(完整版)高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧總結(jié),推薦文檔

1、1、定義法解圓錐曲線問題的常用方法大全2（1） 橢圓有兩種定義。第一定義中，r1+r2=2a。第二定義中，r1=ed1r2=ed2。（2） 雙曲線有兩種定義。第一定義中， r1- r2 = 2a ，當(dāng) r1r2 時，注意 r2 的最小值為 c-a：第二定義中， r1=ed1，r2=ed2，尤其應(yīng)注意第二定義的應(yīng)用，常常將 半徑與“點到準(zhǔn)線距離”互相轉(zhuǎn)化。（3） 拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問題用定義解決更直接簡明。2、韋達(dá)定理法因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題， 最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定

2、理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用。3、解析幾何的運算中，常設(shè)一些量而并不解解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為“設(shè)而不求法”。設(shè)而不求法對于直線與圓錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點問題，常用“點差法”，即設(shè)弦的兩個端點a(x1,y1),b(x2,y2),弦 ab 中點為 m(x0,y0)，將點 a、b 坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，作差后，產(chǎn)生弦中點與弦斜率的關(guān)系，這是一種常見的“設(shè)而不求”法，具體有：x 2y 2xy（1） += 1(a b 0) 與直線相交于 a、b，設(shè)弦 ab 中點為 m(x0,y

3、0)，則有 0 + 0 k = 0 。a 2b 2a 2b 2（2） x 2- y 2= 1(a 0, b 0) 與直線 l 相交于 a、b，設(shè)弦 ab 中點為 m(x ,y )則有xy- 0= 00 00 ka 2b 2a 2b 2（3） y2=2px（p0）與直線 l 相交于 a、b 設(shè)弦 ab 中點為 m(x0,y0),則有 2y0k=2p,即 y0k=p.【典型例題】a qpbfh2例 1、(1)拋物線 c:y2=4x 上一點 p 到點 a(3,4)與到準(zhǔn)線的距離和最小,則點 p 的坐標(biāo)為 (2)拋物線 c: y2=4x 上一點 q 到點 b(4,1)與到焦點 f 的距離和最小,則點

4、q 的坐標(biāo)為。分析：（1）a 在拋物線外，如圖，連 pf，則 pha、p、f 三點共線時，距離和最小。= pf，因而易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)（2）b 在拋物線內(nèi)，如圖，作 qrl 交于 r，則當(dāng) b、q、r 三點共線時， 最小。2解：（1）（2，）連 pf，當(dāng) a、p、f 三點共線時， ap + ph= ap + pf 最小，此時 af 的方程為 y =14 2 - 03 - 1距離和(x - 1)222即 y=2(x-1),代入 y2=4x 得 p(2,2)，（注：另一交點為(,-2)，它為直線 af 與拋物線的另一交點，舍去）（2）（ 1 ,1 ）4過 q 作 qrl 交于 r，當(dāng) b、q、r 三點共線

5、時， bq + qf11入 y2=4x 得 x=，q(,1 )44= bq + qr 最小，此時 q 點的縱坐標(biāo)為 1，代點評：這是利用定義將“點點距離”與“點線距離”互相轉(zhuǎn)化的一個典型例題，請仔細(xì)體會。例x22、f 是橢圓4y 2+3 = 1的右焦點，a(1,1)為橢圓內(nèi)一定點，p 為橢圓上一動點。（1） pa + pf 的最小值為 （2） pa + 2 pf 的最小值為 分析：pf 為橢圓的一個焦半徑，常需將另一焦半徑 pf 或準(zhǔn)線作出來考yaphxff 0慮問題。5解：（1）4-設(shè)另一焦點為 f ，則 f (-1,0)連 a f ,p f 5pa + pf = pa + 2a - pf

6、= 2a - ( pf - pa ) 2a - af = 4 -5當(dāng) p 是 f a 的延長線與橢圓的交點時, pa + pf 取得最小值為 4-。（2）31作出右準(zhǔn)線 l，作 phl 交于 h，因 a2=4，b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=，212 pf =ph ,即2 pf = ph pa + 2 pf = pa + pha 2當(dāng) a、p、h 三點共線時，其和最小，最小值為- xa = 4 - 1 = 3c例 3、動圓 m 與圓 c1:(x+1)2+y2=36 內(nèi)切,與圓 c2:(x-1)2+y2=4 外切,求圓心 m 的軌跡方程。ycm d0 b5xa分析：作圖時，要注意相切時

