深刻理解傅里葉變換

1、理解離散傅立葉變換(一)-傅立葉變換的由來一、傅立葉變換的提出讓我們先看看為什么會有傅立葉變換？傅立葉是一位法國數學家和物理學家的名字，英語原名是 Jea n Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier對熱傳遞很感興趣，于1807年在法國科學學會上發(fā)表了一篇論文，運用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個 在當時具有爭議性的決斷：任何連續(xù)周期信號可以由一組適當的正弦曲線組合而成。當時審查這個論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數學家拉格朗日(Joseph Louis Lagra nge,1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Lap

2、lace, 1749-1827)，當拉普拉斯和其它審查者 投票通過并要發(fā)表這個論文時，拉格朗日堅決反對，在近50年的時間里，拉格朗日堅持認為傅立葉的方法無法表示帶有棱角的信號，如在方波中出現非連續(xù)變化斜率。法國科學學會屈服于拉格朗日的威望，拒絕了傅立葉的工作，幸運的是，傅立葉還有其它事情可忙，他參加了政治運動，隨拿破侖遠征埃及，法國大革命后因會被推上斷頭臺而一直在逃避。直到拉格朗日死后15年這個論文才被發(fā)表出來。拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個帶有棱角的信號。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此，傅立葉是對的。為什么我們要用正弦曲線來代替原

3、來的曲線呢？如我們也還可以用方波或三角波來代 替呀，分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號。用正余弦來表示原信號會更加簡單，因為正余弦擁有原信號所不具有的性質：正弦曲線保真度。一個正弦曲線信號輸入后，輸出的仍是正弦曲線， 只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。 且只有正弦曲線才擁有這樣的性質，正因如此我們才不用方波或三角波來表示。二、傅立葉變換分類根據原信號的不同類型，我們可以把傅立葉變換分為四種類別:1非周期性連續(xù)信號傅立葉變換(Fourier Transform )2周期性連續(xù)信號傅立葉級數(Fourier Series)3非周期性離散信

4、號離散時域傅立葉變換( Discrete Time Fourier Tran sform)4周期性離散信號離散傅立葉變換(Discrete Fourier Transform)F圖是四種原信號圖例:Type of TiansfonnExample SignalFourier Traiisfon 口V Fourier Seiiesccnnmous awpenodicDiscrete Time Founer Titiiisfbnii sisals hat arc 曲screw, and Disqete Fourier TransionnMpnlsare discrete ciffW pehoaic

5、 1 II I : : r777這四種傅立葉變換都是針對正無窮大和負無窮大的信號，即信號的的長度是無窮大的，我們知道這對于計算機處理來說是不可能的，那么有沒有針對長度有限的傅立葉變換呢？沒有。因為正余弦波被定義成從負無窮小到正無窮大，我們無法把一個長度無限的信號組合成長度有限的信號。面對這種困難，方法是把長度有限的信號表示成長度無限的信號，可以把信號無限地從左右進行延伸，延伸的部分用零來表示，這樣，這個信號就可以被看成是非周期性 離散信號，我們就可以用到離散時域傅立葉變換的方法。還有，也可以把信號用復制的方法進行延伸，這樣信號就變成了周期性離解信號，這時我們就可以用離散傅立葉變換方法進行變換。

6、這里我們要學的是離散信號，對于連續(xù)信號我們不作討論，因為計算機只能處理離散的數值信號，我們的最終目的是運用計算機來處理信號的。但是對于非周期性的信號，我們需要用無窮多不同頻率的正弦曲線來表示，這對于計算機來說是不可能實現的。所以對于離散信號的變換只有離散傅立葉變換(DFT才能被適用，對于計算機來說只有離散的和有限長度的數據才能被處理，對于其它的變換類型只有在數學演算中才能用到，在計算機面前我們只能用DFT方法，后面我們要理解的也正是DFT方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號目的是為了能夠用數學方法來解決問題，至于考慮周期性信號是從哪里得到或怎樣得到是無意義的。每種傅立葉變換都分成實數和復數

7、兩種方法，對于實數方法是最好理解的，但是復數方法就相對復雜許多了， 需要懂得有關復數的理論知識，不過，如果理解了實數離散傅立葉變 換(real DFT)，再去理解復數傅立葉就更容易了，所以我們先把復數的傅立葉放到一邊去， 先來理解實數傅立葉變換， 在后面我們會先講講關于復數的基本理論，然后在理解了實數傅立葉變換的基礎上再來理解復數傅立葉變換。還有，這里我們所要說的變換(tra nsform)雖然是數學意義上的變換，但跟函數變換是不同的，函數變換是符合映射準則的，對于離散數字信號處理(DSP，有許多的變換:傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴展了函數變換的定義

