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文檔簡介
1、高一數學公式總結復習指南基本三角函數aa2a 、2a 、2a 、2a 、2落在 x 軸上的角的集合: a = a,a zv終邊u 終邊落在 y 軸上的角的集合:aaa = a+ 2 ,a z w 終邊落在坐標軸上的角的集合: a = a2 ,a z360度 = 2a 弧度z基本三角函數符號記l = a rx s = 1 l2r = 12 r 21 = a180 .弧度180憶:“一全,二正弦,三切, 四余弦”tanacota= 1倒數關系: sinacsca=11 弧度= a 度180 = a 弧度正六邊形對角線上對應的三角函數之積為 1cosaseca= 1tan 2 a平方關系: sin2
2、a+1 = sec2a+ cos2a = 1三個倒立三角形上底邊對應三角函數的平方何等與對邊對應的三角函數的平方1 + cot 2a = csc 2a乘積關系: sina= tanacosa, 頂點的三角函數等于相鄰的點對應的函數乘積誘導公式u 終邊相同的角的三角函數值相等sin(a+ 2ka)= sina ,k zcos(a+ 2ka)= cosa ,k z tan(a+ 2ka)= tana ,k zsin(-a)= -sinav 角a與角-a關于x軸對稱cos(-a)= cosatan(-a)= - tanaw 角a-a與角a關于y軸對稱sin(a-a)= sinacos(a-a)= -
3、cosatan(a-a)= - tanax角a+a與角a關于原點對稱 sin(a+a)= -sinacos(a+a =)-cosatan(a+a)= tanaasin-a= cosaa 2sin+a = cosay角 2-a與角a關于y = x對稱cos -a = sinaz2acos+a = -sinaa2 tana2 -a= cotatan +a = - cota 2 2上述的誘導公式記憶口訣:“奇變偶不變,符號看象限” 周期問題y = asin(ax +a) ,y = acos(ax +a) ,uy = asin(ax +a)y = acos(ax +a)a 0 , a 0 , a 0
4、, a 0 , a 0 , a 0 , a 0 , a 0 ,t = 2aat = 2aat = aat = aay = asin(ax +a)+ b, a 0 , a 0 , by = acos(ax +a)+ b, a 0 , a 0 , 0 ,b 0,t = 2aat = 2aay = a tan(ax +a) , a 0 ,a 0 ,v y = a cot(ax +a) , a 0 ,a 0 ,t = aat = aay = a tan(ax +a),y = a cot(ax +a),三角函數的性質a 0 ,a 0 ,a 0 ,a 0 ,t = aat = aa性質y = sin xy
5、 = cos x定義域rr值域- 1,1- 1,1周期性2a2a奇偶性奇函數偶函數單調性aa2ka-,2ka+, k z, 增函數22 2ka+ a ,2ka+ 3a , k z, 減 函22 2ka-a,2ka,k z,增函數2ka,2ka+a,k z,減函數對稱中心(ka,0), k za ka+ ,0, k z對稱軸x = ka+a , k z22x = ka, k z5圖4534y23像-8-2-6 -3 /2 -4 - -2- /2y21o /223 /2x46 2818-2 -6-3 /2 -4 - -2 - /2o /2 2-1 4 3 /2x 6 28-1-2-2-3-3-4-
6、4-5-5-6性質定義域y = tan xx x a+a,a z2y = cot xx x a,a z值 域周期性奇偶性單調性 ka- ara奇函a數ra奇函數, ka+2, k z, 增函數2 (ka, ka+a), k z, 增函數對稱中心(ka,0), k za 對稱軸無1086圖4 y2 ka+,0 , k z2無y-15-10像-5 -3 /2 - /2 o-2-4x /2 3 /2 510150x-6-8-10w 怎樣由y = sinx變化為y = asin(ax+a)+ k?振幅變化: y = sinxy = asinx 左右伸縮變化:y = asinax左右平移變化y = as
7、in(ax +a)上下平移變化y = asin(ax +a) + k平面向量共線定理:一般地,對于兩個向量a, (a 0), b,如果有一個實數a, 使得b = aa, (a 0),則b與a是共線向量;反之如果b與a是共線向量那么又且只有一個實數a,使得b = aa.線段的定比分點.1 + a. op = op1 + aop 2線段定比分點向量公式1 + ay = y1 + ay2 1+ ax = x1 + ax2 線段定比分點坐標公式點 p 分有向線段 p1p2 所成的比的定義式 p1p = app2 當a=1時 當a= 1 時線段中點坐標公式x = x1 + x22y = y1 + y22
8、線段中點向量公式. op = op1 + op 2 2向量的一個定理的類似推廣向量共線定理:b = aa(a 0 推廣不共線的向量平面向量基本定理:其中e1 , e2為該平面內的兩個a = a1 e1 + a2 e2 , 推廣空間向量基本定理:a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 ,其中e , e , e 為該空間內的三個123不共面的向量一般地,設向量 a = (x1 , y1 ), b = (x2 , y 2 )且a 0,如果a b那么x1 y2 - x2 y1 = 0反過來,如果 x1 y2 - x2 y1 = 0,則a b .一般地,對于兩個非零向量 a, b有cosa其
9、中 為兩向量的夾角。cosa= a b =a b x1 x2 + y1 y2a b =,11a bx 2+ y 222特別的, a a = a = ax 2+ y 2a a22或 者 a =如果 a = (x1 , y1 ), b = (x2, y 2) 且a 0 , 則a b = x1 x2+ y1 y2特別的 , a b x1 x2 + y1 y2 = 0若正n邊形a1a2 an的中心為o , 則oa1 + oa2 + + oan = 0三角形中的三角問題u a + b + c = a ,a + b + c = a,a + b = a- c22222sin(a + b)= sin(c) c
10、os(a + b)= -cos(c)sin a + b = cos c 2 2 cos a + b = sin c 2 2 abca + b + cv 正弦定理:= 2r =sinasinbsincsina + sinb + sinc余弦定理: a 2 = b 2 + c 2 - 2bccosa , b 2 = a 2 + c 2 - 2accosbc 2 = a 2 + b 2 - 2abcosccosa = b 2 + c 2 - a 2 , cosb = a 2 + c 2 - b 2變形:2bccosc = a 2 + b 2 - c 22ab2acw tan a + tan b +
11、tan c = tan a tan b tan c三角公式以及恒等變換u 兩角的和與差公式: sin(a+ a)= sinacosa+ cosasinasin(a- a)= sinacosa- cosasina, s(a+a), s(a-a)(a+a)cos(ca- a)= cosacosa+ sinasina ,cos(a+ a)= cosacosa- sinasina ,c(a-a)tana+ tan a= tan(a+ a)(1 - tanatan a)tan(a+a)=tan(a-a)= tana+ tan a 1 - tanatan a tana- tan a 1+ tanatana
12、, t(a+a), t(a-a)變形:tana- tan a= tan(a- a)(1 + tanatan a)tana+ tan a+ tan a= tanatan atan a其中a,a,a為三角形的三個內角v 二倍角公式: sin2a= 2sinacosacos2a= 2cos 2a- 1 = 1 - 2sin 2a= cos 2a- sin 2aw 半角公式:tan 2a=sina= 2a 2 tana 1 - tan 2 a1- cosa2 1+ cosatan a = 21- cosa=1 + cosasina1+ cosa= 1 - cosa sinacos = 22x 降冪擴角
13、公式: cos 2a= 1 + cos2a2, sin 2a= 1 - cos2a2sinacosa= 1 sin(a+ a)+ sin(a- a)2y 積化和差公式: cosasina= 1 sin(a+ a)- sin(a- a)2cosacosa= 1 cos(a+ a)+ cos(a- a)2sinasina= - 1 cos(a+ a)- cos(a- a)sina+a= 2 a+ aa- asin2sin2cos2sina- sina= 2cosa+ aa- asin s + s = 2sc)z 和差化積公式:a + a2 a2- a ( s - s = 2cscosa+ cosa