7、的“圖形特征”：兩個圓心與切點這三點共線（如圖中的 a、m、c 共線，b、d、m 共線）。列式的主要途徑是動圓的“半徑等于半徑”（如圖中的 mc = md ）。解：如圖， mc = md ， ac - ma = mb - db 即 6 - ma = mb - 2 ma + mb = 8（*）x2y 2點 m 的軌跡為橢圓，2a=8，a=4，c=1，b2=15 軌跡方程為+= 11615點評：得到方程（*）后，應(yīng)直接利用橢圓的定義寫出方程，而無需再用距離公式列式求解，即列出(x - 1)2 + y 2(x + 1)2 + y 2+ = 4 ，再移項，平方，相當(dāng)于將橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)了一遍，較繁瑣！

8、3例 4、abc 中，b(-5,0),c(5,0),且 sinc-sinb=sina,求點 a 的軌跡方程。5分析：由于 sina、sinb、sinc 的關(guān)系為一次齊次式，兩邊乘以 2r（r 為外接圓半徑），可轉(zhuǎn)化為邊長的關(guān)系。sinc-sinb=sina2rsinc-2rsinb=2rsina解：335535 ab - ac =bc3即 ab- ac = 6（*）點 a 的軌跡為雙曲線的右支（去掉頂點）2a=6，2c=10a=3， c=5， b=4x 2- y 2 =所求軌跡方程為 1 （x3）916點評：要注意利用定義直接解題，這里由（*）式直接用定義說明了軌跡（雙曲線右支）例 5、定長為

9、 3 的線段 ab 的兩個端點在 y=x2 上移動，ab 中點為 m，求點 m 到 x 軸的最短距離。2分析：（1）可直接利用拋物線設(shè)點，如設(shè) a(x1,x1 2)，b(x2 ，x 2)，又設(shè) ab 中點為 m(x0 0y )用弦長公式及中點公式得出 y0 關(guān)于 x0 的函數(shù)表達(dá)式，再用函數(shù)思想求出最短距離。（2）m 到 x 軸的距離是一種“點線距離”，可先考慮 m 到準(zhǔn)線的距離，想到用定義法。2解法一：設(shè) a(x1，x1 2)，b(x2 ，x 2)，ab 中點 m(x0 ，y0 )(x - x )2 + (x 2 - x 2 )2 = 9 則1212 12022x + x = 2xx + x

10、 = 2 y 120由得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9即(x1+x2)2-4x1x21+(x1+x2)2=9由、得 2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得 (2x )2-(8x 2-4y )1+(2x )2=90000 4 y0 - 4x02 =9，01 + 4x 24 y = 4x 2 + 9= (4x 2 + 1) +9- 100004x 209y 54x 2 + 1 2- 1 = 5,040當(dāng) 4x 2+1=3即 x = 20時， ( y )= 5 此時 m (, 5)202min424法二：如圖， 2 mm 2= aa2bb2+= afbf +ab = 3y

11、 mbab1xm2b2a2m10a1313 mm 2， 即25mm1+，42 mm1， 當(dāng) ab 經(jīng)過焦點 f 時取得最小值。45m 到 x 軸的最短距離為4點評：解法一是列出方程組，利用整體消元思想消 x1，x2，從而形成 y0 關(guān)于 x0 的函數(shù)，這是一種“設(shè)而不求”的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點 m 到 x 軸的距離轉(zhuǎn)化為它到準(zhǔn)線的距離，再利用梯形的中位線，轉(zhuǎn)化為 a、b 到準(zhǔn)線的距離和，結(jié)合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊（當(dāng)三角形“壓扁” 時，兩邊之和等于第三邊）的屬性，簡捷地求解出結(jié)果的，但此解法中有缺點，即沒有驗證 ab 是否能經(jīng)過焦點f，而且點 m 的坐標(biāo)

