列聯(lián)表、卡方檢驗與對數(shù)線性模型

1、列聯(lián)表、c2檢驗和對數(shù)線性模型,三維列聯(lián)表（關于某項政策調查所得結果:table7.sav,列聯(lián)表,前面就是一個所謂的三維列聯(lián)表(contingency table). 這些變量中每個都有兩個或更多的可能取值。這些取值也稱為水平；比如收入有三個水平，觀點有兩個水平，性別有兩個水平等。該表為322列聯(lián)表 在SPSS數(shù)據(jù)中，表就不和課本印的一樣，收入的“低”、“中”、“高”用代碼1、2、3代表；性別的“女”、“男”用代碼0、1代表；觀點“贊成”和“不贊成”用1、0代表。有些計算機數(shù)據(jù)對于這些代碼的形式不限（可以是數(shù)字，也可以是字符串,Table7.sav 數(shù)據(jù),列聯(lián)表,列聯(lián)表的中間各個變量不同水平

2、的交匯處，就是這種水平組合出現(xiàn)的頻數(shù)或計數(shù)（count）。 二維的列聯(lián)表又稱為交叉表（cross table）。 列聯(lián)表可以有很多維。維數(shù)多的叫做高維列聯(lián)表。 注意前面這個列聯(lián)表的變量都是定性變量;但列聯(lián)表也會帶有定量變量作為協(xié)變量,二維列聯(lián)表的檢驗,研究列聯(lián)表的一個主要目的是看這些變量是否相關。比如前面例子中的收入和觀點是否相關。 這需要形式上的檢驗,二維列聯(lián)表的檢驗,下面表是把該例的三維表簡化成只有收入和觀點的二維表(這是SPSS自動轉化的:Analyze-Descriptive Statistics-Crosstabs-.,二維列聯(lián)表的檢驗,對于上面那樣的二維表。我們檢驗的零假設和備選假

3、設為 H0:觀點和收入這兩個變量不相關;H1:這兩個變量相關。 這里的檢驗統(tǒng)計量在零假設下有（大樣本時）近似的c2分布。 當該統(tǒng)計量很大時或p-值很小時，就可以拒絕零假設，認為兩個變量相關。 實際上有不止一個c2檢驗統(tǒng)計量。包括Pearson c2統(tǒng)計量和似然比（likelihood ratio）c2統(tǒng)計量；它們都有漸近的c2分布。 根據(jù)計算可以得到（對于這兩個統(tǒng)計量均有）p-值小于0.001。因此可以說，收入高低的確影響觀點,Pearson c2統(tǒng)計量,似然比c2統(tǒng)計量,Oi代表第i個格子的計數(shù)，Ei代表按照零假設（行列無關）對第i格子的計數(shù)的期望值,二維列聯(lián)表的檢驗,剛才說，這些c2統(tǒng)計量

4、是近似的，那么有沒有精確的統(tǒng)計量呢？ 當然有。這個檢驗稱為Fisher精確檢驗；它不是c2分布，而是超幾何分布。 對本問題,計算Fisher統(tǒng)計量得到的p-值也小于0.001。 聰明的同學必然會問，既然有精確檢驗為什么還要用近似的c2檢驗呢？ 這是因為當數(shù)目很大時，超幾何分布計算相當緩慢（比近似計算會差很多倍的時間）；而且在計算機速度不快時，根本無法計算。因此人們多用大樣本近似的c2統(tǒng)計量。而列聯(lián)表的有關檢驗也和c2檢驗聯(lián)系起來了,Fisher精確檢驗,SPSS: Weight-Describ-crosstab-exact,table7.sav 其中有變量性別(sex)、觀點(opinion)

5、和收入(income)；每一列相應于其代表的變量的水平;每一行為一種水平的組合(共有23212種組合(12行), 而每種組合的數(shù)目(也就是列聯(lián)表中的頻數(shù))在number那一列上面，這就是每種組合的權重(weight),需要把這個數(shù)目考慮進去,稱為加權(weight).如果不加權，最后結果按照所有組合只出現(xiàn)一次來算(也就是說，按照列聯(lián)表每一格的頻數(shù)為1).由于在后面的選項中沒有加權的機會,因此在一開始就要加權.方法是點擊圖標中的小天平(“權”就是天平的意思),出現(xiàn)對話框之后點擊Weight cases，然后把“number”選入即可,二維列聯(lián)表情況 加權之后，按照次序選AnalyzeDescri