14、= 2cosc + c = 2cc2cos2c - c = -2ssa+ aa- acosa- cosa= -2sinsin2 tanasina=21 + tan 2 a1 - tan 2 a2 22()2 tan a 萬能公式:cosa=21 + tan 2 a2s + t - c - +tana=21- tan2 a2| 三倍角公式: sin3a= 3sina- 4sin3acos3a= 4cos 3a- 3cosatan 3a=3 tana- tan 3 a1 - 3 tan 2 a“三四立,四立三,中間橫個小扁擔”1. y = asina+bcosa=2. y =acosa+ bsin
15、a=a 2 + b 2 sin(a+a)a 2 + b 2 sin(a+a)其 中 ,其 中 ,tana= batana= ab b=a 2 + b2 cos(a-a)其 中 ,tana=a3. y = asina- bcosa=a 2 + b2 sin(a-a)其 中 ,tana= baa= -4. y = acosa- bsina=a 2 + b 2 cos(a+a) 其中 ,a 2 + b 2sin(a-a)tana=ba= - a 2 + b 2 sin(a-a) 其 中 ,tana=bb=a 2 + b 2 cos(a+a)其 中 ,tana=a注: 不同的形式有不同的化歸, 相同的
16、形式也有不同的化歸, 進而可以求解最值問題. 不需要死記公式, 只要記憶 1.的就可以直接寫出.的推導即表達技巧, 其它一般是表達式第一項是正弦的就用兩角和與差的正弦來靠, 第一項是余弦的就用兩角和與差的與弦來靠. 比較容易理解和掌握. 補充: 1. 由公式tan(a+ a)= tana+ tan a1 - tanatan atan(a- a)= tana- tana1 + tanatan a, t(a+a), t(a-a)可以推導 : 當a+ a= a+在有些題目中應用廣泛。,az,(1 + tana)(1 + tan a)= 2時42.tana+ tan a+ tan(a+ a)tanat
17、ana= tan(a+ a)3. 柯西不等式(a2 + b2 )(c2 + d 2 ) (ac + bd )2 ,a, b, c, d r.補充1常見三角不等式:(1)若 x (0,) ,則sin x x tan x .22a(2) 若 x (0,) ,則1 sin x + cos x 2.(3) | sin x | + | cos x | 1.2. sin(a+ a)sin(a- a) = sin2a- sin2 a(平方正弦公式);cos(a+ a) cos(a- a) = cos2a- sin2 a.basina+bcosa=a2 + b2 sin(a+a) (輔助角a所在象限由點(a,
18、 b) 的象限決定, tana=).aa33. 三倍角公式 : sin3a=3sina- 4sin a= 4sinasin(-a) sin(33+a) .cos3a= 4cos3a- 3cosa= 4cosaa-aa a) .+cos() cos( 333tana- tan3aaatan 3a= tanatan( 1- 3 tan2a111-a) tan( 33+a) .4. 三角形面積定理:(1) s = 2 aha = 2 bhb = 2 chc ( ha、bhc 分別表示 a、b、c 邊上的高).111(2) s =ab sin c =bc sin a =ca sin b .(3)12(
19、| oa | | ob |) - ( oa ob )u uru ur2u uru ur2222sdoab =.ca a + b5. 三角形內角和定理在abc 中,有 a + b + c = a c = a-( a + b) = - 222+ - 2c = 2a-2( a + b) .ka a a6. 正弦型函數 y = asin(ax +a) 的對稱軸為 x =2(k z ) ;對稱中心為a( ka-a ,0)(k z ) ;類似可得余弦函數型的對稱軸和對稱中心;三易錯點提示:1. 在解三角問題時,你注意到正切函數、余切函數的定義域了嗎?你注意到正弦函數、余弦函數的有界性了嗎?2. 在三角中,你知道 1 等于什么嗎?( 這些統稱為 1 的代換) 常數 “1”的種種代換有著廣泛的應用3. 你還記得三角化簡的通性通法嗎?(切割化弦、降冪公式、用三角公式轉化出現特殊角. 異角化同角,異名化同名,高次化低次)4. 你還記得在弧度制下弧長公式和扇形面積公式嗎?()“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand
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