12、也不能直接得出。例x26、已知橢圓my 2+m -1 = 1(2 m 5) 過其左焦點且斜率為 1 的直線與橢圓及準(zhǔn)線從左到右依次變于a、b、c、d、設(shè) f(m)=ab - cd,（1）求 f(m),（2）求 f(m)的最值。分析：此題初看很復(fù)雜，對 f(m)的結(jié)構(gòu)不知如何運算，因 a、b 來源于“不同系統(tǒng)”，a 在準(zhǔn)線上，b 在橢圓上，同樣 c 在橢圓上，d 在準(zhǔn)線上，可見直接求解較繁，將這些線段“投影”到 x 軸上，立即可得防ydcf1 0 f2bxa22f (m) = (xb - xa )- (xd - xc )=2 (xb - xa ) - (xd - xc )4=2 (xb + xc

13、 ) - (xa + xd )=2 (xb + xc )此時問題已明朗化，只需用韋達(dá)定理即可。x 2 +y 27解：（1）橢圓mm -1 = 1 中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦點 f1(-1,0)則 bc:y=x+1,代入橢圓方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x2+2mx+2m-m2=02m設(shè) b(x ,y ),c(x ,y ), 則 x +x =-(2 m 5)1 12 2122m -122f (m) =ab - cd=2 (xb - xa ) - (xd - xc )=2 (x1+x2 ) - (xa+xc

14、)=x1+ x2=2m 2m -12 2m - 1 + 12m -1（2） f (m) =2(1 +1)2m -110 2當(dāng) m=5 時， f (m)min =9=4 2當(dāng) m=2 時， f (m)max3點評：此題因最終需求 xb + xc ，而 bc 斜率已知為 1，故可也用“點差法”設(shè) bc 中點為 m(x0,y0),通過將b、c 坐標(biāo)代入作差，得 x0 +y0 k = 0 ，將 y =x +1，k=1 代入得 x0 + x0 + 1 = 0 ， x = -m，可見 xb + xcm= -2m 2m -1m - 100mm -102m -1當(dāng)然，解本題的關(guān)鍵在于對 f (m) =f (m

15、) = xb + xc 是解此題的要點。ab - cd的認(rèn)識，通過線段在 x 軸的“投影”發(fā)現(xiàn)【同步練習(xí)】x 2y 2 =1、已知：f1，f2 是雙曲線 a 2 - b 2abf2 的周長為（）1的左、右焦點，過 f1 作直線交雙曲線左支于點 a、b，若 abm ，a、4ab、4a+mc、4a+2md、4a-m2、若點 p 到點 f(4,0)的距離比它到直線 x+5=0 的距離小 1，則 p 點的軌跡方程是（）a、y2=-16xb、y2=-32xc、y2=16xd、y2=32x 3、已知abc 的三邊 ab、bc、ac 的長依次成等差數(shù)列，且 ab (1，0)，則頂點 a 的軌跡方程是（）ac

16、 ，點 b、c 的坐標(biāo)分別為(-1，0)，、+1a x2 y 2 =b 、 x2 + y 2= 1(x 0)4343、+c x2 y 2= 1(x 0且y 0)43434、過原點的橢圓的一個焦點為 f(1，0)，其長軸長為 4，則橢圓中心的軌跡方程是（）a、(x - 1 )2 + y 2 = 9 (x -1)b、(x + 1 )2 + y 2 = 9 (x -1)2424c、 x 2 + ( y - 1 )2 = 9 (x -1)d、 x 2 + ( y + 1 )2 = 9 (x -1)24245、已知雙曲線 上一點 m 的橫坐標(biāo)為 4，則點 m 到左焦點的距離是 x 2 - y 2 = 1

17、9166、拋物線 y=2x2 截一組斜率為 2 的平行直線，所得弦中點的軌跡方程是 7、已知拋物線 y2=2x 的弦 ab 所在直線過定點 p(-2，0)，則弦 ab 中點的軌跡方程是8、過雙曲線 x2-y2=4 的焦點且平行于虛軸的弦長為 9、直線 y=kx+1 與雙曲線 x2-y2=1 的交點個數(shù)只有一個，則 k= xy2210、設(shè)點 p 是橢圓+= 1上的動點，f1，f2 是橢圓的兩個焦點，求 sinf1pf2 的最大值。25911、已知橢圓的中心在原點，焦點在 x 軸上，左焦點到坐標(biāo)原點、右焦點、右準(zhǔn)線的距離依次成等差數(shù)列，3若直線 l 與此橢圓相交于 a、b 兩點，且 ab 中點 m

