(完整版)高中數(shù)學(xué)必修4三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)【經(jīng)典】(2),推薦文檔

1、金字塔教育金字塔教高考數(shù)學(xué)汪老師【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】三角函數(shù)應(yīng)用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)任意角的三角函數(shù)誘導(dǎo)公式同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式計(jì)算與化簡證明恒等式弧長公式應(yīng)用任意角的概念角度制與弧度制應(yīng)用應(yīng)用差角公式倍角公式和角公式已知三角函數(shù)值求角應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用一、任意角的概念與弧度制1、將沿 x 軸正向的射線，圍繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的圖形稱作角.逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正角，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)角，不旋轉(zhuǎn)為零角2、同終邊的角可表示為aa= a+ k a360(k z )x 軸上角：aa= k a180o(k z )y 軸上角：aa= 90o + k a180o(k z )3、第一象限角：a0 + k a3

2、60 a 90o + k a360(k z )第二象限角：a90o + k a360 a 180o + k a360(k z )第三象限角：a180o + k a360 a 270o + k a360(k z )第四象限角：a270o + k a360 a 360o + k a360(k z )4、區(qū)分第一象限角、銳角以及小于90o 的角第一象限角：a0 + k a360 a 90o + k a360(k z )銳角： a0 a 90o小于90o 的角：aa 0, y 0 第二象限： .x 0 第三象限： .x 0, y 0, y 0,cosa 0,tana 0, sina 0,cosa 0,

3、tana 0, sina 0,cosa 0, sina 0,tana 0,a 0)的性質(zhì)：2a振幅： a ；周期： t = a ；頻率： fa。= 1 = a ；相位：ax +a；初相：t2a3、周期函數(shù)：一般地，對(duì)于函數(shù) f (x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)t ，使得定義域內(nèi)的每一個(gè) x 值，都滿足 f (x + t )= f (x)，那么函數(shù) f (x)就叫做周期函數(shù)， t 叫做該函數(shù)的周期.4、 y = asin(ax +a)對(duì)稱軸：令ax +a= ka+a，得 x =2aka+-a 2a對(duì)稱中心：ax +a= ka，得 x =ka-a( ka-a z ) ；a ，a ,0)(k ka-a

4、y = a cos(ax +a) 對(duì)稱軸：令ax+a= ka，得x =a；ka aaa+-a2ka+-a2對(duì)稱中心：ax +a= ka+，得 x =， (,0)(k z ) ；2aa周期公式:a函數(shù) y = asin(ax +a)及 y = a cos(ax +a)的周期t = 2a(a、a為常數(shù)，且aaa0).函數(shù) y = a tan(ax +a)的周期t =(a、a為常數(shù)，且 a0).5、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)表格函 數(shù)性質(zhì)y = sin xy = cos xy = tan x圖像定義域rrax x ka+ 2 , k z 值域-1,1-1,1r最值a當(dāng)x = 2ka+(k z )時(shí)，2ym

5、ax =1；a當(dāng)x = 2ka-(k z )時(shí)，2ymin = -1當(dāng) x = 2ka(k z )時(shí)，ymax = 1；當(dāng) x = 2ka+a(k z )時(shí)， ymin = -1既無最大值也無最小值周期性2a2aa奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性 aa在 -+ 2ka,+ 2ka22(k z )上是增函數(shù)；a3a在2 + 2ka, 2 + 2ka(k z )上是減函數(shù)在-a+ 2ka,2ka(k z )上是增函數(shù)；在2ka, 2ka+a(k z )上是減函數(shù)在ka-aa2 ,ka+ 2 (k z )上是增函數(shù)對(duì)稱性對(duì)稱中心(ka, 0)(k z )a對(duì)稱軸 x = ka+ (k z )2對(duì)稱中心

6、 ka+ a 0 (k z ), 2對(duì)稱軸 x = ka(k z ) ka對(duì)稱中心, 0 (k z ) 2無對(duì)稱軸a3a6. 五點(diǎn)法作 y = asin(ax +a) 的簡圖，設(shè)t = ax +a，取 0、應(yīng) x 的值以及對(duì)應(yīng)的 y 值再描點(diǎn)作圖。7. y = asin(wx + j) 的的圖像、a、 2a來求相228. 函數(shù)的變換：（1） 函數(shù)的平移變換 y = f (x) y = f (x a)(a 0) 將 y = f (x) 圖像沿 x 軸向左（右）平移 a 個(gè)單位（左加右減） y = f (x) y = f (x) b(b 0) 將 y = f (x) 圖像沿 y 軸向上（下）平移b

7、 個(gè)單位（上加下減）（2） 函數(shù)的伸縮變換： y = f (x) y =1f (wx)(w 0) 將 y = f (x) 圖像縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮到原來的 倍（ w 1 縮短，w0 w 0)將 y = f (x) 圖像橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長到原來的 a 倍（ a 1 伸長， 0 a 1縮短）（3） 函數(shù)的對(duì)稱變換： y =f (x) y = f (-x) ) 將 y = f (x) 圖像繞 y 軸翻折 180（整體翻折）（對(duì)三角函數(shù)來說：圖像關(guān)于 x 軸對(duì)稱） y =f (x) y = - f (x) 將y = f (x) 圖像繞 x 軸翻折 180（整體翻折）（對(duì)三角函數(shù)來說：圖像關(guān)于 y

