矩陣 與矩陣 的積，記為 或 。可看出：1、兩個非零矩陣相乘可能是零矩陣。2、矩陣不滿足交換律。3、一般矩陣用大寫字母 表示，但1行 列或 行1列矩陣，有時也用小寫字母 表示。矩陣的乘法有下列性質(zhì)：(1) (2) (3) (4) （三）矩陣的轉(zhuǎn)置定義2

3、.6 將 矩陣 的行與列互換，得到的 矩陣，稱為矩陣 的轉(zhuǎn)置矩陣，記為 或 。轉(zhuǎn)置矩陣有下列性質(zhì)：(1) (2) (3) (4) 2.3逆矩陣定義2.7 對于 階矩陣 ，如果存在 階矩陣 ，使得 那么矩陣稱為可逆矩陣，而稱為 的逆矩陣。如果 可逆， 的逆矩陣是唯一的。逆矩陣的性質(zhì)：（1）可逆矩陣 的逆矩陣 是可逆矩陣，且 。 （2）兩個同階可逆矩陣 的乘積是可逆矩陣，且 。 （3）可逆矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣 是可逆矩陣，且 第三章 矩陣的初等變換與線性方程組3.1 矩陣的初等變換定義3.1 對矩陣施以下列3種變換，稱為矩陣的初等變換。（1）交換矩陣的兩行（列）；（2）以一個非零的數(shù) 乘矩陣的某一行（列

4、）；（3）把矩陣的某一行（列）的 倍加于另一行（列）上。定義3.2 對單位矩陣 施以一次初等變換得到的矩陣，稱為初等矩陣。定理3.1 設(shè) （1）對 的行施以某種初等變換得到的矩陣，等于用同種的 階初等矩陣左乘 。（2）對 的列施以某種初等變換得到的矩陣，等于用同種的 階初等矩陣右乘 。定理3.2 任意一個矩陣 經(jīng)過若干次初等變換，可以化為下面形式的矩陣 。定理3.3 階矩陣 為可逆的充分必要條件是它可以表示成一些初等矩陣的乘積。3.2矩陣的秩定義3.3 設(shè) 是 矩陣，從 中任取 行 列 ，位于這些行和列的相交處的元素，保持它們原來的相對位置所構(gòu)成的 階行列式，稱為矩陣 的一個 階子式，稱為矩陣

5、 的一個 階子式。定義3.4設(shè) 為 矩陣。如果 中不為零的子式最高階數(shù)為 ，即存在 階子式不為零，而任何 階子式皆為零，則稱 為矩陣 的秩，記作秩 或 。當(dāng) 時，規(guī)定 。顯然： 很明顯， 當(dāng) 時，稱矩陣 為滿秩矩陣。定理3.4 矩陣經(jīng)初等變換后，其秩不變。第四章 向量組的線性相關(guān)性4.1 向量間的線性關(guān)系（一）線性組合線性方程組(3.1)寫成常數(shù)列向量與系數(shù)列向量如下的線性關(guān)系 稱為方程組(3.1)的向量形式。于是，線性方程組(3.1)是否有解，就相當(dāng)于是否存在一組數(shù)： 使線性關(guān)系式 成立。定義4.1對于給定的向量 如果存在一組數(shù) 使關(guān)系式 成立，則稱向量b是向量組 的線性組合或稱向量b可以由

6、向量組 線性表示。定理4.1向量 可由向量組可由向量組 線性表示的充分必要條件是以 為列向量的矩陣與以 為列向量的矩陣有相同的秩。（二）線性相關(guān)與線性無關(guān)定義4.2 對于向量組 如果存在一組不全為零的數(shù) 使關(guān)系式 成立，則稱向量組 線性相關(guān)；如果上式當(dāng)且 僅當(dāng) 成立，則稱向量組 線性無關(guān)；（三）關(guān)于線性組合與線性相關(guān)的定理定理4.2向量組 線性相關(guān)的充分必要條件是：其中至少有一個向量是其余 個向量的線性組合。定理4.3如果向量組 線性相關(guān)，而 線性無關(guān)，則向量 可由向量組 線性表示且表示法唯一。（四）向量組的秩定義4.3如果 維向量組 中的一個線性無關(guān)的部分組 已達(dá)到最大可能，即如果r個向量以

7、外向量組中還有向量，那么任意 個向量構(gòu)成的部分組均線性相關(guān)，則 稱為向量組 的一個極大線性無關(guān)部分組，簡稱極大無關(guān)組。定理4.4 如果 是 的線性無關(guān)部分組，它是極大無關(guān)組的充分必要條件是： 中每一個向量都可由 線性表示。定義4.4 向量組 的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù),稱為向量組的秩,記為 4.2 線性方程組解的結(jié)構(gòu)(一) 齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)方程 的解有下列性質(zhì):1、如果 是齊次線性方程組的兩個解,則 也是它的解。2、如果 是齊次線性方程組的解,則 也是它的解（ 是常數(shù)）。3、如果 都是齊次線性方程組的解,則其線性組合 也是它的解。其中 都是任意常數(shù)。定義4.5 如果 是齊次線性方程組的解

8、向量組的一個極大無關(guān)組,則稱 是方程組的一個基礎(chǔ)解系。定理4.5 如果齊次線性方程組的系數(shù)矩陣 的秩數(shù) ，則方程組的基礎(chǔ)解系存在,且每個基礎(chǔ)解系中,恰含有 個解。(二) 非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)非齊次線性方程組可以表示為 ，取 ，得到的齊次線性方程組 ，稱為非齊次線性方程組 的導(dǎo)出組。非齊次線性方程組的解與它的導(dǎo)出組的解之間有下列性質(zhì)：1、如果 是非齊次線性方程組（3.1）的一個解， 是其導(dǎo)出組的一個解，則 也是方程組（3.1）的一個解。2、如果 是非齊次線性方程組的兩個解，則 是其導(dǎo)出組的解。定理4.6 如果 是非齊次線性方程組的一個解， 是其導(dǎo)出組的全部解，則 也是方程組的全部解。4.3 維