列聯(lián)表、卡方檢驗(yàn)與對(duì)數(shù)線性模型

1、列聯(lián)表、c2檢驗(yàn)和對(duì)數(shù)線性模型,三維列聯(lián)表（關(guān)于某項(xiàng)政策調(diào)查所得結(jié)果:table7.sav,列聯(lián)表,前面就是一個(gè)所謂的三維列聯(lián)表(contingency table). 這些變量中每個(gè)都有兩個(gè)或更多的可能取值。這些取值也稱為水平；比如收入有三個(gè)水平，觀點(diǎn)有兩個(gè)水平，性別有兩個(gè)水平等。該表為322列聯(lián)表 在SPSS數(shù)據(jù)中，表就不和課本印的一樣，收入的“低”、“中”、“高”用代碼1、2、3代表；性別的“女”、“男”用代碼0、1代表；觀點(diǎn)“贊成”和“不贊成”用1、0代表。有些計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)對(duì)于這些代碼的形式不限（可以是數(shù)字，也可以是字符串,Table7.sav 數(shù)據(jù),列聯(lián)表,列聯(lián)表的中間各個(gè)變量不同水平

2、的交匯處，就是這種水平組合出現(xiàn)的頻數(shù)或計(jì)數(shù)（count）。 二維的列聯(lián)表又稱為交叉表（cross table）。 列聯(lián)表可以有很多維。維數(shù)多的叫做高維列聯(lián)表。 注意前面這個(gè)列聯(lián)表的變量都是定性變量;但列聯(lián)表也會(huì)帶有定量變量作為協(xié)變量,二維列聯(lián)表的檢驗(yàn),研究列聯(lián)表的一個(gè)主要目的是看這些變量是否相關(guān)。比如前面例子中的收入和觀點(diǎn)是否相關(guān)。 這需要形式上的檢驗(yàn),二維列聯(lián)表的檢驗(yàn),下面表是把該例的三維表簡(jiǎn)化成只有收入和觀點(diǎn)的二維表(這是SPSS自動(dòng)轉(zhuǎn)化的:Analyze-Descriptive Statistics-Crosstabs-.,二維列聯(lián)表的檢驗(yàn),對(duì)于上面那樣的二維表。我們檢驗(yàn)的零假設(shè)和備選假

3、設(shè)為 H0:觀點(diǎn)和收入這兩個(gè)變量不相關(guān);H1:這兩個(gè)變量相關(guān)。 這里的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量在零假設(shè)下有（大樣本時(shí)）近似的c2分布。 當(dāng)該統(tǒng)計(jì)量很大時(shí)或p-值很小時(shí)，就可以拒絕零假設(shè)，認(rèn)為兩個(gè)變量相關(guān)。 實(shí)際上有不止一個(gè)c2檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。包括Pearson c2統(tǒng)計(jì)量和似然比（likelihood ratio）c2統(tǒng)計(jì)量；它們都有漸近的c2分布。 根據(jù)計(jì)算可以得到（對(duì)于這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量均有）p-值小于0.001。因此可以說(shuō)，收入高低的確影響觀點(diǎn),Pearson c2統(tǒng)計(jì)量,似然比c2統(tǒng)計(jì)量,Oi代表第i個(gè)格子的計(jì)數(shù)，Ei代表按照零假設(shè)（行列無(wú)關(guān)）對(duì)第i格子的計(jì)數(shù)的期望值,二維列聯(lián)表的檢驗(yàn),剛才說(shuō)，這些c2統(tǒng)計(jì)量

4、是近似的，那么有沒(méi)有精確的統(tǒng)計(jì)量呢？ 當(dāng)然有。這個(gè)檢驗(yàn)稱為Fisher精確檢驗(yàn)；它不是c2分布，而是超幾何分布。 對(duì)本問(wèn)題,計(jì)算Fisher統(tǒng)計(jì)量得到的p-值也小于0.001。 聰明的同學(xué)必然會(huì)問(wèn)，既然有精確檢驗(yàn)為什么還要用近似的c2檢驗(yàn)?zāi)兀?這是因?yàn)楫?dāng)數(shù)目很大時(shí)，超幾何分布計(jì)算相當(dāng)緩慢（比近似計(jì)算會(huì)差很多倍的時(shí)間）；而且在計(jì)算機(jī)速度不快時(shí)，根本無(wú)法計(jì)算。因此人們多用大樣本近似的c2統(tǒng)計(jì)量。而列聯(lián)表的有關(guān)檢驗(yàn)也和c2檢驗(yàn)聯(lián)系起來(lái)了,Fisher精確檢驗(yàn),SPSS: Weight-Describ-crosstab-exact,table7.sav 其中有變量性別(sex)、觀點(diǎn)(opinion)

