(完整版)高中數(shù)學(xué)向量匯總歸納,推薦文檔

1、平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用1. 定義及運(yùn)算律.兩個(gè)向量的內(nèi)積(即數(shù)量積),其結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，而不是向量.其定義源于物理學(xué)中“力所做的功”.設(shè) a 及 b 是具有共同始點(diǎn)的兩個(gè)非零向量,其夾角 滿足:0180,我們把|a|b|cos 叫做 a 與 b 的數(shù)量積，記作 ab 若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),則 ab= x1 x2 + y1 y2 .其運(yùn)算滿足“交換律”“結(jié)合律”以及“分配律”,即:ab=ba，(a)b=(ab)，(ab)c=acbc.2. 平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì).10 / 10a a|a|=時(shí)取等號(hào).(a b)| a |2| a | | a | cos q=;c

2、os= | a | | b |;|ab|a|b|,當(dāng)且僅當(dāng) a,b 共線x 2 + y 211x 2 + y 211x 2 + y 222設(shè) a=(x1,y1),b=(x2,y2),則:|a|=;cos=(x1 x2 + y1 y2 );|x1x2+y1y2|x 2 + y 211x 2 + y 2223. 兩向量垂直的充要條件若 a,b 均為非零向量,則:ab ab=0.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2), 則 ab x1x2+y1y2=0.4. 向量的模及三角不等式a a|a|2=aa 或|a|=;|ab|a|b|;|a|2-|b|2=(a+b)(a-b);|ab|=a 2 + b

3、 2 2 | a | | b | cos q( 為 a,b 夾角);|a|-|b|ab|a|+|b|.5. 三角不等式的推廣形式|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|.小練習(xí)一【例 1】計(jì)算下列各題:(1) 已知等邊三角形 abc 邊長(zhǎng)為 1,且 bc =a, ca =b, ab =c,求 ab+bc+ca;(2) 已知 a、b、c 是空間中兩兩垂直的向量,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求 r=a+b+c 的長(zhǎng)度以及它和 a,b,c的夾角;(3) 已知(a+3b)與(7a-5b)垂直,且(a-4b)與(7a-2b)垂直,求 a、b 的夾角;(4) 已知|a|=2,|b|=5,a

4、,b 的夾角是2 ,p=3a-b,q=a+17b,問(wèn)系數(shù) 取向值時(shí)，pq.3【解前點(diǎn)津】 (1)利用 x2=xx,通過(guò)對(duì)(a+b+c)2 的計(jì)算得出結(jié)論;(2)運(yùn)用公式及運(yùn)算律;(3)利用兩向量垂直的充要條件;(4)利用兩向量垂直的充要條件，運(yùn)算律以及內(nèi)積定義.構(gòu)造關(guān)于 的方程， 解之即得.【規(guī)范解答】(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)=3-2(ab+bc+ca)=0 ab+bc+ca= 3 .2r 2(2)cos r,a = r a ,|r|=且| r | | a |r2=(a+b+c)2=a2+b2+c2-2(ab+bc+ca)=14-2(ab+bc+ca)=

5、14.14|r|=14(a + b + c) a =| a |2; 14 | a | 14 | a |cos r,a =14cos r,b =(a + b + c) b =| b |2; 14 | b | 14 | b |14=714 | c | c |214 | c |314cos r,c = (a + b + c) c =.(3)由條件:(a+3b)(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16ab=0,(a-4b)(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30ab=0 |a|2=|b|2=2ab (|a|b|)2=4(ab)2 a b = 1 .| a | | b |2由 cos a,b

6、= 1 得 : a,b = p ;23由 cos a,b =- 1 得 : a,b = 2 p .23(4)令 pq=0 得:(3a-b)(a+17b)=0 3|a|2-17|b|2+(51-)ab=0將|a|=2,|b|=5,ab=|a|b|cos 2 p 代入得 34-1725+(51-)(-5)=0 解之:=40.3【解后歸納】綜合利用內(nèi)積的定義及運(yùn)算律，內(nèi)積運(yùn)算形式與實(shí)數(shù)運(yùn)算形式的相互轉(zhuǎn)化，是計(jì)算的一項(xiàng)基本功.【例 2】在abc 中, ab =(2,3), ac =(1,k),且abc 的一個(gè)內(nèi)角為直角，求 k 的值.【解前點(diǎn)津】因誰(shuí)是直角，尚未確定，故必須分類討論.【規(guī)范解答】當(dāng)a=

7、90時(shí),因?yàn)?ab ac =0,21+3k=0,k=- 2 .3當(dāng)b=90時(shí), bc = ac - ab =(1-2,k-3)=(-1,k-3) ab bc =0,2(-1)+3(k-3)=0 k= 11 .3當(dāng)c=90時(shí), ac bc =0,-1+k(k-3)=0,k2-3k-1=0 k= 3 3 .2k 的取值為:- 2 , 11 或 3 3 .332【例 4】已知平行四邊形以 a=(2,1),b=(1,-3)為兩鄰邊. (1)求它的邊長(zhǎng)和內(nèi)角;(2)求它的兩對(duì)角線的長(zhǎng)和夾角.【解前點(diǎn)津】利用內(nèi)積的有關(guān)運(yùn)算性質(zhì).22 +12512 + (-3) 210【規(guī)范解答】(1)|a|=,|b|=