8、軸對(duì)稱） y = f (x) y = f ( x )將 y = f (x) 圖像在 y 軸右側(cè)保留，并把右側(cè)圖像繞 y 軸翻折到左側(cè)（偶函數(shù)局部翻折） y = f (x) y = f (x) 保留 y = f (x) 在 x 軸上方圖像， x 軸下方圖像繞 x 軸翻折上去（局部翻動(dòng)）四、三角恒等變換1. 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：(1）sin(a+a)= sinacosa+sinacosa (2）sin(a-a)= sinacosa-sinacosa (3）cos(a+ a) = cosacosa- sinasin a (4）cos(a- a) = cosacosa+ sinasin

9、a(5） tan(a+ a)=(6） tan(a- a)= tana+ tan a 1 - tanatan atana- tana1 + tanatan atana+ tana= tan(a+a)(1-tanatana)tana- tana= tan(a-a)(1+ tanatana)(7)asina+bcosa= a2 + b2 sin(a+a) (其中,輔助角a所在象限由點(diǎn)(a, b) 所在的象限決定,sina=b,cosa=a,tana= b a，該法也叫合一變形).a2 + b2a2 + b21+ tanaa1- tanaa(8)1- tana= tan( +a) 41+ tana=

10、tan( -a) 42. 二倍角公式（1） sin 2a = 2sin a cos a（2） cos 2a = cos2 a - sin2 a = 1 - 2sin2 a = 2cos2 a - 1金字塔教育tan 2a = 2 tan a（3）（3）1 - tan2 a3. 降冪公式：cos2 a = 1 + cos 2a（1）24. 升冪公式（1）1+ cosa= 2 cos2 a2（3）1 sina= (sina cosa)222aa（2） sin2 a = 1 - cos 2a2（2）1- cosa= 2 sin 2 a2（4）1 =sin2a+ cos2a（5） sina= 2sin

11、cos22a5. 半角公式（符號(hào)的選擇由 所在的象限確定）21 - cos a2sin a = ，1 + cos a2cos a = ，（1）（3）2tan a = 2=sin a1 - cos a1 + cos a1 + cos a（2）2= 1 - cos asin a6. 萬能公式:2 tan a1- tan2 a（1） sina=2 ,（2） cosa=2 ,1+ tan2 a22 tan a（3） tana=2 .1- tan2 a21+ tan2 a27. 三角變換：三角變換是運(yùn)算化簡過程中運(yùn)用較多的變換，提高三角變換能力，要學(xué)會(huì)創(chuàng)設(shè)條件，靈活運(yùn)用三角公式，掌握運(yùn)算、化簡的方法技能

12、。（1） 角的變換：角之間的和差、倍半、互補(bǔ)、互余等關(guān)系對(duì)角變換，還可作添加、刪除角的恒等變形（2） 函數(shù)名稱變換：三角變形中常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。采用公式：a2 + b2asina+ bcosa=sin(a+a)其中cosa=a,sina=ba2 + b2a2 + b2，比3金字塔教高考數(shù)學(xué)汪老師12 + ( 3)212 + ( 3)2金字塔教育金字塔教高考數(shù)學(xué)汪老師y = sin x +如：3 cos x= 12 + (3)2 (1sin x +cos x)= 2( 1 sin x +3 cos x)aaa= 2(sin x co

13、s+ cos xsin) = 2 sin(x +)22333（3）注意“湊角”運(yùn)用：a= (a+ a)- a，2a= 1 (a+ a)- (a-a)a= a- (a-a)，例如：已知a、a(3a3,a) , sin(a+ a)= -， sin(a- a12=) ，則45 )cos(a+ a = ?4413（4） 常數(shù)代換：在三角函數(shù)運(yùn)算、求值、證明中有時(shí)候需將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，特別是常數(shù)“1”可轉(zhuǎn)化為“ sin 2a+ cos2a”（5） 冪的變換：對(duì)次數(shù)較高的三角函數(shù)式一般采用降冪處理，有時(shí)需要升冪例如：1 + cos a常用升冪化為有理式。（6） 公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌

14、握三角公式的順用、逆用及變形。（7） 結(jié)構(gòu)變化：在三角變換中常常對(duì)條件、結(jié)論的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)整，或重新分組，或移項(xiàng)，或變乘為除，或求差等等。在形式上有時(shí)需要和差與積的互化、分解因式、配方等。（8） 消元法：如果所要證明的式子中不含已知條件中的某些變量，可用此法（9） 思路變換：如果一種思路無法再走下去，試著改變自己的思路，通過分析比較去選擇更合適、簡捷的方法去解題目。（10） 利用方程思想解三角函數(shù)。如對(duì)于以下三個(gè)式子： sin a + cos a ， sin a cos asin a - cos a ，已知其中一個(gè)式子的值，其余二式均可求出，且必要時(shí)可以換元。8. 函數(shù)的最值（幾種常見的函數(shù)及其

15、最值的求法）： y = a sin x + b （或 a cos x + b) 型：利用三角函數(shù)的值域，須注意對(duì)字母的討論a2 + b2 y = a sin x + b cos x 型：引進(jìn)輔助角化成 y =sin(x +a) 再利用有界性 y = a sin2 x + b sin x + c 型：配方后求二次函數(shù)的最值，應(yīng)注意 sin x 1的約束a sin x + b y =c sin x + d型：反解出sin x ，化歸為sin x 1解決 y = a(sin x + cos x) + b sin x cos x + c 型：常用到換元法： t = sin x + cos x ，但須2

16、注意t 的取值范圍： t 。9. 三角形中常用的關(guān)系：sin a = sin(b + c) ，cos a = -cos(b + c) ，sin a = cos b + c ，22sin 2 a = -sin 2(b + c) ，cos 2 a = cos 2(b + c)常見數(shù)據(jù)： sin15 = cos 75 = 6 -2,sin 75 = cos15 = 6 +，210.4433tan15 = 2 -, tan 75 = 2 +,“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn

17、 to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, c