5、和收入(income)；每一列相應(yīng)于其代表的變量的水平;每一行為一種水平的組合(共有23212種組合(12行), 而每種組合的數(shù)目(也就是列聯(lián)表中的頻數(shù))在number那一列上面，這就是每種組合的權(quán)重(weight),需要把這個(gè)數(shù)目考慮進(jìn)去,稱為加權(quán)(weight).如果不加權(quán)，最后結(jié)果按照所有組合只出現(xiàn)一次來(lái)算(也就是說(shuō)，按照列聯(lián)表每一格的頻數(shù)為1).由于在后面的選項(xiàng)中沒(méi)有加權(quán)的機(jī)會(huì),因此在一開(kāi)始就要加權(quán).方法是點(diǎn)擊圖標(biāo)中的小天平(“權(quán)”就是天平的意思),出現(xiàn)對(duì)話框之后點(diǎn)擊Weight cases，然后把“number”選入即可,二維列聯(lián)表情況 加權(quán)之后，按照次序選AnalyzeDescri

6、ptive StatisticsCrosstabs。 在打開(kāi)的對(duì)話框中，把opinion和income分別選入Row（行）和Column（列）；至于哪個(gè)放入行或哪個(gè)放入列是沒(méi)有關(guān)系的。 如果要Fisher精確檢驗(yàn)則可以點(diǎn)Exact，另外在Statistics中選擇Chi-square，以得到c2檢驗(yàn)結(jié)果。最后點(diǎn)擊OK之后，就得到有關(guān)Pearson c2統(tǒng)計(jì)量、似然比c2統(tǒng)計(jì)量以及Fisher統(tǒng)計(jì)量的輸出了(這里的Sig就是p-值,加權(quán),下面為SPSS對(duì)于table7.savs數(shù)據(jù)產(chǎn)生的下面二維列聯(lián)表相關(guān)分析的輸出,利用crosstabs處理三維列聯(lián)表問(wèn)題的SPSS選項(xiàng),利用crosstabs處

7、理三維列聯(lián)表問(wèn)題的輸出,利用crosstabs處理三維列聯(lián)表問(wèn)題的輸出,利用crosstabs處理三維列聯(lián)表問(wèn)題的輸出,高維列聯(lián)表和(多項(xiàng)分布)對(duì)數(shù)線性模型,前面例子原始數(shù)據(jù)是個(gè)三維列聯(lián)表，對(duì)三維列聯(lián)表的檢驗(yàn)也類似。 但高維列聯(lián)表在計(jì)算機(jī)軟件的選項(xiàng)可有所不同，而且可以構(gòu)造一個(gè)所謂(多項(xiàng)分布)對(duì)數(shù)線性模型(loglinear model)來(lái)進(jìn)行分析。 利用對(duì)數(shù)線性模型的好處是不僅可以直接進(jìn)行預(yù)測(cè)，而且可以增加定量變量作為模型的一部分,對(duì)數(shù)線性模型,現(xiàn)在簡(jiǎn)單直觀地通過(guò)二維表介紹一下對(duì)數(shù)線性模型，假定不同的行代表第一個(gè)變量的不同水平，而不同的列代表第二個(gè)變量的不同水平。用mij代表二維列聯(lián)表第i行，