6、ptive StatisticsCrosstabs。 在打開的對話框中，把opinion和income分別選入Row（行）和Column（列）；至于哪個放入行或哪個放入列是沒有關系的。 如果要Fisher精確檢驗則可以點Exact，另外在Statistics中選擇Chi-square，以得到c2檢驗結果。最后點擊OK之后，就得到有關Pearson c2統(tǒng)計量、似然比c2統(tǒng)計量以及Fisher統(tǒng)計量的輸出了(這里的Sig就是p-值,加權,下面為SPSS對于table7.savs數(shù)據(jù)產(chǎn)生的下面二維列聯(lián)表相關分析的輸出,利用crosstabs處理三維列聯(lián)表問題的SPSS選項,利用crosstabs處

7、理三維列聯(lián)表問題的輸出,利用crosstabs處理三維列聯(lián)表問題的輸出,利用crosstabs處理三維列聯(lián)表問題的輸出,高維列聯(lián)表和(多項分布)對數(shù)線性模型,前面例子原始數(shù)據(jù)是個三維列聯(lián)表，對三維列聯(lián)表的檢驗也類似。 但高維列聯(lián)表在計算機軟件的選項可有所不同，而且可以構造一個所謂(多項分布)對數(shù)線性模型(loglinear model)來進行分析。 利用對數(shù)線性模型的好處是不僅可以直接進行預測，而且可以增加定量變量作為模型的一部分,對數(shù)線性模型,現(xiàn)在簡單直觀地通過二維表介紹一下對數(shù)線性模型，假定不同的行代表第一個變量的不同水平，而不同的列代表第二個變量的不同水平。用mij代表二維列聯(lián)表第i行，

8、第j列的頻數(shù)。人們常假定這個頻數(shù)可以用下面的公式來確定,這就是所謂的多項分布對數(shù)線性模型。這里ai為行變量的第i個水平對ln(mij)的影響，而bj為列變量的第j個水平對ln(mij)的影響，這兩個影響稱為主效應（main effect,多項分布)對數(shù)線性模型,這個模型看上去和回歸模型很象，但由于對于分布的假設不同，不能簡單地用線性回歸的方法來套用(和Logistic回歸類似)；計算過程也很不一樣。當然我們把這個留給計算機去操心了。只要利用數(shù)據(jù)來擬合這個模型就可以得到對于ai和bj的“估計”。 有了估計的參數(shù)，就可以預測出任何i，j水平組合的頻數(shù)mij了（通過其對數(shù)）。 注意，這里的估計之所以

9、打引號是因為一個變量的各個水平的影響是相對的,因此,只有事先固定一個參數(shù)值(比如a1=0),或者設定類似于Sai=0這樣的約束，才可能估計出各個的值。沒有約束，則這些參數(shù)是估計不出來的,多項分布）對數(shù)線性模型,二維列聯(lián)表的更完全的對數(shù)線性模型為,這里的(ab)ij代表第一個變量的第i個水平和第二個變量的第j個水平對ln(mij)的共同影響(交叉效應)。即當單獨作用時，每個變量的一個水平對ln(mij)的影響只有ai(或bj)大，但如果這兩個變量一同影響就不僅是ai+bj，而且還多出一項。 這里的交叉項的諸參數(shù)的大小也是相對的，也需要約束條件來得到其“估計”；涉及的變量和水平越多，約束也越多,注