8、，允許輸入和輸出有多種的值，簡單地說變換就是把一堆的數據變成另一堆的數據的方法。三、一個關于實數離散傅立葉變換(Real DFT)的例子先來看一個變換實例，下圖是一個原始信號圖像：0加*04612這個信號的長度是16,于是可以把這個信號分解9個余弦波和9個正弦波(一個長度為N的信號可以分解成 N/2+1個正余弦信號，這是為什么呢？結合下面的18個正余弦圖，我想從計算機處理精度上就不難理解，一個長度為N的信號，最多只能有N/2+1個不同頻率,再多的頻率就超過了計算機所能所處理的精度范圍)，如下圖：9個余弦信號：C osine Waves6IIIf.II24 石 S )0 12 14 168 4

9、fl-Ib 4Iltifaiir lir _ _ t-S0246 S 10 12 14 1684 OS-i_:_:-_:_-602 -I 6 S 10 12 14 169個正弦信號Sine WavesTime Domain把以上所有信號相加即可得到原始信號，至于是怎么分別變換出 9種不同頻率信號的， 我們先不急，先看看對于以上的變換結果， 在程序中又是該怎么表示的， 我們可以看看下面 這個示例圖：Frequency DomainKI I IFiifwnrrl EFT ；ReX0N/2珂f2 + lhnXf 1 i I I IE0N/2WT samplescollectively referre

10、d to as X上圖中左邊表示時域中的信號，右邊是頻域信號表示方法，從左向右表示正向轉換(Forward DFT)，從右向左表示逆向轉換 (Inverse DFT)，用小寫x表示信號在每個時間點 上的幅度值數組，用大寫X表示每種頻率的幅度值數組，因為有N/2+1種頻率，所以該數組長度為N/2+1，X數組又分兩種，一種是表示余弦波的不同頻率幅度值：Re X，另一種是表示正弦波的不同頻率幅度值：Im X ，Re是實數(Real)的意思，Im是虛數(Imagine)的意思， 采用復數的表示方法把正余弦波組合起來進行表示，但這里我們不考慮復數的其它作用， 只記住是一種組合方法而已， 目的是為了便于表

11、達 (在后面我們會知道，復數形式的 傅立葉變換長度是 N而不是N/2+1 )。下一節(jié)我們將來看一下實數傅立葉變換的具體方法。理解離散傅立葉變換(二) 實數形式離散傅立葉變換( Real DFT)上一節(jié)我們看到了一個實數形式離散傅立葉變換的例子， 通過這個例子能夠讓我們先對 傅立葉變換有一個較為形象的感性認識， 現在就讓我們來看看實數形式離散傅立葉變換的正 向和逆向是怎么進行變換的。在此，我們先來看一下頻率的多種表示方法。一、頻域中關于頻率的四種表示方法1 、 序號表示方法，根據時域中信號的樣本數取 0 N/2 ，用這種方法在程序中使用起 來可以更直接地取得每種頻率的幅度值，因為頻率值跟數組的序

12、號是一一對應的:Xk ，取值范圍是 0 N/2 ；2、 分數表示方法，根據時域中信號的樣本數的比例值取0 0.5: X ?，?= k/N ， 取值范圍是 0 N/2 ；3、 用弧度值來表示，把？乘以一個 2 n得到一個弧度值，這種表示方法叫做自然頻率 (natural frequency): X w ,3 = 2 n? = 2 n k/N，取值范圍是 0 n;4、 以赫茲(Hz)為單位來表示，這個一般是應用于一些特殊應用，如取樣率為10 kHz 表示每秒有 10,000 個樣本數:取值范圍是 0 到取樣率的一半。二、DFT基本函數cki = cos(2n ki/N)ski = sin(2n k

13、i/N)其中k表示每個正余弦波的頻率，如為2表示在0到N長度中存在兩個完整的周期，10即有 10 個周期,如下圖:2 1 o 1Vpn 三 dE2 10 1:*pn 三 ds08162452Sample uuaibfiG162432Sample numbers162432Sample number宜E0 6 16Sample number呂二三！d三上圖中至于每個波的振幅(amplitude)值(Re Xk,lm Xk)是怎么算出來的，這個是DFT的核心，也是最難理解的部分，我們先來看看如何把分解出來的正余弦波合成原始信號(In verse DFT)。三、合成運算方法(Real In vers