8、第j列的頻數(shù)。人們常假定這個(gè)頻數(shù)可以用下面的公式來(lái)確定,這就是所謂的多項(xiàng)分布對(duì)數(shù)線性模型。這里ai為行變量的第i個(gè)水平對(duì)ln(mij)的影響，而bj為列變量的第j個(gè)水平對(duì)ln(mij)的影響，這兩個(gè)影響稱為主效應(yīng)（main effect,多項(xiàng)分布)對(duì)數(shù)線性模型,這個(gè)模型看上去和回歸模型很象，但由于對(duì)于分布的假設(shè)不同，不能簡(jiǎn)單地用線性回歸的方法來(lái)套用(和Logistic回歸類似)；計(jì)算過(guò)程也很不一樣。當(dāng)然我們把這個(gè)留給計(jì)算機(jī)去操心了。只要利用數(shù)據(jù)來(lái)擬合這個(gè)模型就可以得到對(duì)于ai和bj的“估計(jì)”。 有了估計(jì)的參數(shù)，就可以預(yù)測(cè)出任何i，j水平組合的頻數(shù)mij了（通過(guò)其對(duì)數(shù)）。 注意，這里的估計(jì)之所以

9、打引號(hào)是因?yàn)橐粋€(gè)變量的各個(gè)水平的影響是相對(duì)的,因此,只有事先固定一個(gè)參數(shù)值(比如a1=0),或者設(shè)定類似于Sai=0這樣的約束，才可能估計(jì)出各個(gè)的值。沒(méi)有約束，則這些參數(shù)是估計(jì)不出來(lái)的,多項(xiàng)分布）對(duì)數(shù)線性模型,二維列聯(lián)表的更完全的對(duì)數(shù)線性模型為,這里的(ab)ij代表第一個(gè)變量的第i個(gè)水平和第二個(gè)變量的第j個(gè)水平對(duì)ln(mij)的共同影響(交叉效應(yīng))。即當(dāng)單獨(dú)作用時(shí)，每個(gè)變量的一個(gè)水平對(duì)ln(mij)的影響只有ai(或bj)大，但如果這兩個(gè)變量一同影響就不僅是ai+bj，而且還多出一項(xiàng)。 這里的交叉項(xiàng)的諸參數(shù)的大小也是相對(duì)的，也需要約束條件來(lái)得到其“估計(jì)”；涉及的變量和水平越多，約束也越多,注

10、意，無(wú)論你對(duì)模型假定了多少種效應(yīng)，并不見(jiàn)得都有意義；有些可能是多余的。本來(lái)沒(méi)有交叉影響，但如果寫(xiě)入，也沒(méi)有關(guān)系，在分析過(guò)程中一般可以知道哪些影響是顯著的，而那些是不顯著的,兩種對(duì)數(shù)線性模型,前面介紹的多項(xiàng)分布對(duì)數(shù)線性模型假定所有的可能格子里面的頻數(shù)滿足多項(xiàng)分布。 另一類為Poisson對(duì)數(shù)線性模型.它假定每個(gè)格子里面的頻數(shù)滿足一Poisson分布（后面再介紹）. 統(tǒng)計(jì)軟件的選項(xiàng)中有關(guān)于分布的選項(xiàng) 高維表的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和二維表一樣也包含了Pearson c2統(tǒng)計(jì)量和似然比c2統(tǒng)計(jì)量,用table7.sav數(shù)據(jù)擬合對(duì)數(shù)線性模型,假定（多項(xiàng)分布）對(duì)數(shù)線性模型為,這里ai為收入（i=1,2,3代表收入的

11、低、中、高三個(gè)水平），bj為觀點(diǎn)（j=1,2代表不贊成和贊成兩個(gè)水平），gk為性別（k=1,2代表女性和男性兩個(gè)水平）, mijk代表三維列聯(lián)表對(duì)于三個(gè)變量的第ijk水平組合的出現(xiàn)次數(shù)。 而從相應(yīng)的參數(shù)估計(jì)輸出結(jié)果，可以得到對(duì)ai的三個(gè)值的估計(jì)為0.5173, 0.2549,0.0000,對(duì)bj的兩個(gè)值的估計(jì)為-0.6931,0.0000,對(duì)gk的兩個(gè)值的估計(jì)為 0.1139,0.0000。(多項(xiàng)對(duì)數(shù)線性模型常數(shù)無(wú)意義，輸出的常數(shù)項(xiàng)僅僅是數(shù)學(xué)意義,SPSS輸出,就這里的三維列聯(lián)表問(wèn)題，如只考慮各個(gè)變量單獨(dú)的影響，而不考慮變量組合的綜合影響，其SPSS輸出的Pearson c2統(tǒng)計(jì)量和似然比c2

