(完整版)實數(shù)知識點總結,推薦文檔

1、實數(shù)夯實基礎平方根的有關概念1. 算術平方根名稱定義表示方法舉例一般地，如果一個正數(shù) x 的平方等于 a ，非負數(shù) a 的算術平方如52 = 25 ，那么 5算術平方根即 x 2 = a ，那么這根記作“ a ”，讀叫做 25 的算術平方個正數(shù) x 叫做 a 的算術平方根。規(guī)定 0 的作“根號 a ”，其中a 叫做被開方數(shù)根（或者說 25 的算術平方根是 5）算術平方根是 0溫馨提示一個正數(shù) a 的平方根有兩個，分別為 a 和-a ，我們把正的平方根 a 叫做 a 的算術平方根。一個正數(shù)的算術平方根是一個正數(shù)；零的算術平方根仍為零；負數(shù)沒算術平方根。例 1：寫出下列各數(shù)的算術平方根。（1）0.

2、0009；（2） 81 ；（3） (- 5)2 。492. 平方根1. 定義：如果一個數(shù)的平方等于 a ，這個數(shù)就叫做 a 的平方根（或二次方根）。即如果x 2 = a ，那么 x 就叫做 a 的平方根。如： ( 2)2 = 4 ，所以 4 的平方根是 2 ；3 29935 = ， 所以的平方根是2525； 02 = 0 ，所以 0 的平方根是 0。52. 表示方法2 a一個數(shù) a 的正的平方根，用符號“”表示， a 叫做被開方數(shù)，2 叫做根指數(shù)， a 的2 a負平方根用“ -”表示，根指數(shù)是 2 時，通常省略不寫。如2 a記作，讀作“根號a2 aaa ”， 記作，讀作“正、負根號 a ”。溫

3、馨提示任何數(shù)的平方都不能為負數(shù)，所以負數(shù)沒有平方根?！? 是 25 的平方根”這種說法是正確的，反過來說“25 的平方根是 5”就錯了，因為“正數(shù)有兩個平方根”，所以必須說“25 的平方根是5”。求一個數(shù)的平方根就是把平方后等于這個數(shù)的所有數(shù)都求出來，而判斷一個數(shù)是不是另一個數(shù)的平方根，只要把這個數(shù)平方，看其是否等于另一個數(shù)即可。3. 平方根的性質a（1） 一個正數(shù) a 有兩個平方根，它們互為相反數(shù)，記作。（2） 零的平方根是零。溫馨提示 a 0 時， a 表示 a 的算術平方根， a 表示 a 的平方根。因為負數(shù)沒有平方根，所以被開方數(shù) a 0 。如 x - 3 中隱含著 x - 3 0 ，

4、即 x 3 這一條件。 ( a )2 = a (a 0)，a 2 = a,a 0,- a, a 0) 。求一個帶分數(shù)的立方根時，必須把帶分數(shù)化成假分數(shù)，再求它的立方根。求一個數(shù) a 的立方根的運算叫做開立方。例如：8 的立方根為3 8 = 2 。例 3：求下列各式的值。3 - 1 273（1） -；（2） (3 3)；（3）31027- 53 1 -7 28 ；（4）。3. 立方根與平方根的區(qū)別和聯(lián)系1. 立方根與平方根的不同點：（1） 定義不同：平方根的概念強調“平方”二字，立方根的概念強調“立方”二字，即平方根的逆運算是平方，立方根的逆運算是立方。2（2） 表示方法不同：平方根用“ ”表示

5、，根指數(shù) 2 可以省略，寫成“ ”；立方3根用“”表示，根指數(shù) 3 不能省略，更不能寫成“ ”。3（3） 性質不同：一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；而任何一個數(shù)的立方根卻只有一個，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負數(shù)的立方根是負數(shù)，零的立方根是零。3 aa（4） a 的取值范圍不同：平方根中 a 的取值范圍必須是非負數(shù)，而立方根中a 的取值為任何數(shù)，即正數(shù)、負數(shù)、零均可。2. 立方根與平方根的相同點：（1） 都是求根：平方根與立方根的定義都是建立在乘方概念的基礎上。在指數(shù)式xn = a 中，當 n = 2 時，求 x 的值就是求 a 的平方根；當 n = 3 時，求 x 的值就是求 a 的立方根。

6、這就表明無論是求平方根還是求立方根，都是已知指數(shù)和冪，求底數(shù)。（2） 都與乘方知識有關：不論是求平方根還是求立方根，都屬于開方運算。開方是乘方的逆運算，開平方與平方互為逆運算，開立方與立方互為逆運算。（3） 零的平方根與立方根都是零。掌握方法3 - a（4） 都可以歸結為非負數(shù)的非負方根來研究：平方根主要是通過算術平方根來研究；而負數(shù)的立方根也可以通過= -3 a (a 0)轉化為整數(shù)的立方根來研究。1. 立方根性質的應用方法（1） 正數(shù)、0、負數(shù)都有立方根，且只有一個立方根，一個數(shù)的立方根的符號與這個數(shù)的符號是一致的；（2） 一個數(shù)的立方的立方根、一個數(shù)的立方根的立方都等于其本身；（3） 互