8、cos= a b =| a | b |=-arccos 2 .10= -,2(2 1-1 3)5 1010(a + b) 2a 2 + b2 + 2ab5 +10 + 2(-1)13(2)|a+b|=,a 2 + b 2 - 2ab5 +10 - 2 (-1)17|a-b|=.1 (a + b) 1 (a - b)22 1cos= 22= a - b=5 -10= - 5 221 .1717131 (a + b)2(a - b) 213 -221【解后歸納】一、基礎(chǔ)夯實(shí)本題綜合運(yùn)用了向量的有關(guān)運(yùn)算性質(zhì)，也可利用余弦定理求解.小練習(xí)二21. 已知|a|=1,|b|=,且(a-b)與 a 垂直,則

9、 a 與 b 的夾角是() a.60b.30c.135d.452. 已知|a|=2,|b|=1,a 與 b 之間的夾角為p ,則向量 m=a-4b 的模為()33a.2b.2c.6d.123. a,b 是兩個(gè)非零向量,(a+b)2=a2+b2 是 ab 的()a.充分不必要條件b.必要不充分條件c.充要條件d.既不充分又不必要條件4.若 a=(-4,3),b=(5,6),則 3|a|2-4ab 等于()a.23b.57c.63d.835. 已知 a=(,2),b=(-3,5)且 a 與 b 的夾角為鈍角，則 的取值范圍是()a. 103b. 103c. 103d. 1036. 已知 a=(4,

10、3),向量 b 是垂直 a 的單位向量，則 b 等于()a. 3 , 4 或 4 , 3 b 4 , 3 或 - 3 ,- 4 5 5 5 5 5 5 55 c 3 ,- 4 或 - 4 , 3 d 3 ,- 4 或 - 3 , 4 55 5 5 55 5 5 7.已知 a=(2,3),b=(-4,7),則 a 在 b 方向上的投影為()5a. 5 b. - 5 5c. 65 5d. 13 138.已知 a(3,2),b(-1,-1),若點(diǎn) p(x,- 1 )在線段 ab 中垂線上,則 x 為()2a.- 74b. 7c.2d.-249.已知 a=(3,0),b=(k,5),且 a 與 b 的

11、夾角為3p ,則 k 的值為()4a.-4b.4c.5d.-510.已知 a=(3,-1),b=(1,2),求滿足條件:xa=9 與 xb=-4 的向量 x 為() a.(2,3)b.(2,-3)c.(-2,3)d.(-2,-3)二、思維激活11.已知向量 a、b 的夾角為 p ,|a|=2,|b|=1,則|a+b|a-b|=.312.已知 ab、c 與 a,b 的夾角均為 60,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,則(a+2b-c)2=.13.已知 a=(1,2),b=(1,1),c=b-ka,若 ca,則 c=.14.已知點(diǎn) a(1,0),b(3,1),c(2,0),且 a= bc ,b

12、= ca ,則 a 與 b 的夾角為.三、能力提高15. 設(shè) a、b、c、d 是平面內(nèi)任意四點(diǎn),求 ab cd + bc ad + ca bd 值.16. 設(shè)oa =(3,1), ob =(-1,2), oc ob , bc oa ,o 是原點(diǎn)，求滿足od + oa = oc 時(shí)的od 坐標(biāo).17. 已知兩單位向量 a 與 b 的夾角為 120,若 c=2a-b,d=3b-a,試求:c 與 d 的夾角. 1 3 2318.已知 a=(,-1),b= , 2 ,且存在實(shí)數(shù) k 和 t,使得 x=a+(t2 -3)b,y=-ka+tb,且 xy,試求k + t 2 的最小值.t平面向量的數(shù)量積及平

13、面向量的應(yīng)用解答2220 -16 cos q p31.da(a-b)=a2-ab=0,ab=1=1cos,cos= 1 . m 2a 2 +16b 2 - 8a b22 +16 - 8 2 1cos q32.b|m|= 2.3.c展開(kāi)得:a2+b2+2ab=a2+b2 ab=0.4.d原式=3(42+32)-4(-20+18)=83.4 + l234345.aab=10-3,|a|=,|b|=,由 cos=10 - 3l 10 .x = 3 4 + l23x = - 36.d設(shè) b=(x,y),則 x2+y2=1 且 4x+3y=0 解方程組得5或.544 y = -5 y =5136513