12、統(tǒng)計(jì)量得到的p-值分別為0.0029和0.0011,SPSS輸出,SPSS的實(shí)現(xiàn),數(shù)據(jù)table7.sav 假定已經(jīng)加權(quán) (加權(quán)一次并存盤(pán)了既可) 這時(shí)的選項(xiàng)為AnalyzeLoglinearGeneral, 首先選擇格子中頻數(shù)的分布,這里是多項(xiàng)分布 (其默認(rèn)值是Poisson對(duì)數(shù)線性模型). 然后把三個(gè)變量(sex,opinion,income)選入Factors(因子); 再選Model(模型)，如果選Saturated(飽和模型),那就是所有交叉效應(yīng)都要放入模型;但如果不想這樣,可以選Custom(自定義),在Building Terms(構(gòu)造模型的項(xiàng))選Main effect(主效應(yīng))

13、,再把三個(gè)變量一個(gè)一個(gè)地選進(jìn)來(lái)(如果兩個(gè)或三個(gè)一同選入，等于選入交叉效應(yīng)). 如果想要知道模型參數(shù)，在Options中選擇Estimates。 最后Continue-OK即可得出結(jié)果. 在計(jì)算機(jī)輸出的結(jié)果中可以找到我們感興趣的結(jié)果。 如果SPSS的Viewer輸出不完全，可以選中不完全的輸出，利用Edit-Copy Objects來(lái)復(fù)制到例如記事本那樣的文件中，就可以看到完整輸出了,Poison對(duì)數(shù)線性模型,有的時(shí)候，類似的高維表并不一定滿足多項(xiàng)分布對(duì)數(shù)線性模型。下面看一個(gè)例子。這是關(guān)于哮喘病人個(gè)數(shù)和空氣污染程度，年齡和性別的數(shù)據(jù)（asthma.sav） 后面表格為某地在一段時(shí)間記錄的60組在

14、不同空氣污染狀態(tài)的不同年齡及不同性別的人的發(fā)生哮喘的人數(shù)。 其中性別為定性變量S(sex, 1代表女性，2代表男性)， 空氣污染程度P也是定性變量（polut, 1、2、3分別代表輕度、中度和嚴(yán)重污染）， 年齡A (age)為定量變量，為那一組人的平均年齡； 還有一列計(jì)數(shù)C (count)為這一組的哮喘人數(shù)。 這個(gè)表格和前面的列聯(lián)表的不同點(diǎn)在于每一格的計(jì)數(shù)并不簡(jiǎn)單是前面三個(gè)變量的組合的數(shù)目(某個(gè)年齡段，某種性別及某種污染下的人數(shù))，而是代表了某個(gè)年齡段，某種性別及某種污染下發(fā)生哮喘的人數(shù),Poisson對(duì)數(shù)線性模型簡(jiǎn)介在某些固定的條件下, 人們認(rèn)為某些事件出現(xiàn)的次數(shù)服從Poisson分布, 比

15、如在某一個(gè)時(shí)間段內(nèi)某種疾病的發(fā)生病數(shù), 顯微鏡下的微生物數(shù), 血球數(shù), 門(mén)診病人數(shù), 投保數(shù), 商店的顧客數(shù), 公共汽車到達(dá)數(shù), 電話接通數(shù)等等. 然而, 條件是不斷變化的. 因此, 所涉及的Poisson分布的參數(shù)也隨著變化,Poisson對(duì)數(shù)線性模型,假定哮喘發(fā)生服從Poisson分布；但是由于條件不同，Poisson分布的參數(shù)l也應(yīng)該隨著條件的變化而改變。這里的條件就是給出的性別、空氣污染程度與年齡。當(dāng)然，如何影響以及這些條件影響是否顯著則是我們所關(guān)心的。這個(gè)模型可以寫(xiě)成,這里m為常數(shù)項(xiàng)，ai為性別（i=1,2分別代表女性和男性兩個(gè)水平），bj為空氣污染程度（j=1,2,3代表低、中高三

16、個(gè)污染水平），x為連續(xù)變量年齡，而g為年齡前面的系數(shù)，eij為殘差項(xiàng),Poisson對(duì)數(shù)線性模型,從對(duì)于數(shù)據(jù)(asthma.sav)的Poisson對(duì)數(shù)線性模型的相應(yīng)SPSS輸出，可以得到對(duì)m的估計(jì)為4.9820，對(duì)ai的兩個(gè)值的“估計(jì)”為-0.0608、 0.0000，對(duì)bj的三個(gè)值的“估計(jì)”為-0.1484，0.1223、0.0000，對(duì)g的估計(jì)為 0.0126。 注意，這里的對(duì)主效應(yīng)aI和bj的估計(jì)只有相對(duì)意義；它們?cè)谝粋€(gè)參數(shù)為0的約束條件下得到的。 從模型看上去，年齡和性別對(duì)哮喘影響都不那么重要。輕度污染顯然比中度污染和嚴(yán)重污染哮喘要好。但是似乎嚴(yán)重污染時(shí)哮喘稍微比中度污染少些(差別不

17、顯著)。 通過(guò)更進(jìn)一步的分析（這里不進(jìn)行），可以發(fā)現(xiàn)，中度和嚴(yán)重空氣污染（無(wú)論單獨(dú)還是一起）和輕度空氣污染比較都顯著增加哮喘人數(shù)，而中度及嚴(yán)重污染時(shí)的哮喘人數(shù)并沒(méi)有顯著區(qū)別,數(shù)據(jù)(asthma.sav,m=read.table(d:/booktj1/data/asthma.txt) names(m)=c(Sex,Polution,Age,Count) attach(m) a=glm(CountSex+Polution+Age,family=poisson) Sex=factor(Sex);Polution=factor(Polution) a=glm(CountSex+Polution+Age

18、,family=poisson) summary(a,數(shù)據(jù)(asthma.sav) m=read.table(d:/booktj1/data/asthma.txt,Call: glm(formula = Count Sex + Polution + Age, family = poisson) Deviance Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -1.7901 -0.6700 -0.0651 0.6093 1.5848 Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(|z|) (Intercept) 1.730712 0.

19、140238 12.341 2e-16 * Sex2 0.023926 0.090543 0.264 0.7916 Polution2 0.297465 0.112353 2.648 0.0081 * Polution3 0.174346 0.115519 1.509 0.1312 Age 0.004407 0.002333 1.889 0.0589 . - Signif. codes: 0 * 0.001 * 0.01 * 0.05 . 0.1 1 (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1) Null deviance: 5

20、6.577 on 59 degrees of freedom Residual deviance: 45.772 on 55 degrees of freedom AIC: 289.41 Number of Fisher Scoring iterations: 4,SPSS的實(shí)現(xiàn),數(shù)據(jù)asthma.sav 假定已經(jīng)加權(quán) 這時(shí)的選項(xiàng)為AnalyzeLoglinearGeneral, 首先選擇格子中頻數(shù)的分布,這里是Poisson分布。 然后把兩個(gè)變量（sex，polut）選入Factors（因子），把a(bǔ)ge選入Cell Covariate(s)。 再選Model（模型），這里以選Custom（自

21、定義），在Building Terms（構(gòu)造模型的項(xiàng)）選Main effect（主效應(yīng)），再把三個(gè)變量一個(gè)一個(gè)地選進(jìn)來(lái)。 如果想要知道模型參數(shù)，在Options中選擇Estimates。最后Continue-OK即可得出結(jié)果。 在結(jié)果中可以找到有關(guān)Pearson c2統(tǒng)計(jì)量和似然比c2統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)結(jié)果及參數(shù)的估計(jì)（如果SPSS的Viewer輸出不完全，可以選中不完全的輸出，利用Edit-Copy Objects來(lái)復(fù)制到例如記事本那樣的文件中，就可以看到完整輸出了,數(shù)據(jù)（acc2.txt, acc2sas.txt, acc2.sav,m=read.table(d:/booktj1/data/acc2.txt,header=T) attach(m);Machine=factor(Machine);Person=factor(Person) a=glm(IncidentsTime+Machine+P