二階常系數(shù)線性微分方程ppt課件

1、1,第三節(jié) 二階微分方程,5.3.1 特殊二階微分方程,5.3.2 二階線性微分方程,5.3.3 二階常系數(shù)線性微分方程,2,積分2次就可以得到通解.通解中包含兩個任意常數(shù)， 可由初始條件確定這兩個任意常數(shù),5.3.1 特殊二階微分方程,這種類型方程右端不顯含未知函數(shù) ，可先把 看作未知函數(shù),3,設(shè),原方程化為一階方程,設(shè)其通解為,則得,再一次積分, 得原方程的通解,例 1. 求方程 的通解,4,補(bǔ)例. 求解,解,代入方程得,分離變量,積分得,利用,于是有,兩端再積分得,利用,因此所求特解為,5,3,型,令,故方程化為,設(shè)其通解為,即得,分離變量后積分, 得原方程的通解,6,例 2 求解,代入

2、方程得,兩端積分得,一階線性齊次方程,故所求通解為,解,7,如果一個二階微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)及未知函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)都是一次的，這個方程稱為二階線性微分方程. 它的一般形式為,時, 稱為非齊次方程,時, 稱為齊次方程,5.3.2 二階線性微分方程,現(xiàn)在我們討論二階線性微分方程具有的一些性 質(zhì). 事實上，這些性質(zhì)對 n 階微分方程也成立,8,證畢,是二階線性齊次方程,的兩個解,也是該方程的解,證,代入方程左邊, 得,疊加原理,定理1,9,說明,不一定是所給二階方程的通解,例如,是某二階齊次方程的解,也是齊次方程的解,并不是通解,但是,則,為解決通解的判別問題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與,線性

3、無關(guān)概念,10,定義,是定義在區(qū)間 I 上的,n 個函數(shù),使得,則稱這 n個函數(shù)在 I 上線性相關(guān),否則稱為線性無關(guān),例如,在( , )上都有,故它們在任何區(qū)間 I 上都線性相關(guān),又如,若在某區(qū)間 I 上,則根據(jù)二次多項式至多只有兩個零點,必需全為 0,可見,在任何區(qū)間 I 上都 線性無關(guān),若存在不全為 0 的常數(shù),11,兩個函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件,線性相關(guān),存在不全為 0 的,使,線性無關(guān),常數(shù),思考,中有一個恒為 0, 則,必線性,相關(guān),證明略,線性無關(guān),12,定理 2,是二階線性齊次方程的兩個線,性無關(guān)特解, 則,數(shù)) 是該方程的通解,例如, 方程,有特解,且,常

4、數(shù),故方程的通解為,13,是二階非齊次方程,的一個特解,Y (x) 是相應(yīng)齊次方程的通解,定理 3,則,是非齊次方程的通解,證: 將,代入方程左端, 得,14,是非齊次方程的解,又Y 中含有,兩個獨(dú)立任意常數(shù),例如, 方程,有特解,對應(yīng)齊次方程,有通解,因此該方程的通解為,證畢,因而 也是通解,15,定理 4,是方程,的解,分別是方程,的解,如果,則,與,16,定理 5,分別是方程,的特解,是方程,的特解. (非齊次方程解的疊加原理,例 1 求方程,滿足初值條件 的特解,17,5.3.3 二階常系數(shù)線性微分方程 在生產(chǎn)實踐可科學(xué)實驗中，有時需要研究力學(xué)系統(tǒng)或電路系統(tǒng)的問題. 在一定條件下，這類

5、問題的解決歸結(jié)于二階微分方程的研究. 在這類微分方程中，經(jīng)常遇到的是線性微分方程. 如力學(xué)系統(tǒng)的機(jī)械振動和電路系統(tǒng)中的電磁振蕩等問題，都是最常見的問題. 1. 兩個例子 (1)彈簧的振動問題 (2)電磁振蕩,18,1) 彈簧的振動問題,當(dāng)重力與彈性力抵消時, 物體處于 平衡狀態(tài),質(zhì)量為m的物體自由懸掛在一端固定的彈簧上,力作用下作往復(fù)運(yùn)動,解,阻力的大小與運(yùn)動速度,下拉物體使它離開平衡位置后放開,若用手向,物體在彈性力與阻,取平衡時物體的位置為坐標(biāo)原點,建立坐標(biāo)系如圖,設(shè)時刻 t 物位移為 x(t,1) 自由振動情況,彈性恢復(fù)力,物體所受的力有,虎克定律,成正比, 方向相反,建立位移滿足的微分