18、 為(-2，1)， ab = 4，求直線 l 的方程和橢圓方程。x 212、已知直線 l 和雙曲線a 2ab = cd 。- y 2= 1(a 0, b 0)abcdb 2及其漸近線的交點從左到右依次為 、 、 、 。求證：【參考答案】1、caf2 - af1 = 2a, bf2 - bf1 = 2a ， af2bf2+- ab= 4a, af2bf2+ab = 4a + 2m, 選 c+2、c點 p 到 f 與到 x+4=0 等距離，p 點軌跡為拋物線 p=8 開口向右，則方程為 y2=16x，選 c 3、d ab + ac = 2 2 ， 且 ab ac點 a 的軌跡為橢圓在 y 軸右方的

19、部分、又 a、b、c 三點不共線，即 y0，故選d。4、a設(shè)中心為(x，y)，則另一焦點為(2x-1，2y)，則原點到兩焦點距離和為 4 得1 +(x - 1 )2 + y 2 = 924(x - 1)2 + y 2又 ca, 2(x-1)2+y2 1)22設(shè)弦為 ab，a(x1，y1)，b(x2，y2)ab 中點為(x，y)，則 y1=2x1 2，y2=2x2 2，y1-y2=2(x1 2-x2 2)9 y1 - y2 = 2(xx )2=22x， x = 1x1 - x21 + 221111將 x =代入 y=2x2 得 y =，軌跡方程是 x =(y)22227、y2=x+2(x2)設(shè)

20、a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab 中點 m(x，y)，則y 2 = 2x , y 2 = 2x , y 2 - y 2 = 2(x- x ), y1 - y2 ( y + y ) = 211221212x- x1212y - 0y k ab = kmp =x + 2， 2 y = 2 ，即 y2=x+2x + 2又弦中點在已知拋物線內(nèi) p，即 y22x，即 x+22 8、422a 2 = b 2 = 4, c 2 = 8, c = 2，令 x = 2代入方程得 8-y2=4y2=4，y=2，弦長為 49、 2或 1y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1)2-1=0(1

21、-k2)x2-2kx-2=021 - k 2 0 d = 0得 4k2+8(1-k2)=0，k= 1-k2=0 得 k=1xf2f1py10、解：a2=25，b2=9，c2=16設(shè) f1、f2 為左、右焦點，則 f1(-4，0)f2(4，0)設(shè) pf1 = r1 , pf2 = r2 , f1 pf2 =a12則r + r = 2ar 2 + r 2 - 2r r cosa= (2c)2 121 22-得 2r1r2(1+cos)=4b2r1r24b 22b 21+cos=2r1r2= r1r22b2r1+r2 2，r1r2 的最大值為 a2181+cos 的最小值為，即 1+cos a 22

22、577acos -，0 a a- arccos則當(dāng) a=時，sin 取值得最大值 1，25252即 sinf1pf2 的最大值為 1。xy2211、設(shè)橢圓方程為+= 1(a b 0)a 2b 2a 211由題意：c、2c、 c +c 成等差數(shù)列，a 2 4c = c + c +c即a 2 = 2c 2 ，a2=2(a2-b2),a2=2b2+x 2y 2橢圓方程為= 1 ，設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)2b 2b2則 1x+2 1 = 1y 2 2 + 2 = 1x 2y 22b 2b 22b 2b 2x 2 - x 2y 2 - y 2-得 12 + 12 = 02b 2b 2 xm

23、 2b 2- 2ym k = 0+ b 2即 2 + k = 0 k=11 + 113122 - 12(18 - 2b 2 ) 23直線 ab 方程為 y-1=x+2 即 y=x+3， 代入橢圓方程即 x2+2y2-2b2=0 得 x2+2(x+3)2-2b2=03x2+12x+18-2b2=0，ab =x 2x1 - x2y 2= 4解得 b2=12， 橢圓方程為+= 1，直線 l 方程為 x-y+3=0241212、證明：設(shè) a(x1，y1)，d(x2，y2)，ad 中點為 m(x0，y0)直線 l 的斜率為 k，則 x 2 - y 2 =2x2 y 1 1 1 -得00 k = 0 a