10、意，無論你對模型假定了多少種效應，并不見得都有意義；有些可能是多余的。本來沒有交叉影響，但如果寫入，也沒有關系，在分析過程中一般可以知道哪些影響是顯著的，而那些是不顯著的,兩種對數(shù)線性模型,前面介紹的多項分布對數(shù)線性模型假定所有的可能格子里面的頻數(shù)滿足多項分布。 另一類為Poisson對數(shù)線性模型.它假定每個格子里面的頻數(shù)滿足一Poisson分布（后面再介紹）. 統(tǒng)計軟件的選項中有關于分布的選項 高維表的檢驗統(tǒng)計量和二維表一樣也包含了Pearson c2統(tǒng)計量和似然比c2統(tǒng)計量,用table7.sav數(shù)據(jù)擬合對數(shù)線性模型,假定（多項分布）對數(shù)線性模型為,這里ai為收入（i=1,2,3代表收入的

11、低、中、高三個水平），bj為觀點（j=1,2代表不贊成和贊成兩個水平），gk為性別（k=1,2代表女性和男性兩個水平）, mijk代表三維列聯(lián)表對于三個變量的第ijk水平組合的出現(xiàn)次數(shù)。 而從相應的參數(shù)估計輸出結果，可以得到對ai的三個值的估計為0.5173, 0.2549,0.0000,對bj的兩個值的估計為-0.6931,0.0000,對gk的兩個值的估計為 0.1139,0.0000。(多項對數(shù)線性模型常數(shù)無意義，輸出的常數(shù)項僅僅是數(shù)學意義,SPSS輸出,就這里的三維列聯(lián)表問題，如只考慮各個變量單獨的影響，而不考慮變量組合的綜合影響，其SPSS輸出的Pearson c2統(tǒng)計量和似然比c2

12、統(tǒng)計量得到的p-值分別為0.0029和0.0011,SPSS輸出,SPSS的實現(xiàn),數(shù)據(jù)table7.sav 假定已經(jīng)加權 (加權一次并存盤了既可) 這時的選項為AnalyzeLoglinearGeneral, 首先選擇格子中頻數(shù)的分布,這里是多項分布 (其默認值是Poisson對數(shù)線性模型). 然后把三個變量(sex,opinion,income)選入Factors(因子); 再選Model(模型)，如果選Saturated(飽和模型),那就是所有交叉效應都要放入模型;但如果不想這樣,可以選Custom(自定義),在Building Terms(構造模型的項)選Main effect(主效應)

13、,再把三個變量一個一個地選進來(如果兩個或三個一同選入，等于選入交叉效應). 如果想要知道模型參數(shù)，在Options中選擇Estimates。 最后Continue-OK即可得出結果. 在計算機輸出的結果中可以找到我們感興趣的結果。 如果SPSS的Viewer輸出不完全，可以選中不完全的輸出，利用Edit-Copy Objects來復制到例如記事本那樣的文件中，就可以看到完整輸出了,Poison對數(shù)線性模型,有的時候，類似的高維表并不一定滿足多項分布對數(shù)線性模型。下面看一個例子。這是關于哮喘病人個數(shù)和空氣污染程度，年齡和性別的數(shù)據(jù)（asthma.sav） 后面表格為某地在一段時間記錄的60組在

14、不同空氣污染狀態(tài)的不同年齡及不同性別的人的發(fā)生哮喘的人數(shù)。 其中性別為定性變量S(sex, 1代表女性，2代表男性)， 空氣污染程度P也是定性變量（polut, 1、2、3分別代表輕度、中度和嚴重污染）， 年齡A (age)為定量變量，為那一組人的平均年齡； 還有一列計數(shù)C (count)為這一組的哮喘人數(shù)。 這個表格和前面的列聯(lián)表的不同點在于每一格的計數(shù)并不簡單是前面三個變量的組合的數(shù)目(某個年齡段，某種性別及某種污染下的人數(shù))，而是代表了某個年齡段，某種性別及某種污染下發(fā)生哮喘的人數(shù),Poisson對數(shù)線性模型簡介在某些固定的條件下, 人們認為某些事件出現(xiàn)的次數(shù)服從Poisson分布, 比

