(完整版)高中數(shù)學(xué)排列組合題型歸納總結(jié),推薦文檔

1、1. 分類計(jì)數(shù)原理(加法原理)排列組合4完成一件事，有n 類辦法，在第 1 類辦法中有m1 種不同的方法，在第 2 類辦法中有m2 種不同的方法，在第n 類辦法中有mn 種不同的方法，那么完成這件事共有：n = m1 + m2 +l+ mn 種不同的方法2. 分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 個(gè)步驟，做第 1 步有m1 種不同的方法，做第 2 步有m2 種不同的方法，做第n 步有mn 種不同的方法，那么完成這件事共有： n = m1 m2 l mn 種不同的方法3. 分類計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理區(qū)別分類計(jì)數(shù)原理方法相互獨(dú)立，任何一種方法都可以獨(dú)立地完成這件事。分步計(jì)數(shù)原理各步相互依存

2、，每步中的方法完成事件的一個(gè)階段，不能完成整個(gè)事件一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例 1、.由 0,1,2,3,4,5 可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).4 3 4解: 由分步計(jì)數(shù)原理得c1c1a3 = 288練習(xí)題：7 種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里， 問(wèn)有多少不同的種法？二.相鄰元素捆綁策略例 2、 7 人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問(wèn)題,可以用捆綁法來(lái)解決問(wèn)題.即將需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素,再與其它元素一起作排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.5 2 2解 ： a5 a2 a2

3、 = 480練習(xí)題：某人射擊 8 槍，命中 4 槍，4 槍命中恰好有 3 槍連在一起的情形的不同種數(shù)為 20 三.不相鄰問(wèn)題插空策略例 3.、一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有 4 個(gè)舞蹈,2 個(gè)相聲,3 個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？元素相離問(wèn)題可先把沒(méi)有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩端5 6解 a5 a 4練習(xí)題：某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的 5 個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個(gè)新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為 30四.定序問(wèn)題倍縮空位插入策略例 4.、7 人排隊(duì),其中甲乙丙 3 人順序一定共有多少不同的排法解:(倍

4、縮法)對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然73后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是： a7/ a 377(空位法)設(shè)想有 7 把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有 a 4 種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有 1 種坐法，則共有 a 4 種方法。思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎?定序問(wèn)題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理（插入法)先排甲乙丙三個(gè)人,共有 1 種排法,再把其余 4 四人依次插入共有方法練習(xí)題: 10 人身高各不相等,排成前后排，每排 5 人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？c510五.重排問(wèn)題求冪策略允許重復(fù)的排

5、列問(wèn)題的特點(diǎn)是以元素為研究對(duì)象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個(gè)元素的位置，一般地 n 不同的元素沒(méi)有限制地安排在 m 個(gè)位置上的排列數(shù)為mn 種例 5.、把 6 名實(shí)習(xí)生分配到 7 個(gè)車間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法練習(xí)題：1. 某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的 5 個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目.如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為 42 2. 某 8 層大樓一樓電梯上來(lái) 8 名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法78六.環(huán)排問(wèn)題線排策略例 6.、 8 人圍桌而坐,共有多少種坐法?解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒(méi)有首尾之分，所以固定一人 a4 4

6、并從此位置把圓形展成直線其余 7 人共有（8-1）！種排法即7 ！cdbeaa b c d efhgf g h a一般地,n 個(gè)不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素作圓形排列共有 1 amnn練習(xí)題：6 顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈 120七.多排問(wèn)題直排策略4 4 5例 7.、8 人排成前后兩排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:,則共有 a 2 a1 a5 種練習(xí)題：有兩排座位，前排 11 個(gè)座位，后排 12 個(gè)座位，現(xiàn)安排 2 人就座規(guī)定前排中間的 3 個(gè)座位不能坐，并且這 2 人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是