14、65657.cab=2(-4)+37=13,|a|=,|b|=,13=cos,|a|cos= 13 = 65 .8.c由條件知 ab 中點(diǎn)為 m51, 1 ,令 mp ab =0 得:(x-1,-1)(-4,-3)=-4(x-1)+(-1)(-3)=0,x=2.2 k 2 + 259.d作內(nèi)積:ab=3k=3cos10.b 設(shè) x=(m,n),則由條件得3m - n = 9 3p k 1，求 k 的取值范圍。2、設(shè)兩個(gè)向量 e1 、 e2 滿足| e1 |=2，| e2 |=1， e1 與 e2 的夾角為 600，若向量 m = 2ae1 + 7e2 與向量n = e1 + ae2 的夾角為鈍

15、角，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。3、abc 內(nèi)接于以 o 為圓心，l 為半徑的圓，且3oa + 4ob + 5oc = o ，求： oa ob ， ob oc ， oc oa 。x 24、拋物線 y = -與過(guò)點(diǎn) m(1，0)的直線 l 相交于 a、b 兩點(diǎn)，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若oa ob =0，求直線 l 的2方程。5、設(shè) a =(m，n)， b =(p，q)，定義向量間運(yùn)算“*”為： a * b =(mpnq，mq+np)。 （1）計(jì)算| a |、| b | 及 | a * b |；（2）設(shè) c =(1，0)，計(jì)算 cos及 cos；（3）根據(jù)（1）、（2）的結(jié)果，你能得到什么結(jié)論？6、已知 a =

16、(cos，sin)， b =(cos，sin)，0。 （1） 求證： a + b 與 a b 垂直；（2） 若 k a + b 與 a k b 的長(zhǎng)度相等，求 的值（k 為非零的常數(shù)） 137、已知 a(3，0)，b(0，3)，c(cos，sin)。（1）若 ac bc = -1，求 sin2 的值；（2）若| oa + oc |=，且 (0，)，求ob 與oc 的夾角。3a8、已知 a =(2，2)， b 與 a 的夾角為，且 a b =2。4c（1）求向量b ；（2）若t =(1，0)，且b t ， c =(cosa，2cos2 )，其中 a、c 是abc 的內(nèi)角，若2a、b、c 依次成等

17、差數(shù)列，求| b + c |的取值范圍。9、已知向量 a 、b 、 c 、 d 及實(shí)數(shù) x、y，且| a |=| b |=1， c = a +(x23) b ， d =y a +x b ， a b ，若10c d ，且| c |。（1） 求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系 y=f(x)及定義域；（2） 求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間。10、平面向量oa =(1，7)， ob =(5，1)， op =(2，1)，點(diǎn) m 為直線 op 上一動(dòng)點(diǎn)。 （1）當(dāng) ma mb 取最小值時(shí)，求om 的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn) m 滿足（1）中的條件和結(jié)論時(shí)，求amb 的余弦。11、已知 p(x，y)，a(1，0)，向量 pa

18、 與 m =(1，1)共線。（1）求 y 是 x 的函數(shù)；（2）是否在直線 y=2x 和直線 y=3x 上分別存在一點(diǎn) b、c，使得滿足bpc 為銳角時(shí)77x 取值集合為x| x？若存在，求出這樣的 b、c 的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。12、已知 a = e1 - e2 ， b = 4e1 + 3e2 ，其中 e1 =(1，0)， e2 =(0，1)。（1） 計(jì)算 a b ，| a + b |的值；（2） 如果存在 n 個(gè)不全為零的實(shí)數(shù) k1，k2，kn，使 k1 a1 + k2 a2 + + kn an = o 成立，則稱 n 個(gè)向量a1 ， a2 ， an “線性相關(guān)”，否則為“不線性相關(guān)

19、”，依此定義，三個(gè)向量 a1 =(1，1)， a2 =(2，1)，a3 =(3，2)是否為“線性相關(guān)”的，請(qǐng)說(shuō)明你的判斷根據(jù)；（3） 平面上任意三個(gè)互不共線的向量 a1 ， a2 ， a3 一定是線性相關(guān)的嗎？為什么？ 參考答案選擇題 15 acaddb填空題 1. 4 ，2 (- 2 6 , 2 6 ) 33，3 （2，1）， 4 1 或5，解答題 1：k0 或 k22：(-7, -14 ) (-141 , - )2223： oa ob 0， ob oc 0.8， oc oa 0.6m2 + n2p2 + q2(m2 + n2 )( p2 + q2 )4：y=2x-25： | a |=| b |=| a * b|=pcos= cos= p2 + q2a6: a-a= 52 7: sin2= -; a968(1) (-1,0);(0,-1) (2) 2 ,5 )9: y=x3-3xx - 6,226增區(qū)間(-, -1;1, +) 減區(qū)間-1,110：（1）（4，2）（2） - 4 171791841 12311：（1）y=x+1 (2)存在 b(2,4);c(-1,-3)或 b(-, - ), c(,)297728 2812 （1） a b 1，| a + b |（2）線性相關(guān)“”“”at the end, xiao bian gives you a pass