14、e DFT)DFT合成等式：N/2_Nil _.yz二 cos(2jiki/N) + 加X切 sin(27i/A)如果有學過傅立葉級數， 對這個等式就會有似曾相識的感覺，不錯！這個等式跟傅立葉級數是非常相似的：/(兀)= + (陷 cost Ax + sin kx) =|2 k=l當然，差別是肯定是存在的， 因為這兩個等式是在兩個不同條件下運用的，至于怎么證明DFT合成公式，這個我想需要非常強的高等數學理論知識了，這是研究數學的人的工作，對于普通應用者就不需要如此的追根究底了，但是傅立葉級數是好理解的，我們起碼可以從傅立葉級數公式中看出DFT合成公式的合理性。是轉換萬法ReXkImX kReX

15、ky/2ImX k N12但k等于0和N/2時，實數部分的計算要用下面的等式 ：&左0匸TN腿丘州2 =【M2 N上面四個式中的 N是時域中點的總數，k是從0到N/2的序號。為什么要這樣進行轉換呢？這個可以從頻譜密度（spectral den sity）得到理解，如F圖就是個頻譜圖：.-13 14 15 LCW=L)be - qHi r-+ rf-；這里有個特殊的地方是 j2等于-1，上面第四個式子的計算方法是把分子和分母同時乘 以c - dj，這樣就可消去分母中的j 了。復數也符合代數運算中的交換律、結合律、分配律：A B = B A(A + B) + C = A + (B + C)A(B

16、+ C) = AB + AC二、復數的極坐標表示形式前面提到的是運用直角坐標來表示復數，其實更為普遍應用的是極坐標的表示方法，如：i 2 - or:M = 40!,dr! 6二 arctan (6/2)3 - 7 J orM =，589= arctan (-7/3)上圖中的M即是數量積(magnitude)，表示從原點到坐標點的距離，B是相位角 (phase angle)，表示從X軸正方向到某個向量的夾角，下面四個式子是計算方法:M 二+ (7/z A)2arctan 如_ A.Re A = M cos (0 )Im A = M suite)我們還可以通過下面的式子進行極坐標到直角坐標的轉換:

17、a + jb = M (cos 0 + j sin 0 ) 上面這個等式中左邊是直角坐標表達式，右邊是極坐標表達式。Leon hard Euler ，還有一個更為重要的等式一一歐拉等式(歐拉是瑞士的著名數學家,1707-1783)：jxe = cos x + j sin x這個等式可以從下面的級數變換中得到證明：kW.二v 2k- 1,S(_1)莎應上面中右邊的兩個式子分別是cos(x)和sin(x)的泰勒(Taylor)級數。這樣子我們又可以把復數的表達式表示成指數的形式了：a + jb = M e j 0 (這便是復數的兩個表達式)指數形式是數字信號處理中數學方法的支柱，也許是因為用指數形

18、式進行復數的乘除運算極為簡單的緣故吧：三、復數是數學分析中的一個工具為什么要使用復數呢？其實它只是個工具而已，就如釘子和錘子的關系，復數就象那錘子，作為一種使用的工具。我們把要解決的問題表達成復數的形式(因為有些問題用復數的形式進行運算更加方便)，然后對復數進行運算，最后再轉換回來得到我們所需要的結果。有兩種方法使用復數，一種是用復數進行簡單的替換，如前面所說的向量表達式方法和 前一節(jié)中我們所討論的實域DFT,另一種是更高級的方法：數學等價(mathematicalequivale nee)，復數形式的傅立葉變換用的便是數學等價的方法，但在這里我們先不討論這種方法，這里我們先來看一下用復數進行

19、替換中的問題。用復數進行替換的基本思想是：把所要分析的物理問題轉換成復數的形式，其中只是簡單地添加一個復數的符號 j，當返回到原來的物理問題時，則只是把符號j去掉就可以了。有一點要明白的是并不是所有問題都可以用復數來表示，必須看用復數進行分析是否適用，有個例子可以看出用復數來替換原來問題的表達方式明顯是謬誤的：假設一箱的蘋果是5美元，一箱的桔子是 10美元，于是我們把它表示成5 + 10j ，有一個星期你買了 6箱蘋果和2箱桔子，我們又把它表示成6 + 2j ,最后計算總共花的錢是(5 + 10j)(6 + 2j) = 10+ 70j，結果是買蘋果花了 10美元的，買桔子花了 70美元，這樣的

20、結果明顯是錯了，所以 復數的形式不適合運用于對這種問題的解決。四、用復數來表示正余弦函數表達式對于象M cos ( 3 t +$ )和A cos( 3 t ) + B sin( t )表達式，用復數來表示，可以變得非常簡潔，對于直角坐標形式可以按如下形式進行轉換：Jcos(wr) + Bsiiifwr) 口 n + jbiconx&i tional repiiarim (cGuiplen number)上式中余弦幅值 A經變換生成a,正弦幅值B的相反數經變換生成 b: A a, B -b , 但要注意的是，這不是個等式，只是個替換形式而已。對于極坐標形式可以按如下形式進行轉換：M C0S(3+