7、 346 八.排列組合混合問(wèn)題先選后排策略c a例 8.、有 5 個(gè)不同的小球,裝入 4 個(gè)不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個(gè)球,共有多少不同的裝法.2 454練習(xí)題：一個(gè)班有 6 名戰(zhàn)士,其中正副班長(zhǎng)各 1 人現(xiàn)從中選 4 人完成四種不同的任務(wù),每人完成一種任務(wù),且正副班長(zhǎng)有且只有 1 人參加,則不同的選法有 192 種九.小集團(tuán)問(wèn)題先整體后局部策略31524例 9.用 1,2,3,4,5 組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾 1,在兩個(gè)奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？2 2 2解：共有 a 2 a 2 a 2 種排法.練習(xí)題：2 5 4、計(jì)劃展出 10 幅不同的畫(huà),其中 1 幅水彩畫(huà),幅油畫(huà)

8、,幅國(guó)畫(huà),排成一行陳列,要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫(huà)不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為 a 2 a5 a 42、 5 男生和女生站成一排照像,男生相鄰,女生也相鄰的排法有 a 2 a5 a5 種2 5 5十.元素相同問(wèn)題隔板策略例 10.、有 10 個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給 7 個(gè)班，每班至少一個(gè),有多少種分配方案？一班二三四五六七將 n 個(gè)相同的元素分成 m 份（n，m 為正整數(shù)）,每份至少一個(gè)元素,可以用 m-1 塊隔板，插入 n 個(gè)元素排成一排的 n-1 個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為cm-1n-1練習(xí)題：1、10 個(gè)相同的球裝 5 個(gè)盒中,每盒至少一有多少裝法？ 2、 x + y + z

9、+ w = 100 求這個(gè)方程組的自然數(shù)解的組數(shù)c3103十一.正難則反總體淘汰策略例 11.、從 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù)，使其和為不小于 10 的偶數(shù),不同的取法有多少種？解：這問(wèn)題中如果直接求不小于 10 的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法。這十個(gè)數(shù)字中有 5 個(gè)偶數(shù) 5 個(gè)奇數(shù),所取的三個(gè)數(shù)含有 3 個(gè)偶數(shù)的取法有c3 ,只含有 1 個(gè)偶數(shù)的取法有c1c 2 ,和為偶5 5555 5數(shù)的取法共有c1c 2 + c3 。再淘汰和小于 10 的偶數(shù)共 9 種，符合條件的取法共有有些排列組合問(wèn)題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷,可以先求出它的反面

10、,再?gòu)恼w中淘汰.5c1c52 + c53 - 9練習(xí)題：我們班里有 43 位同學(xué),從中任抽 5 人,正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書(shū)記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?十二.平均分組問(wèn)題除法策略例 12.、6 本不同的書(shū)平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法？平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以 an ( n 為均分n的組數(shù))避免重復(fù)計(jì)數(shù)。6 4 23c 2c 2c 2 / a3 。練習(xí)題：1、 將 13 個(gè)球隊(duì)分成 3 組,一組 5 個(gè)隊(duì),其它兩組 4 個(gè)隊(duì), 有多少分法？（13 8 42c5 c 4c 4 / a 2 ）2、10 名學(xué)生分成 3 組,其中一組 4 人

11、, 另兩組 3 人但正副班長(zhǎng)不能分在同一組,有多少種不同的分組方法？ （1540）3、某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入 4 名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排 2 名，則不同的安排方案有多少4 262（ c 2c 2 a 2/ a 2= 90 ）十三. 合理分類與分步策略例 13.、在一次演唱會(huì)上共 10 名演員,其中 8 人能能唱歌,5 人會(huì)跳舞,現(xiàn)要演出一個(gè) 2 人唱歌 2 人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法解：10 演員中有 5 人只會(huì)唱歌，2 人只會(huì)跳舞 3 人為全能演員。選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研3 3究只會(huì)唱的 5 人中沒(méi)有人選上唱歌人員共有c 2c 2 種,只會(huì)唱的 5 人

12、中只有 1 人選上唱歌人員c1c1c 2 種,只會(huì)唱的 5 人中只有 2 人選上唱歌人員有c 2c 2 種，由分類計(jì)數(shù)原理共有3 35 3 45 55 3 45 5c 2c 2 + c1c1c 2 + c 2c 2 種。解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過(guò)程的始終。練習(xí)題：1、.從 4 名男生和 3 名女生中選出 4 人參加某個(gè)座談會(huì)，若這 4 人中必須既有男生又有女生， 則不同的選法共有 34 2、 3 成人 2 小孩乘船游玩,1 號(hào)船最多乘 3 人, 2 號(hào)船最多乘 2 人,3