15、如在某一個時間段內(nèi)某種疾病的發(fā)生病數(shù), 顯微鏡下的微生物數(shù), 血球數(shù), 門診病人數(shù), 投保數(shù), 商店的顧客數(shù), 公共汽車到達數(shù), 電話接通數(shù)等等. 然而, 條件是不斷變化的. 因此, 所涉及的Poisson分布的參數(shù)也隨著變化,Poisson對數(shù)線性模型,假定哮喘發(fā)生服從Poisson分布；但是由于條件不同，Poisson分布的參數(shù)l也應該隨著條件的變化而改變。這里的條件就是給出的性別、空氣污染程度與年齡。當然，如何影響以及這些條件影響是否顯著則是我們所關心的。這個模型可以寫成,這里m為常數(shù)項，ai為性別（i=1,2分別代表女性和男性兩個水平），bj為空氣污染程度（j=1,2,3代表低、中高三

16、個污染水平），x為連續(xù)變量年齡，而g為年齡前面的系數(shù)，eij為殘差項,Poisson對數(shù)線性模型,從對于數(shù)據(jù)(asthma.sav)的Poisson對數(shù)線性模型的相應SPSS輸出，可以得到對m的估計為4.9820，對ai的兩個值的“估計”為-0.0608、 0.0000，對bj的三個值的“估計”為-0.1484，0.1223、0.0000，對g的估計為 0.0126。 注意，這里的對主效應aI和bj的估計只有相對意義；它們在一個參數(shù)為0的約束條件下得到的。 從模型看上去，年齡和性別對哮喘影響都不那么重要。輕度污染顯然比中度污染和嚴重污染哮喘要好。但是似乎嚴重污染時哮喘稍微比中度污染少些(差別不

17、顯著)。 通過更進一步的分析（這里不進行），可以發(fā)現(xiàn)，中度和嚴重空氣污染（無論單獨還是一起）和輕度空氣污染比較都顯著增加哮喘人數(shù)，而中度及嚴重污染時的哮喘人數(shù)并沒有顯著區(qū)別,數(shù)據(jù)(asthma.sav,m=read.table(d:/booktj1/data/asthma.txt) names(m)=c(Sex,Polution,Age,Count) attach(m) a=glm(CountSex+Polution+Age,family=poisson) Sex=factor(Sex);Polution=factor(Polution) a=glm(CountSex+Polution+Age

18、,family=poisson) summary(a,數(shù)據(jù)(asthma.sav) m=read.table(d:/booktj1/data/asthma.txt,Call: glm(formula = Count Sex + Polution + Age, family = poisson) Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -1.7901 -0.6700 -0.0651 0.6093 1.5848 Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(|z|) (Intercept) 1.730712 0.

19、140238 12.341 2e-16 * Sex2 0.023926 0.090543 0.264 0.7916 Polution2 0.297465 0.112353 2.648 0.0081 * Polution3 0.174346 0.115519 1.509 0.1312 Age 0.004407 0.002333 1.889 0.0589 . - Signif. codes: 0 * 0.001 * 0.01 * 0.05 . 0.1 1 (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1) Null deviance: 5

20、6.577 on 59 degrees of freedom Residual deviance: 45.772 on 55 degrees of freedom AIC: 289.41 Number of Fisher Scoring iterations: 4,SPSS的實現(xiàn),數(shù)據(jù)asthma.sav 假定已經(jīng)加權 這時的選項為AnalyzeLoglinearGeneral, 首先選擇格子中頻數(shù)的分布,這里是Poisson分布。 然后把兩個變量（sex，polut）選入Factors（因子），把age選入Cell Covariate(s)。 再選Model（模型），這里以選Custom（自

21、定義），在Building Terms（構造模型的項）選Main effect（主效應），再把三個變量一個一個地選進來。 如果想要知道模型參數(shù)，在Options中選擇Estimates。最后Continue-OK即可得出結果。 在結果中可以找到有關Pearson c2統(tǒng)計量和似然比c2統(tǒng)計量的檢驗結果及參數(shù)的估計（如果SPSS的Viewer輸出不完全，可以選中不完全的輸出，利用Edit-Copy Objects來復制到例如記事本那樣的文件中，就可以看到完整輸出了,數(shù)據(jù)（acc2.txt, acc2sas.txt, acc2.sav,m=read.table(d:/booktj1/data/acc2.txt,header=T) attach(m);Machine=factor(Machine);Person=factor(Person) a=glm(IncidentsTime+Machine+P