24、2b 2-x2 y 2a 2b 2 2 -2 = 1 a 2b 2設(shè) b(x1, y1), c(x , y ), bc中點為m (x0 , y0 ) ，xy 1212則 1 -2 1 = 02aby1 x1 2 -=2 2 a 2 2 b 22x02 y1-得1 -0 k = 0 a 2b 2由、知 m、 m 均在直線l : 2x - 2 y k = 0 上，而 m、 m 又在直線 l 上 ，a 2b 2若 l 過原點，則 b、c 重合于原點，命題成立若 l 與 x 軸垂直，則由對稱性知命題成立若 l 不過原點且與 x 軸不垂直，則 m 與 m 重合 ab = cd橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)總結(jié)橢

25、圓1. 點 p 處的切線 pt 平分pf1f2 在點 p 處的外角.2. pt 平分pf1f2 在點 p 處的外角，則焦點在直線 pt 上的射影 h 點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3. 以焦點弦 pq 為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離.4. 以焦點半徑 pf1 為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.125. 若 p (x , y ) 在橢圓 x2y2 x x=01上，則過 p的橢圓的切線方程是 0 +y y= 1.000a2 + b20a2b2x2y26. 若 p0(x0 , y0 ) 在橢圓 a2 + b2是 x0 x + y0 y = 1.a2b2x2y2= 1外 ，則過 po

26、作橢圓的兩條切線切點為 p1、p2，則切點弦 p1p2 的直線方程7.橢圓+= 1a2b2(ab0)的左右焦點分別為 f1，f 2，點 p 為橢圓上任意一點f1pf2 = a，則橢圓的焦1 2點角形的面積為 sdf pf= b2 tan a .2x2y28. 橢 圓 a2 + b2= 1（ab0）的焦半徑公式：| mf1|= a + ex0 , | mf2 |= a - ex0 ( f1(-c, 0) , f2(c, 0) m (x0 , y0 ) ).9. 設(shè)過橢圓焦點 f 作直線與橢圓相交 p、q 兩點，a 為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié) ap 和 aq 分別交相應(yīng)于焦點 f 的橢圓準(zhǔn)線于 m

27、、n 兩點，則 mfnf.10. 過橢圓一個焦點 f 的直線與橢圓交于兩點 p、q, a1、a2 為橢圓長軸上的頂點，a1p 和 a2q 交于點 m，a2p和 a1q 交于點 n，則 mfnf.x2y2b211. ab 是橢圓+ya2b2 b 2 x= 1的不平行于對稱軸的弦，m (x0 , y0 ) 為 ab 的中點，則 kom kab = - a2 ，即 kab= - a 2 0 。012. 若p (x , y )在橢圓 x2y2x x = 1內(nèi)，則被 po 所平分的中點弦的方程是 0 +y yx 2y 2000+=.000a2 + b2a2b2a2b213. 若 p (x , y ) 在

28、橢圓 x2y2 000a2 + b2= 1內(nèi)，則過 po 的弦中點的軌跡方程是 x2 + y2x xy y= 0 + 0 .a2b2a2b2雙曲線1. 點 p 處的切線 pt 平分pf1f2 在點 p 處的內(nèi)角.2. pt 平分pf1f2 在點 p 處的內(nèi)角，則焦點在直線 pt 上的射影 h 點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.3. 以焦點弦 pq 為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相交.4. 以焦點半徑 pf1 為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：p 在右支；外切：p 在左支）的雙曲線的切線方程是 0 -5. 若 p (x , y ) 在雙曲線 x2 - y2 = 1（a0,b0）上

29、，則過 px x 0 y y= 1. 000a2b2x2y26. 若 p0(x0 , y0 ) 在雙曲線 a2 - b20a2b2= 1（a0,b0）外 ，則過 po 作雙曲線的兩條切線切點為 p1、p2，則切點弦 p p 的直線方程是 x0 x - y0 y = 1.1 2x2y2a2b27. 雙曲線 a2 - b2 = 1（a0,bo）的左右焦點分別為 f1，f 2，點 p 為雙曲線上任意一點f1pf2 = a，2a則雙曲線的焦點角形的面積為 sdf pf = b co t.1 22-x2y28.雙曲線 a2b2 = 1（a0,bo）的焦半徑公式：( f1 (-c, 0) , f2 (c,