21、 ) ormmberf上式中，M M,B - 0。這里虛數部分采用負數的形式主要是為了跟復數傅立葉變換表達式保持一致，對于這種替換的方法來表示正余弦，符號的變換沒有什么好處，但替換時總會被改變掉符號以跟更高 級的等價變換保持形式上的一致。在離散信號處理中，運用復數形式來表示正余弦波是個常用的技術，這是因為利用復數進行各種運算得到的結果跟原來的正余弦運算結果是一致的，但是，我們要小心使用復數操作，如加、減、乘、除，有些操作是不能用的，如兩個正弦信號相加，采用復數形式進行相 加，得到的結果跟替換前的直接相加的結果是一樣的，但是如果兩個正弦信號相乘，則采用復數形式來相乘結果是不一樣的。幸運的是，我們

22、已嚴格定義了正余弦復數形式的運算操作 條件：1、 參加運算的所有正余弦的頻率必須是一樣的；2、 運算操作必須是線性的，如兩個正弦信號可以進行相加減，但不能進行乘除，象 信號的放大、衰減、高低通濾波等系統(tǒng)都是線性的，象平方、縮短、取限等則不是 線性的。要記住的是卷積和傅立葉分析也只有線性操作才可以進行。下圖是一個相量變換(我們把正弦或余弦波變成復數的形式稱為相量變換，Phasortransform)的例子，一個連續(xù)信號波經過一個線性處理系統(tǒng)生成另一個信號波，從計算過程我們可以看出采用復數的形式使得計算變化十分的簡潔：Inpin signalOutput sigimldco$啊亠護)orL1213

23、cos(wr) - 2.1213stD(ur)1.5cuOUPS莒-d 弗1-0 f-0.541.4 fl.S -0.2-C.100.10 2G.30.40.5Frequency上面的頻譜圖把負頻率放到了左邊，是為了迎合我們的思維習慣，但在實際實現中我們一般是把它移到正的頻譜后面的。從上圖可以看出，時域中的正余弦波(用來組成原始信號的正余弦波)在復數DFT的頻譜中被分成了正、負頻率的兩個組成部分，基于此等式中前面的比例系數是1/N (或1/2n),而不是2/N，這是因為現在把頻譜延伸到了2n，但把正負兩個頻率相加即又得到了2/N,又還原到了實數DFT的形式，這個在后面的描述中可以更清楚地看到。

24、由于復數DFT生成的是一個完整的頻譜，原始信號中的每一個點都是由正、負兩個頻率組合而成的，所以頻譜中每一個點的帶寬是一樣的，都是1/N，相對實數DFT,兩端帶寬比其它點的帶寬少了一半；復數DFT的頻譜特征具有周期性：-N/2 0與N/2 N-1是一樣的，實域頻譜呈偶 對稱性(表示余弦波頻譜)，虛域頻譜呈奇對稱性(表示正弦波頻譜)。四、逆向傅立葉變換假設我們已經得到了復數形式的頻譜Xk，現在要把它還原到復數形式的原始信號xn，當然應該是把 Xk乘以一個復數，然后再進行求和，最后得到原始信號xn，這個跟Xk相乘的復數首先讓我們想到的應該是上面進行相關性計算的復數：cos(2 n kn/N)-j s

25、in(2 n kn/N)，但其中的負號其實是為了使得進行逆向傅立葉變換時的正弦函數變?yōu)檎?符號，因為虛數j的運算特殊性，使得原來應該是正的正弦函數變?yōu)榱素摰恼液瘮?我們后面的推導會看到這一點)，所以這里的負號只是為了糾正符號的作用，在進行逆向DFT時，我們可以把負號去掉，于是我們便得到了這樣的逆向DFT變換等式:xn = Xk (cos(2 n kn/N) + j sin (2 n kn/N)我們現在來分析這個式子，會發(fā)現這個式其實跟實數傅立葉變換是可以得到一樣結果 的。我們先把 Xk 變換一下：Xk = Re Xk + j Im Xk這樣我們就可以對 xn 再次進行變換，如：xn = (Re Xk + j Im Xk) (cos(2 n kn/N) + j sin (2n kn/N)=(Re Xk cos( 2n kn/N) + j Im Xk cos( 2n kn/N) +j Re Xk sin(2n kn/N) - Im Xk sin( 2n kn/N)=(Re Xk (cos( 2n kn/N) + j sin (2n kn/N)+(1)Im Xk ( - sin(2n