7、為相反數(shù)的立方根仍互為相反數(shù)，互為相反數(shù)的立方仍互為相反數(shù)。3 2a - 1例 1：若= -3 5a + 8 ，求a 2015 的值。2. 利用立方根的概念解方程的方法正數(shù)的立方根是一個正數(shù)；負數(shù)的立方根是一個負數(shù)；0 的立方根是 0。在解方程時， 利用立方根的定義進行開立方，從而求出未知數(shù)的值，在求立方根時，常需轉化為x3 = a 的形式，也常常將(x + a)3 中的 x + a 看作一個整體。例 2：求下列各式中 x 的值：（1） 8x3 + 27 = 0 ；（2） (x - 1)3 = 64 ；（3） 64(x + 1)3 = 27 ；（4） 3(x - 3)3 - 24 = 0 。三

8、方根中小數(shù)點移動規(guī)律的應用在開方運算中，被開方數(shù)的小數(shù)點移動時，其方根的小數(shù)點相應地移動是有規(guī)律的：（1）在開平方運算中，被開方數(shù)的小數(shù)點向左（右）移動兩位時，其平方根的小數(shù)點向左（右）移動一位；（2）在開立方運算中，被開方數(shù)的小數(shù)點向左（右）移動三位時，其立方根的小數(shù)點向左（右）移動一位。例 3：填空：（1） 已知3 216= 6 ，則3 0.2163 2160003 1331000=，=。3 1.331（2） 已知3 1331 = 11，則=，=。實數(shù)夯實基礎實數(shù)1. 無理數(shù)溫馨提示無限小數(shù)包括無限循環(huán)小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)，而無理數(shù)是指無限不循環(huán)小數(shù)。常遇到的無理數(shù)有三類：開放開不盡的數(shù)的

9、方根，如 3 ， - 3 5 等；特定結構的數(shù)，如0.303 003 0003；特定意義的數(shù)，如p。許多帶根號的數(shù)是無理數(shù)，如 5 、 7 等，但帶根號并不是無理數(shù)的本質特征，因為像4 ， 9 ， 3 8 ， 3等都是有理數(shù)。271有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可以化為分數(shù)，所以都是有理數(shù)；而無限不循環(huán)小數(shù)不能化為分數(shù)，是無理數(shù)。無理數(shù)與有理數(shù)的和、差一定是無理數(shù)。無理數(shù)乘或除以一個不為 0 的有理數(shù)，結果一定是無理數(shù)。無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。2. 實數(shù)及其分類有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。1. 按定義分類正整數(shù)有理數(shù)整數(shù) 零負整數(shù)實數(shù)分數(shù)正分數(shù)負分數(shù)正無理數(shù)無理數(shù)負無理數(shù)2. 按性質分類正整數(shù)正有理

10、數(shù)正實數(shù)正分數(shù)實數(shù)零正無理數(shù)負整數(shù)負有理數(shù)負實數(shù)負分數(shù)負無理數(shù)例 1：把下列各數(shù)填入相應的集合內： p3 3 4- 0.55 ， 3 - 8 ， ， 0 ， -26 ， -， - 4.85 ， - 9 ，310.232232223l （每兩個3 之間依次多1個2 ）， - 6.54321 ， 5 。7整數(shù)集合；正無理數(shù)集合；負分數(shù)集合；負實數(shù)集合。3. 實數(shù)的性質（1） 實數(shù)的相反數(shù)實數(shù)的相反數(shù)的意義和有理數(shù)的相反數(shù)的意義是一樣的。只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，即實數(shù) a 的相反數(shù)是- a 。實數(shù) a 與b 互為相反數(shù)，則 a + b = 0 ，反之也成立。（2） 實數(shù)的絕對值實數(shù)的絕對值和

11、有理數(shù)的絕對值的意義相同，一個正實數(shù)的絕對值等于它本身；一個負實數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)；0 的絕對值是 0。a(a 0),一個實數(shù) a 的絕對值： a =（3） 實數(shù)的倒數(shù)( = 0),0 a- a(a 0).1實數(shù)的倒數(shù)和有理數(shù)的倒數(shù)一樣，如果 a 表示一個非零的實數(shù)，那么 a 與 互為倒數(shù)。a實數(shù) a 與b 互為倒數(shù)，則 ab = 1，反之也成立。（4） 實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的關系，數(shù)軸上每一個點都表示一個實數(shù)；反過來，每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示。在數(shù)軸上，右邊點對應的實數(shù)比左邊點對應的實數(shù)大；正實數(shù)大于一切負實數(shù)，0 大于一切負實數(shù)，正實數(shù)都大于 0。任意兩個實數(shù)間都