30、 0)當(dāng) m (x0 , y0 ) 在右支上時， | mf1 |= ex0 + a , | mf2 |= ex0 - a .當(dāng) m (x0 , y0 ) 在左支上時， | mf1 |= -ex0 + a , | mf2 |= -ex0 - a9. 設(shè)過雙曲線焦點 f 作直線與雙曲線相交 p、q 兩點，a 為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié) ap 和 aq 分別交相應(yīng)于焦點 f 的雙曲線準(zhǔn)線于 m、n 兩點，則 mfnf.10. 過雙曲線一個焦點 f 的直線與雙曲線交于兩點 p、q, a1、a2 為雙曲線實軸上的頂點，a1p 和 a2q 交于點 m，a2p 和 a1q 交于點 n，則 mfnf.x2y

31、21611. ab 是雙曲線-a2b2 b 2 x= 1（a0,b0）的不平行于對稱軸的弦，m (x0 , y0 ) 為 ab 的中點，則b 2 xkom kab =0 ，即 k ab =a 2 y00。a 2 y0x2y212. 若 p0(x0 , y0 ) 在雙曲線 a2 - b2 = 1（a0,b0）內(nèi)，則被 po 所平分的中點弦的方程是x xy yx 2y 2 0 - 0 = 0 - 0 .a2b2a2b2x2y213. 若 p0(x0 , y0 ) 在雙曲線 a2 - b2x2y2x xy y-= 0 - 0 .a2b2a2b2= 1（a0,b0）內(nèi)，則過 po 的弦中點的軌跡方程是

32、x2y2橢圓與雙曲線的經(jīng)典結(jié)論橢圓1. 橢圓 a2 + b2 = 1（abo）的兩個頂點為 a1 (-a, 0) , a2 (a, 0) ，與 y 軸平行的直線交橢圓于 p1、p2 時x2y2a1p1 與 a2p2 交點的軌跡方程是 a2 - b2x2y2= 1.2. 過橢圓 a2 + b2 = 1 (a0, b0)上任一點 a(x0 , y0 ) 任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于 b,c 兩點，b2 x則直線 bc 有定向且 kbcx2y2=0 （常數(shù)）.a2 y03. 若 p 為橢圓 a2 + b2 = 1（ab0）上異于長軸端點的任一點,f1,f2 是焦點,pf1f2 =a,.pf f

33、 = a，則 a - c = tan aa 2 1a + c co t 22xy224. 設(shè)橢圓+= 1（ab0）的兩個焦點為 f1、f2,p（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在a2b2sinacpf1f2 中，記f1pf2 =a, pf1f2 = a, f1f2 p = a，則有sin a+ sina = a = e .xy2225. 若橢圓 a2 + b2 = 1（ab0）的左、右焦點分別為 f1、f2，左準(zhǔn)線為 l，則當(dāng) 0e-1時，可在橢圓上求一點 p，使得 pf1 是 p 到對應(yīng)準(zhǔn)線距離 d 與 pf2 的比例中項.xy226. p 為橢圓+= 1（ab0）上任一點,f1,f2 為二

34、焦點，a 為橢圓內(nèi)一定點，則a2b22a- | af2 | pa | + | pf1 | 2a+ | af1 | ,當(dāng)且僅當(dāng) a, f2 , p 三點共線時，等號成立.(x - x )2( y - y )27. 橢圓0+0= 1與直線 ax + by + c = 0 有公共點的充要條件是a2b2a2a2 + b2b2 ( ax + by+ c)2 .00x2y28. 已知橢圓 a2 + b2= 1（ab0），o 為坐標(biāo)原點，p、q 為橢圓上兩動點，且op oq.（1）a2b2.11114a2b2222+=+ 2 ;（2）|op|2+|oq|2 的最大值為 22 ;（3） sdopq 的最小值是

35、 22 | op | oq |aba + ba+ bx2y2a29. 過橢圓+b2= 1（ab0）的右焦點 f 作直線交該橢圓右支于 m,n 兩點，弦 mn 的垂直平分線交ex 軸于 p，則 | pf | =.| mn |2x2y210. 已知橢圓2 += 1（ ab0） ,a、b、是橢圓上的兩點，線段 ab 的垂直平分線與 x 軸相交于ab2a2 -b2a2 - b2點 p(x0 ,0) , 則-ax2y2 x0 .a11. 設(shè) p 點是橢圓 a2 + b2 = 1（ ab0）上異于長軸端點的任一點,f1、f2 為其焦點記f1pf2 =a，則(1) | pf1 | pf2 |=2b2 1+1