6、方程,19,據(jù)牛頓第二定律得,則得有阻尼自由振動方程,阻力,2) 強(qiáng)迫振動情況,若物體在運(yùn)動過程中還受鉛直外力,則得強(qiáng)迫振動方程,20,求電容器兩兩極板間電壓,聯(lián)組成的電路, 其中R , L , C 為常數(shù),所滿足的微分方程,提示: 設(shè)電路中電流為 i(t,上的電量為 q(t),自感電動勢為,由電學(xué)知,根據(jù)回路電壓定律,設(shè)有一個電阻 R , 自感L ,電容 C 和電源 E 串,極板,在閉合回路中, 所有支路上的電壓降為 0,2) 電磁振蕩,21,串聯(lián)電路的振蕩方程,如果電容器充電后撤去電源 ( E = 0 ) , 則得,化為關(guān)于,的方程,故有,22,二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式,二階常系數(shù)

7、非齊次線性方程的一般形式是,2. 二階常系數(shù)線性微分方程的解法,其中 p, q 為 常數(shù),從上面兩例可看出，不論是機(jī)械振動還是電磁振蕩，在數(shù)學(xué)上都?xì)w結(jié)為二階常系數(shù)線性方程. 因此研究這種微分方程是很有實用價值的,23,1) 二階常系數(shù)齊次線性方程解法,特征方程法,將其代入上方程, 得,故有,特征方程,特點,未知函數(shù)與其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合等于0,即函數(shù)和其各階導(dǎo)數(shù)只相差常數(shù)因子,猜想,有特解,由此可見 只要 滿足代數(shù)方程 函數(shù) 就是微分方程的解,24,特征方程有兩個不相等的實根,特征根為,兩個線性無關(guān)的特解,得齊次方程的通解為,1,下面分三種情況討論常系數(shù)齊次線性方程的通解,25,2,特征方程有

8、兩個相等實根,則微分方程有一個特解,設(shè)另一特解,u (x) 待定,代入方程得,是特征方程的重根,取 u = x , 則得,因此原方程的通解為,26,3,特征方程有一對共軛復(fù)根的情形,這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解,利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解,因此原方程的通解為,27,例1,的通解,解: 特征方程,特征根,因此原方程的通解為,例2. 求解初值問題,解: 特征方程,有重根,因此原方程的通解為,利用初始條件得,于是所求初值問題的解為,28,特征方程,特征根,利用初始條件得,故所求特解,方程通解,例3,求無阻尼自由振蕩的微分方程 的通解,29,小結(jié):求二階常系數(shù)齊次線性微分方程,特征方程,實

9、根,30,二階常系數(shù)線性非齊次微分方程,根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為,求特解的方法,根據(jù) f (x) 的特殊形式,的待定形式,代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù),待定系數(shù)法,2) 二階常系數(shù)非齊次線性方程解法,31,一,為實數(shù),設(shè)特解為,其中 為待定多項式,代入原方程 , 得,1) 若 不是特征方程的根,則取,從而得到特解,形式為,為 m 次多項式,Q (x) 為 m 次待定系數(shù)多項式,32,2) 若 是特征方程的單根,為m 次多項式,故特解形式為,3) 若 是特征方程的重根,是 m 次多項式,故特解形式為,小結(jié),對方程,即,即,當(dāng) 是特征方程的 k 重根 時,可設(shè),特解,33,例5,的

10、一特解,求,求,的通解,例6,的一特解,例7,求,求解方程,例9,例8,求解方程,求解方程,例10,34,補(bǔ)例1,的一個特解,解: 本題,而特征方程為,不是特征方程的根,設(shè)所求特解為,代入方程,比較系數(shù), 得,于是所求特解為,35,補(bǔ)例2,的通解,解: 本題,特征方程為,其根為,對應(yīng)齊次方程的通解為,設(shè)非齊次方程特解為,比較系數(shù), 得,因此特解為,代入方程得,所求通解為,36,補(bǔ)例3. 求解定解問題,解: 本題,特征方程為,其根為,設(shè)非齊次方程特解為,代入方程得,故,故對應(yīng)齊次方程通解為,原方程通解為,由初始條件得,37,于是所求解為,解得,38,若特征方程含 k 重復(fù)根,若特征方程含 k 重實根 r , 則其通解中必含對應(yīng)項,則其通解中必含,對應(yīng)項,特征方程,3) n階常系數(shù)線性微分