12、有無數(shù)個有理數(shù)和無理數(shù)。（5） 實數(shù)和有理數(shù)一樣，可進行加、減、乘、除、乘方、開方運算；有理數(shù)范圍內的運算律、運算法則在實數(shù)范圍內仍適用。交換律： a + b = b + a ， ab = ba ；結合律： (a + b)+ c = a + (b + c)， (ab)c = a(bc)； 分配律： a(b + c)= ab + ac 。例 2：求下列各數(shù)的相反數(shù)和絕對值。p723 9（1）；（2） -；（3）；（4）1 -。2掌握方法1. 無理數(shù)的識別方法判斷一個數(shù)是不是無理數(shù)，關鍵就看它能不能寫成無限不循環(huán)小數(shù)的形式，而把無理數(shù)寫成無限不循環(huán)小數(shù)的形式不但很麻煩，而且還是我們利用現(xiàn)有知識無法

13、解決的難題。初中常見的無理數(shù)有三種類型：（1）開方開不盡的數(shù)的方根，但切不可認為帶根號的數(shù)都是無理數(shù)；（2）化簡后含p；（3）不循環(huán)的無限小數(shù)。掌握常見無理數(shù)的類型有助于識別無理數(shù)。例 1：把下列各數(shù)分別填入相應的括號內。160 ，1.5789 ， 0.3 ， - 0.202002000200002l33p2. 無理數(shù)的估計方法， -， 。372對于無理數(shù)的估算問題，要理解算術平方根、立方根的意義。求一個數(shù)的算術平方根與哪個整數(shù)最接近，就要看被開方數(shù)的值在哪兩個相鄰正整數(shù)的平方之間，與被開方數(shù)的差值較小的那個正整數(shù)的算術平方根即為與其最接近的整數(shù)。求一個數(shù)的立方根與哪個整數(shù)最接近，方法和求一個

14、數(shù)的算術平方根與哪個整數(shù)最接近相同，只要確定被開方數(shù)的值在哪兩個相鄰整數(shù)的立方之間，再確定和被開方數(shù)差值最小的那個整數(shù)的立方根即可。40例 2：若 m =- 4 ，則 m 的值所在范圍是（）a.1 m 2b. 2 m 3c. 3 m 4d. 4 m b 2 a b 。例 4：比較下面幾組數(shù)的大?。?03（1） 3 與；（2） - 1.732 與-；（3）1.5 與 5 + 1 ；（4）2110-,- 1 ,- 1p35. 非負數(shù)的性質的應用方法（1） 在實數(shù)范圍內，正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)。常見的非負數(shù)：任意實數(shù) a 的絕對值是非負數(shù)，即 a 0 ；任意實數(shù) a 的平方（偶次方）是非負數(shù)，即 a

15、2 0 （ a 2n 0 ， n 為正整數(shù)）；a任意非負數(shù) a 的算術平方根是非負數(shù)，即 0 。（2） 非負數(shù)的性質：若兩個非負數(shù)的和為 0，那么這兩個數(shù)一定都為 0，常見一下幾種形式：若 a 2 + b2 = 0 ， 則a = 0b = 0a = 0；反之亦然。若 a + b = 0 ，則b = 0；反之亦然。若ba+ = 0 ， a = 0 ；反之亦然?？赏茝V為 n 個非負數(shù)之和為 0，則這 n 個非負數(shù)一定b = 0都為 0。非負數(shù)有最小值，最小值是 0。有限個非負數(shù)之和仍然是非負數(shù)。例 5：若a, b 為實數(shù)，且a + 1 += 0 ，則(ab)2015 的值是（）b -1a.0b.1

16、c.-1d.16. 無理數(shù)的小數(shù)部分的確定方法確定一個非完全平方數(shù)的算術平方根的小數(shù)部分的方法：把這個無理數(shù)夾在相鄰的兩個整數(shù)之間，則較小的整數(shù)就是這個數(shù)的整數(shù)部分，用這個數(shù)減去整數(shù)部分就得到它的小數(shù)部分。13例 6：已知a, b 分別是6 -的整數(shù)部分與小數(shù)部分，則 2a - b = ?！啊薄啊盿t the end, xiao bian gives you a passage. minand once said, people who learn to learn are very happy people. in every wonderful life, learning is an eternal theme. as a professional clerical and teaching position, i understand the importance of continuous learning, life is diligent, nothing can be gained, only continuous learning can achieve better self. only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can e