36、 2.(2) sdpf= b2tan a .2x212. 設(shè) a、b 是橢圓a2 +y2 =b21（ab0）的長軸兩端點，p 是橢圓上的一點，2ab2 | cosa|pab =a,pba = a, bpa = a，c、e 分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1) | pa |=a2 - c2co s2 a .(2)2a2b2tanatana=1- e2.(3) sdpab = b2 - a2cota .x2y2a213. 已知橢圓+b2= 1（ ab0）的右準(zhǔn)線l 與 x 軸相交于點 e ，過橢圓右焦點 f 的直線與橢圓相交于 a、b 兩點,點c 在右準(zhǔn)線l 上，且 bc x 軸，則直線 ac 經(jīng)

37、過線段 ef 的中點.14. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.15. 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16. 橢圓焦三角形中,內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù) e(離心率).（注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點.）17. 橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比 e.18. 橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項.x2y2雙曲線1. 雙曲線 a2 - b2 = 1（a0,b0）的兩個頂點為 a1

38、(-a, 0) , a2 (a, 0) ，與 y 軸平行的直線交雙曲線x2y2于 p1、p2 時 a1p1 與 a2p2 交點的軌跡方程是 a2 + b2x2y2= 1.2. 過雙曲線 a2 - b2 = 1（a0,bo）上任一點 a(x0 , y0 ) 任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于b2 xb,c 兩點，則直線 bc 有定向且 kbcx2y2= -0 （常數(shù)）.a2 y03. 若 p 為雙曲線-= 1（a0,b0）右（或左）支上除頂點外的任一點,f1,f2 是焦點,a2b2pf f =a, pf f = a，則 c - a = tan aa（或 c - a = tan aa .1 22

39、 1x2y2c + a co tco t ） 22c + a224. 設(shè)雙曲線-= 1（a0,b0）的兩個焦點為 f1、f2,p（異于長軸端點）為雙曲線上任意一點，a2b2sinac在pf1f2 中，記f1pf2 =a, pf1f2 = a, f1f2 p = a，則有 (sina- sin a) = a = e .xy225. 若雙曲線-= 1（a0,b0）的左、右焦點分別為 f1、f2，左準(zhǔn)線為 l，則當(dāng) 1ea2b22+1時，可在雙曲線上求一點 p，使得 pf1 是 p 到對應(yīng)準(zhǔn)線距離 d 與 pf2 的比例中項.xy226. p 為雙曲線-= 1（a0,b0）上任一點,f1,f2 為二

40、焦點，a 為雙曲線內(nèi)一定點，則a2b2| af2 | -2a | pa | + | pf1 | ,當(dāng)且僅當(dāng) a, f2 , p 三點共線且 p 和 a, f2 在 y 軸同側(cè)時，等號成立.x2 - y2 = +=7. 雙曲線a21（a0,b0）與直線 axb2byc0 有公共點的充要條件是a2a2 - b2b2 c 2 .x2y28. 已知雙曲線 a2 - b2 = 1（ba 0），o 為坐標(biāo)原點，p、q 為雙曲線上兩動點，且op oq .11114a2b2（1）2 +2 = 2 - 2 ;（2）|op|2+|oq|2 的最小值為 22 ;（3） sdopq 的最小值是 | op | oq |ab a2b2b - a.b2 - a2x2y2a29. 過雙曲線-b2= 1（a0,b0）的右焦點 f 作直線交該雙曲線的右支于 m,n 兩點，弦 mn 的 | pf | = e垂直平分線交 x 軸于 p，則.| mn |2-x2y210. 已知雙曲線 = 1（a0,b0）,a、b 是雙曲線上的兩點，線段 ab 的垂直平分線與 x 軸相a2b2a2 + b2a2 + b2交于點 p(x0 ,0) , 則 x0 或x0 -.aax2y211. 設(shè) p 點是雙曲線-= 1（a0,b0）上異于實軸