13、號(hào)船只能乘 1 人,他們?nèi)芜x 2只船或 3 只船,但小孩不能單獨(dú)乘一只船, 這 3 人共有多少乘船方法.（27）十四.構(gòu)造模型策略例 14.、 馬路上有編號(hào)為 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的 3 盞,但不能關(guān)掉相鄰的 2盞或 3 盞,也不能關(guān)掉兩端的 2 盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型， 裝盒模型等，可使問(wèn)題直觀解決解：把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在 6 盞亮燈的 5 個(gè)空隙中插入 3 個(gè)不亮的燈有c5 3 種練習(xí)題：某排共有 10 個(gè)座位，若 4 人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同

14、的坐法有多少種？（120）十五.實(shí)際操作窮舉策略例 15.、設(shè)有編號(hào) 1,2,3,4,5 的五個(gè)球和編號(hào) 1,2,3,4,5 的五個(gè)盒子,現(xiàn)將 5 個(gè)球投入這五個(gè)盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,有多少投法55解：從 5 個(gè)球中取出 2 個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有c 2 種還剩下 3 球 3 盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，利用實(shí)際操作法， 如果剩下 3,4,5 號(hào)球,3,4,5 號(hào)盒 3 號(hào)球裝 4 號(hào)盒時(shí)，則 4,5 號(hào)球有只有 1 種裝法，同理 3 號(hào)球裝 5 號(hào)盒時(shí),4,5 號(hào)球有也只有 1 種裝法,由分步計(jì)數(shù)原理有2c 2 種對(duì)于條件比較復(fù)雜的排列組合問(wèn)題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算

15、，往往利用窮舉法或畫(huà)出樹(shù)狀圖練習(xí)題：1.同一寢室 4 人,每人寫(xiě)一張賀年卡集中起來(lái),然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？(9)2.給圖中區(qū)域涂色,要求相鄰區(qū) 域不同色,現(xiàn)有 4 種可選顏色,則不同的著色方法有 72 種13245十六. 分解與合成策略例 16.、 30030 能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除分析：先把 30030 分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式 30030=235 7 1113，依題意可知偶因數(shù)必先取 2,再?gòu)钠溆?5 個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成乘積，所有的偶因數(shù)為：55555c1 + c 2 + c3 + c 4 + c5十八.數(shù)字排序問(wèn)題查字典策略例 18、由0，

16、1，2，3，4，5 六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)的比 324105 大的數(shù)？ 解 : n = 2 a5 + 2 a4 + a3 + a2 + a1 = 297數(shù)字排序問(wèn)題可用查字典法,查字典的法應(yīng)從高位向低位查,依次求出其符合要求的個(gè)數(shù), 根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理求出其總數(shù)。54321練習(xí):用 0,1,2,3,4,5 這六個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)的四位偶數(shù),將這些數(shù)字從小到大排列起來(lái),第 71 個(gè)數(shù)是 3140排列組合易錯(cuò)題正誤解析例 1 從 6 臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和 5 臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選取 5 臺(tái),其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺(tái),則不同的取法有種.例 2在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上有四項(xiàng)比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)

17、生，那么不同的奪冠情況共有（）種.（a） a43（b） 43（c） 34（d） c43例 3有大小形狀相同的 3 個(gè)紅色小球和 5 個(gè)白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？例 45 本不同的書(shū)全部分給 4 個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（）（a）480 種（b）240 種（c）120 種（d）96 種例 5某交通崗共有 3 人，從周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值 2 天，其不同的排法共有（）種.（a）5040（b）1260（c）210（d）630例 6用數(shù)字 0，1，2，3，4 組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的比 1000 大的奇數(shù)共有（）（a）36 個(gè)（b）48 個(gè)（c

18、）66 個(gè)（d）72 個(gè)22 3c c a 75 32例 7如圖，一個(gè)地區(qū)分為 5 個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)231545有 4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有種.（以數(shù)字作答）.例 8已知ax 2 - b = 0 是關(guān)于 x 的一元二次方程，其中a 、b 1,2,3,4 ，求解集不同的一元二次方程的個(gè)數(shù).例 10現(xiàn)有 8 個(gè)人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（）種.6“”“”at the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy