經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)——概率統(tǒng)計課后習題答案 Microsoft W

1、目錄習題一（1）習題二（16）習題三（44）習題四（73）習題五（97）習題六（113）習題七（133）習題一1.寫出下列事件的樣本空間：(1) 把一枚硬幣拋擲一次；(2) 把一枚硬幣連續(xù)拋擲兩次；(3) 擲一枚硬幣，直到首次出現(xiàn)正面為止；(4) 一個庫房在某一個時刻的庫存量(假定最大容量為M).解(1) =正面，反面正，反(2) =(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)(3) =(正)，(反，正)，(反，反，正)，(4) =x；0 x m2.擲一顆骰子的試驗，觀察其出現(xiàn)的點數(shù)，事件A“偶數(shù)點”，B“奇數(shù)點”，C“點數(shù)小于5”，D“小于5的偶數(shù)點”，討論上述各事件間的關(guān)系.解A與B為對

2、立事件，即B；B與D互不相容；AD，CD.3. 事件Ai表示某個生產(chǎn)單位第i車間完成生產(chǎn)任務(wù)，i1，2，3，B表示至少有兩個車間完成生產(chǎn)任務(wù)，C表示最多只有兩個車間完成生產(chǎn)任務(wù)，說明事件及BC的含義，并且用Ai(i1，2，3)表示出來.解表示最多有一個車間完成生產(chǎn)任務(wù)，即至少有兩個車間沒有完成生產(chǎn)任務(wù). BC表示三個車間都完成生產(chǎn)任務(wù) 圖114. 如圖11，事件A、B、C都相容，即ABC，把事件AB，ABC，ACB，CAB用一些互不相容事件的和表示出來.解 5.兩個事件互不相容與兩個事件對立的區(qū)別何在，舉例說明.解兩個對立的事件一定互不相容，它們不可能同時發(fā)生，也不可能同時不發(fā)生；兩個互不相容

3、的事件不一定是對立事件，它們只是不可能同時發(fā)生，但不一定同時不發(fā)生. 在本書第6頁例2中A與D是對立事件，C與D是互不相容事件.6.三個事件A、B、C的積是不可能事件，即ABC，問這三個事件是否一定互不相容?畫圖說明.解不一定. A、B、C三個事件互不相容是指它們中任何兩個事件均互不相容，即兩兩互不相容.如圖12，事件ABC，但是A與B相容.圖127. 事件A與B相容，記CAB，DA+B，F(xiàn)AB. 說明事件A、C、D、F的關(guān)系.解 由于ABAA+B，ABAA+B，AB與AB互不相容，且AAB(AB). 因此有AC+F，C與F互不相容，DAF，AC.8. 袋內(nèi)裝有5個白球，3個黑球，從中一次任取

4、兩個，求取到的兩個球顏色不同的概率.解記事件A表示“取到的兩個球顏色不同”. 則有利于事件A的樣本點數(shù)目A.而組成試驗的樣本點總數(shù)為，由古典概率公式有P(A)(其中A，分別表示有利于A的樣本點數(shù)目與樣本空間的樣本點總數(shù)，余下同)9. 計算上題中取到的兩個球中有黑球的概率.解設(shè)事件B表示“取到的兩個球中有黑球”則有利于事件的樣本點數(shù)為.10. 拋擲一枚硬幣，連續(xù)3次，求既有正面又有反面出現(xiàn)的概率.解設(shè)事件A表示“三次中既有正面又有反面出現(xiàn)”, 則表示三次均為正面或三次均為反面出現(xiàn). 而拋擲三次硬幣共有8種不同的等可能結(jié)果，即8，因此 11. 10把鑰匙中有3把能打開一個門鎖，今任取兩把，求能打開

5、門鎖的概率.解設(shè)事件A表示“門鎖能被打開”. 則事件發(fā)生就是取的兩把鑰匙都不能打開門鎖.從9題11題解中可以看到，有些時候計算所求事件的對立事件概率比較方便.12. 一副撲克牌有52張，不放回抽樣，每次一張，連續(xù)抽取4張，計算下列事件的概率：(1)四張花色各異；(2)四張中只有兩種花色.解設(shè)事件A表示“四張花色各異”；B表示“四張中只有兩種花色”.13. 口袋內(nèi)裝有2個伍分、3個貳分，5個壹分的硬幣共10枚，從中任取5枚，求總值超過壹角的概率.解設(shè)事件A表示“取出的5枚硬幣總值超過壹角”.14. 袋中有紅、黃、黑色球各一個，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：A“三次都是紅球”

6、“全紅”，B“全白”，C“全黑”，D“無紅”，E“無白”，F(xiàn)“無黑”，G“三次顏色全相同”，H“顏色全不相同”，I“顏色不全相同”.解3327，ABC1，DEF238，GABC3，H3！6，IG2415. 一間宿舍內(nèi)住有6位同學，求他們中有4個人的生日在同一個月份的概率.解設(shè)事件A表示“有4個人的生日在同一個月份”.126，A16. 事件A與B互不相容，計算P.解由于A與B互不相容，有AB，P(AB)017. 設(shè)事件BA，求證P(B)P(A）.證BAP(B-A)P(B) - P(A)P(B-A)0P(B)P(A)18. 已知P(A)a，P(B)b，ab0 (b0.3a)，P(AB)0.7a，求

7、P(B+A)，P(B-A)，P().解由于AB與AB互不相容，且A(A-B)AB，因此有P(AB)P(A)-P(A-B)0.3aP(AB)P(A)P(B)P(AB)0.7abP(B-A)P(B)-P(AB)b-0.3aP()1-P(AB)1-0.3a19. 50個產(chǎn)品中有46個合格品與4個廢品，從中一次抽取三個，計算取到廢品的概率.解設(shè)事件A表示“取到廢品”，則表示沒有取到廢品，有利于事件的樣本點數(shù)目為，因此P(A)1-P()1-0.225520. 已知事件BA，P(A)lnb 0，P(B)lna，求a的取值范圍.解因BA，故P(B)P(A)，即lnalnb,ab，又因P(A)0，P(B)1，

8、可得b1，ae，綜上分析a的取值范圍是：1bae21. 設(shè)事件A與B的概率都大于0，比較概率P(A)，P(AB)，P(A+B)，P(A)+P(B)的大小(用不等號把它們連接起來).解由于對任何事件A，B，均有ABAA+B且P(A+B)P(A)P(B)-P(AB)，P(AB)0，因此有P(AB)P(A)P(A+B)P(A)P(B)22. 一個教室中有100名學生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(設(shè)一年以365天計算).解設(shè)事件A表示“100名學生的生日都不在元旦”，則有利于A的樣本點數(shù)目為A364100，而樣本空間中樣本點總數(shù)為365100，所求概率為 = 0.239923. 從5副不同手

9、套中任取4只手套，求其中至少有兩只手套配成一副的概率.解設(shè)事件A表示“取出的四只手套至少有兩只配成一副”，則表示“四只手套中任何兩只均不能配成一副”.24. 某單位有92的職工訂閱報紙，93的人訂閱雜志，在不訂閱報紙的人中仍有85的職工訂閱雜志，從單位中任找一名職工求下列事件的概率：(1)該職工至少訂閱一種報紙或期刊；(2)該職工不訂閱雜志，但是訂閱報紙.解設(shè)事件A表示“任找的一名職工訂閱報紙”，B表示“訂閱雜志”，依題意P(A)0.92，P(B)0.93，P(B)0.85P(AB)P(A)P(B)P(A)P()P(B)0.920.080.850.988P(A)P(AB)-P(B)0.9880

10、.930.05825. 分析學生們的數(shù)學與外語兩科考試成績，抽查一名學生，記事件A表示數(shù)學成績優(yōu)秀，B表示外語成績優(yōu)秀，若P(A)P(B)0.4，P(AB)0.28，求P(AB)，P(BA)，P(AB).解P(AB)P(BA)P(AB)P(A)P(B)-P(AB)0.5226. 設(shè)A、B是兩個隨機事件. 0P(A)1，0P(B)1，P(AB)P()1. 求證P(AB)P(A)P(B).證 P ( A)P ()1且P ( AB )P()1P ( AB )P (A)P(AB)1-P(B)P( B)P( A)-P( AB)整理可得P(AB)P( A) P( B)27. 設(shè)A與B獨立，P( A)0.4

11、，P( AB)0.7，求概率P (B).解P( AB)P(A)P(B)P( A)P() P( B)0.70.40.6P( B )P( B )0.528. 設(shè)事件A與B的概率都大于0，如果A與B獨立，問它們是否互不相容，為什么?解因P ( A )，P ( B )均大于0，又因A與B獨立，因此P ( AB )P ( A ) P ( B )0，故A與B不可能互不相容.29. 某種電子元件的壽命在1000小時以上的概率為0.8，求3個這種元件使用1000小時后，最多只壞了一個的概率.解設(shè)事件Ai表示“使用1000小時后第i個元件沒有壞”，i1，2，3，顯然A1，A2，A3相互獨立，事件A表示“三個元件

12、中最多只壞了一個”，則AA1A2A3A2A3A1A3A1A2，上面等式右邊是四個兩兩互不相容事件的和，且P(A1)P(A2)P(A3)0.8P( A)0.8330.820.20.89630. 加工某種零件，需經(jīng)過三道工序，假定第一、二、三道工序的廢品率分別為0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出現(xiàn)廢品與其他各道工序無關(guān)，求零件的合格率.解設(shè)事件A表示“任取一個零件為合格品”，依題意A表示三道工序都合格.P(A)(10.3)(10.2)(10.2)0.44831. 某單位電話總機的占線率為0.4，其中某車間分機的占線率為0.3，假定二者獨立，現(xiàn)在從外部打電話給該車間，求一次能打通的概率；

13、第二次才能打通的概率以及第m次才能打通的概率(m為任何正整數(shù)).解設(shè)事件Ai表示“第i次能打通”，i1，2，m，則P(A1)(10.4)(10.3)0.42P(A2)0.58 0.420.2436P(Am)0.58m1 0.4232. 一間宿舍中有4位同學的眼鏡都放在書架上，去上課時，每人任取一副眼鏡，求每個人都沒有拿到自己眼鏡的概率.解設(shè)Ai表示“第i人拿到自己眼鏡”，i1,2,3,4. P ( Ai )，設(shè)事件B表示“每個人都沒有拿到自己的眼鏡”. 顯然則表示“至少有一人拿到自己的眼鏡”. 且A1A2A3A4.P()P(A1A2A3A4)P(AiAj)P(Ai)P(AjAi)=P(AiAj

14、Ak)=P(Ai)P(AjAi)P(AkAiAj)=（1ijk4）P(A1A2A3A4) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(A4A1A2A3)=33. 在1，2，3000這3000個數(shù)中任取一個數(shù)，設(shè)Am“該數(shù)可以被m整除”，m2，3，求概率P(A2A3)，P(A2A3)，P(A2A3).解依題意P(A2)，P(A3)P(A2A3)P(A6)P(A2A3)P(A2)P(A3)P(A2A3)P(A2A3)P(A2)P(A2A3)34. 甲、乙、丙三人進行投籃練習，每人一次，如果他們的命中率分別為0.8，0.7，0.6，計算下列事件的概率：(1)只有一人投中；(2)最多有一人投中

15、；(3)最少有一人投中.解設(shè)事件A、B、C分別表示“甲投中”、“乙投中”、“丙投中”，顯然A、B、C相互獨立.設(shè)Ai表示“三人中有i人投中”，i0,1,2,3,依題意， 0.20.30.40.024P ( A3 )=P ( ABC )=P ( A ) P ( B ) P ( C ) =0.80.70.60.336P(A2)=P(AB)P(AC)P(BC)=0.80.70.40.80.30.60.20.70.60.452(1) P(A1)1P(A0)P(A2)P(A3)10.0240.4520.3360.188(2) P(A0A1)P(A0)P(A1)0.0240.1880.212(3) P(A

16、BC)P()1P (A0)0.97635. 甲、乙二人輪流投籃，甲先開始，假定他們的命中率分別為0.4及0.5，問誰先投中的概率較大，為什么?解設(shè)事件A2n-1B2n分別表示“甲在第2n1次投中”與“乙在第2n次投中”，顯然A1，B2，A3，B4，相互獨立.設(shè)事件A表示“甲先投中”. 計算得知P(A)0.5，P()0.5，因此甲先投中的概率較大.36. 某高校新生中，北京考生占30，京外其他各地考生占70，已知在北京學生中，以英語為第一外語的占80，而京外學生以英語為第一外語的占95，今從全校新生中任選一名學生，求該生以英語為第一外語的概率.解設(shè)事件A表示“任選一名學生為北京考生”，B表示“任

17、選一名學生，以英語為第一外語”. 依題意P(A)0.3，P()0.7，P(BA)0.8，P(B)0.95. 由全概率公式有P(B)P(A)P(BA)P()P(B)0.30.80.70.950.90537. A地為甲種疾病多發(fā)區(qū)，該地共有南、北、中三個行政小區(qū)，其人口比為9 : 7 : 4，據(jù)統(tǒng)計資料，甲種疾病在該地三個小區(qū)內(nèi)的發(fā)病率依次為4，2，5，求A地的甲種疾病的發(fā)病率.解設(shè)事件A1，A2，A3分別表示從A地任選一名居民其為南、北、中行政小區(qū)，易見A1，A2，A3兩兩互不相容，其和為.設(shè)事件B表示“任選一名居民其患有甲種疾病”，依題意：P(A1)0.45，P(A2)0.35，P(A3)0.

18、2，P(BA1)0.004，P(BA2)0.002，P(BA3)0.005 0.45 0.004 + 0.35 0.002 + 0.2 0.0050.003538. 一個機床有三分之一的時間加工零件A，其余時間加工零件B，加工零件A時，停機的概率為0.3，加工零件B時停機的概率為0.4，求這個機床停機的概率.解設(shè)事件A表示“機床加工零件A”，則表示“機床加工零件B”，設(shè)事件B表示“機床停工”. 39. 有編號為、的3個口袋，其中號袋內(nèi)裝有兩個1號球，1個2號球與1個3號球，號袋內(nèi)裝有兩個1號球和1個3號球，號袋內(nèi)裝有3個1號球與兩個2號球，現(xiàn)在先從號袋內(nèi)隨機地抽取一個球，放入與球上號數(shù)相同的口

19、袋中，第二次從該口袋中任取一個球，計算第二次取到幾號球的概率最大，為什么?解設(shè)事件Ai表示“第一次取到i號球”，Bi表示第二次取到i號球，i1，2，3.依題意，A1，A2，A3構(gòu)成一個完全事件組.應(yīng)用全概率公式可以依次計算出. 因此第二次取到1號球的概率最大.40. 接37題，用一種檢驗方法，其效果是：對甲種疾病的漏查率為5(即一個甲種疾病患者，經(jīng)此檢驗法未查出的概率為5)；對無甲種疾病的人用此檢驗法誤診為甲種疾病患者的概率為1，在一次健康普查中，某人經(jīng)此檢驗法查為患有甲種疾病，計算該人確實患有此病的概率.解設(shè)事件A表示“受檢人患有甲種疾病”，B表示“受檢人被查有甲種疾病”，由37題計算可知P

20、(A)0.0035，應(yīng)用貝葉斯公式 41. 甲、乙、丙三個機床加工一批同一種零件，其各機床加工的零件數(shù)量之比為5 : 3 : 2，各機床所加工的零件合格率，依次為94，90，95，現(xiàn)在從加工好的整批零件中檢查出一個廢品，判斷它不是甲機床加工的概率.解設(shè)事件A1，A2，A3分別表示“受檢零件為甲機床加工”，“乙機床加工”，“丙機床加工”，B表示“廢品”，應(yīng)用貝葉斯公式有42. 某人外出可以乘坐飛機、火車、輪船、汽車4種交通工具，其概率分別為5，15，30，50，乘坐這幾種交通工具能如期到達的概率依次為100，70，60與90，已知該旅行者誤期到達，求他是乘坐火車的概率.解設(shè)事件A1，A2，A3，

21、A4分別表示外出人“乘坐飛機”，“乘坐火車”，“乘坐輪船”，“乘坐汽車”，B表示“外出人如期到達”. =0.20943. 接39題，若第二次取到的是1號球，計算它恰好取自號袋的概率.解39題計算知P(B1)，應(yīng)用貝葉斯公式44. 一箱產(chǎn)品100件，其次品個數(shù)從0到2是等可能的，開箱檢驗時，從中隨機地抽取10件，如果發(fā)現(xiàn)有次品，則認為該箱產(chǎn)品不合要求而拒收，若已知該箱產(chǎn)品已通過驗收，求其中確實沒有次品的概率.解設(shè)事件Ai表示一箱中有i件次品，i0, 1, 2. B表示“抽取的10件中無次品”，先計算P ( B )45. 設(shè)一條昆蟲生產(chǎn)n個卵的概率為 n=0, 1, 2, 其中0，又設(shè)一個蟲卵能孵

22、化為昆蟲的概率等于p(0p1). 如果卵的孵化是相互獨立的，問此蟲的下一代有k條蟲的概率是多少?解設(shè)事件An“一個蟲產(chǎn)下幾個卵”，n0，1，2.BR“該蟲下一代有k條蟲”，k0，1，.依題意其中q=1p. 應(yīng)用全概率公式有 由于，所以有習題二1. 已知隨機變量X服從01分布，并且PX00.2，求X的概率分布.解X只取0與1兩個值，PX0PX0PX00.2，PX11PX00.8.2. 一箱產(chǎn)品20件，其中有5件優(yōu)質(zhì)品，不放回地抽取，每次一件，共抽取兩次，求取到的優(yōu)質(zhì)品件數(shù)X的概率分布.解X可以取0, 1, 2三個值. 由古典概型公式可知依次計算得X的概率分布如下表所示：X012P3. 上題中若采

23、用重復抽取，其他條件不變，設(shè)抽取的兩件產(chǎn)品中，優(yōu)質(zhì)品為X件，求隨機變量X的概率分布.解X的取值仍是0, 1, 2.每次抽取一件取到優(yōu)質(zhì)品的概率是1/4，取到非優(yōu)質(zhì)品的概率是3/4,且各次抽取結(jié)果互不影響，應(yīng)用伯努利公式有4. 第2題中若改為重復抽取，每次一件，直到取得優(yōu)質(zhì)品為止，求抽取次數(shù)X的概率分布.解X可以取1, 2, 可列個值. 且事件X = n表示抽取n次，前n1次均未取到優(yōu)質(zhì)品且第n次取到優(yōu)質(zhì)品，其概率為. 因此X的概率分布為5. 盒內(nèi)有12個乒乓球，其中9個是新球，3個為舊球，采取不放回抽取，每次一個直到取得新球為止，求下列隨機變量的概率分布.(1)抽取次數(shù)X；(2)取到的舊球個數(shù)

24、Y.解(1)X可以取1,2,3,4各值.(2) Y可以取0, 1, 2, 3各值 .6. 上題盒中球的組成不變，若一次取出3個，求取到的新球數(shù)目X的概率分布.解X可以取0, 1, 2, 3各值.7. 已知PXnpn，n1, 2, 3, , 求p的值.解根據(jù),有解上面關(guān)于p的方程，得p0.5.8. 已知PXn=pn， n2, 4, 6, ，求p的值.解解方程，得p=/29. 已知PXn=cn, n=1, 2, , 100, 求c的值.解解得 c1/5050 .10. 如果pncn2，n=1, 2, , 問它是否能成為一個離散型概率分布，為什么?解 由于級數(shù)收斂, 若記=a,只要取, 則有=1,

25、且pn0. 所以它可以是一個離散型概率分布.11. 隨機變量X只取1, 2, 3共三個值，其取各個值的概率均大于零且不相等并又組成等差數(shù)列，求X的概率分布.解設(shè)PX2a，PX1ad, PX=3=a+d. 由概率函數(shù)的和為1，可知a=, 但是ad與a+d均需大于零, 因此d, X的概率分布為X123Pd+d其中d應(yīng)滿足條件：0d12. 已知,m =1, 2, , 且0, 求常數(shù)c.解由于, 所以有解得 13. 甲、乙二人輪流投籃，甲先開始，直到有一人投中為止，假定甲、乙二人投籃的命中率分別為0.4及0.5，求：(1)二人投籃總次數(shù)Z的概率分布；(2)甲投籃次數(shù)X的概率分布；(3)乙投籃次數(shù)Y的概

26、率分布.解設(shè)事件Ai表示在第i次投籃中甲投中，j表示在第j次投籃中乙投中，i=1, 3, 5, , j=2, 4, 6,且A1, B2, A3, B4，相互獨立.(1) (0.60.5)0.4= 0.4(0.3) k=1, 2, 0.50.6(0.60.5)=0.3k k=1, 2, (2) (3) 14. 一條公共汽車路線的兩個站之間，有四個路口處設(shè)有信號燈，假定汽車經(jīng)過每個路口時遇到綠燈可順利通過，其概率為0.6，遇到紅燈或黃燈則停止前進，其概率為0.4，求汽車開出站后，在第一次停車之前已通過的路口信號燈數(shù)目X的概率分布(不計其他因素停車).解X可以取0,1,2,3,4.PX00.4PX1

27、0.60.40.24PX20.620.40.144PX30.630.40.0864PX40.640.129615.問f(x)是否為一個概率密度函數(shù)，為什么?如果(1)解 在0,與0,上，sinx0,但是而在上,sinx0.因此只有(1)中的a,b可以使f (x)是一個概率密度函數(shù).16.其中c0，問f(x)是否為密度函數(shù)，為什么?解易見對任何x(,),f(x)0，又f(x)是一個密度函數(shù).17.問f(x)是否為密度函數(shù)，若是，確定a的值；若不是，說明理由.解如果f(x)是密度函數(shù)，則f(x)0，因此a0，但是，當a0時，由于不是1，因此f(x)不是密度函數(shù).18. 設(shè)隨機變量Xf(x)確定常數(shù)

28、a的值，如果Paxb0.5，求b的值.解解方程=1得a= 0解關(guān)于b的方程：arctanb=0.5得b=1.19. 某種電子元件的壽命X是隨機變量，概率密度為3個這種元件串聯(lián)在一個線路中，計算這3個元件使用了150小時后仍能使線路正常工作的概率.解串聯(lián)線路正常工作的充分必要條件是3個元件都能正常工作. 而三個元件的壽命是三個相互獨立同分布的隨機變量，因此若用事件A表示“線路正常工作”，則20. 設(shè)隨機變量Xf(x)，f(x)Ae|x|，確定系數(shù)A；計算P|X|1.解解得A21. 設(shè)隨機變量Y服從0,5上的均勻分布，求關(guān)于x的二次方程4x24xY+Y+2=0有實數(shù)根的概率.解4x2+4xY+Y+

29、2=0. 有實根的充分必要條件是b24ac=16Y216(Y+2)=16Y216Y320設(shè)事件P(A)為所求概率.則 =0.622. 設(shè)隨機變量Xf(x)，確定常數(shù)c，計算解c=23. 設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)F(x)為確定系數(shù)A，計算，求概率密度f(x).解連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(1)F(10)，有A1.24. 求第20題中X的分布函數(shù)F(x).解當t0時，當t0時，25. 函數(shù)(1+x2)1可否為連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)，為什么?解不能是分布函數(shù)，因F()10.26. 隨機變量Xf(x)，并且,確定a的值；求分布函數(shù)F(x)；計算.解因此a=1 27. 隨機變量X的分布函數(shù)

30、F(x)為：確定常數(shù)A的值，計算.解由F(20)F(2)，可得0.7528. 隨機變量Xf(x)，f(x)確定A的值；求分布函數(shù)F(x).解因此A，29. 隨機變量Xf(x)，其他確定a的值并求分布函數(shù)F(x).解因此，a=當0x時，30. 隨機變量X的分布函數(shù)為求X的概率密度并計算.解當x0時，X的概率密度f(x)0；當x0時，f(x)F(x) 31. 隨機變量X服從參數(shù)為0.7的01分布，求X2，X22X的概率分布.解X2仍服從01分布，且PX20PX00.3，PX21PX10.7X22X的取值為1與0,PX22X0PX00.3PX22X11PX00.732. 已知PX10nPX10-nY

31、=lgX，求Y的概率分布.解Y的取值為1,2,PY=n=PlgX=n=PX=10n=PY=n=PlgX=n=Px=10-nn1,2,33. X服從a , b上的均勻分布，Y=ax+b (a0)，求證Y也服從均勻分布.證設(shè)Y的概率密度為fY(y)，X的概率密度為fX(x)，只要a0，y=ax+b 都是x的單調(diào)函數(shù). 當a0時，Y的取值為a2+b , ab+b,當時，fY(y)=0.類似地，若a0，則Y的取值為ab+b,a2+b因此，無論a0還是a0，ax+b均服從均勻分布.34. 隨機變量X服從0,上的均勻分布Y=cosX,求Y的概率密度fY(y).解y=cosx在0, 上單調(diào)，在(0,1)上，

32、h(y)=x=arccosyh(y)=, fx(x)=, 0x.因此35. 隨機變量X服從(0,1)上的均勻分布，Y=ex,Z=lnX，分別求隨機變量Y與Z的概率密度fY(y)及fZ(z).解y=ex在(0,1)內(nèi)單調(diào),x=lny可導，且xy=,fX(x)=10x1,因此有在(0,1)內(nèi)lnx0lnx=-lnx單調(diào)，且x=e，xze，因此有36. 隨機變量Xf(x)，Y=,Z=X2,分別計算隨機變量Y與Z的概率密度fy(y)與fZ(z).解當x0時，y=單調(diào)，其反函數(shù)為x=y2,xy=2y當x0時zx2也是單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù)為x=,xz=37.隨機變量Xf(x)，當x0時,Y=arctanX,

33、Z=,分別計算隨機變量Y與Z的概率密度fY(y)與fz(z).解由于y=arctanx是單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù)x=tany,xy=sec2y在內(nèi)恒不為零，因此，當0y時，即Y服從區(qū)間(0,)上的均勻分布.z=在x0時也是x的單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù)x=,xz=.因此當z0時，即Z=與X同分布.38. 一個質(zhì)點在半徑為R，圓心在原點的圓的上半圓周上隨機游動.求該質(zhì)點橫坐標X的密度函數(shù)fX(x).解如圖，設(shè)質(zhì)點在圓周位置為M，弧的長記為L，顯然L是一個連續(xù)型隨機變量，L服從0，R上的均勻分布.圖2-1M點的橫坐標X也是一個隨機變量，它是弧長L的函數(shù)，且XRcosRcos函數(shù)x=Rcosl/R是l的單調(diào)函數(shù)(

34、0lR),其反函數(shù)為lRarccos當RxR時，Lx0，此時有當xR或xR時，fX(x)0.39. 計算第2,3,5,6,11各題中的隨機變量的期望.解根據(jù)第2題中所求出的X概率分布，有亦可從X服從超幾何分布，直接計算在第3題中亦可從X服從二項分布(2，)，直接用期望公式計算：在第5題中(1) (2) 在第6題中，在第11題中， 40. PX=n=,n=1,2,3,4,5,確定C的值并計算EX.解41. 隨機變量X只取1,0,1三個值，且相應(yīng)概率的比為1 : 2 : 3，計算EX.解設(shè)PX1a，則PX02a, PX13a(a0)，因a+2a+3a=1,故a1/642. 隨機變量X服從參數(shù)為0.

35、8的01分布，通過計算說明EX2是否等于(EX)2?解EXPX10.8，(EX)20.64EX210.80.8(EX)243. 隨機變量Xf(x)，f(x)0.5e-|x|，計算EXn，n為正整數(shù).解當n為奇數(shù)時，是奇函數(shù)，且積分收斂，因此當n為偶數(shù)時， 44. 隨機變量Xf(x)，其他計算EXn(n為正整數(shù)).解45. 隨機變量Xf(x)，其他b,c均大于0，問EX可否等于1，為什么?解而由于方程組無解，因此EX不能等于1.46. 計算第6，40各題中X的方差DX .解在第6題中，從第39題計算知EX，DXEX2(EX)20.46在第40題中，已計算出EX, =DX=EX2-(EX)21.7

36、747. 計算第23，29各題中隨機變量的期望和方差.解在第23題中，由于f(x)（0x1）,因此DX=EX2(EX)2=在第29題中，由于f(x) (0x),因此DXEX2(EX)2=48. 計算第34題中隨機變量Y的期望和方差.解EY=EY2=DY=49. 已知隨機變量X的分布函數(shù)F(x)為：F(x)=計算EX與DX.解依題意，X的密度函數(shù)f(x)為：解EXEX2=DX=50. 已知隨機變量X的期望EX，方差DX2，隨機變量Y=, 求EY和DY.解EY=(EX)0DY= =151. 隨機變量YnB(n,),分別就n=1,2,4,8,列出Yn的概率分布表，并畫出概率函數(shù)圖.解Y101Y201

37、2PPY30123PY401234PY8012345678P6561a17496a20412a13608a5670a1512a252a24aa其中a=1/65536.圖略.52. 設(shè)每次試驗的成功率為0.8，重復試驗4次，失敗次數(shù)記為X，求X的概率分布.解X可以取值0,1, 2, 3, 4 .相應(yīng)概率為P(Xm) (m=0, 1, 2, 3,4)計算結(jié)果列于下表X01234P0.40960.40960.15360.02560.001653. 設(shè)每次投籃的命中率為0.7，求投籃10次恰有3次命中的概率；至少命中3次的概率.解記X為10次投籃中命中的次數(shù)，則 XB(10,0.7). =10.310

38、100.70.39450.720.380.998454擲四顆骰子，求“6點”出現(xiàn)的平均次數(shù)及“6點”出現(xiàn)的最可能（即概率最大）次數(shù)及相應(yīng)概率.解擲四顆骰子，記“6點”出現(xiàn)次數(shù)為X，則XB（4，）.EX=np=由于np+p=，其X的最可能值為np+p=0若計算，顯然概率更小.55已知隨機變量XB（n,p），并且EX=3，DX=2，寫出X的全部可能取值，并計算.解根據(jù)二項分布的期望與方差公式，有解方程，得q=，p=，n=9.X的全部可能取值為0, 1, 2, 3, , 9 .=10.999956隨機變量XB（n，p），EX=0.8，EX2=1.28，問X取什么值的概率最大，其概率值為何?解由于DX

39、=EX2(EX)2=0.64, EX=0.8, 即解得q=0.8，p=0.2，n=4.由于np+p=1，因此X取0與取1的概率最大，其概率值為57隨機變量XB（n,p），Y=eaX，計算隨機變量Y的期望EY和方差DY.解隨機變量Y是X的函數(shù)，由于X是離散型隨機變量，因此Y也是離散型隨機變量，根據(jù)隨機變量函數(shù)的期望公式，有58. 從一副撲克牌（52張）中每次抽取一張，連續(xù)抽取四次，隨機變量X，Y分別表示采用不放回抽樣及有放回抽樣取到的黑花色張數(shù)，分別求X，Y的概率分布以及期望和方差.解X服從超幾何分布，Y服從二項分布B（4，）.具體計算結(jié)果列于下面兩個表中.X01234P46/833208/83

40、3325/833208/83346/833Y01234P1/164/166/164/161/1659. 隨機變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，查表寫出概率并與上題中的概率分布進行比較.01234P0.13530.27070.27070.18040.090260從廢品率是0.001的100000件產(chǎn)品中，一次隨機抽取500件，求廢品率不超過0.01的概率.解 設(shè)500件中廢品件數(shù)為X，它是一個隨機變量且X服從N=100000，=100，n=500的超幾何分布.由于n相對于N較小，因此它可以用二項分布B（500，0.001）近似.又因在二項分布B（500，0.001）中，n=500比較大，而p=0.0

41、01非常小，因此該二項分布又可用泊松分布近似，其分布參數(shù)=np=0.5.61.某種產(chǎn)品每件表面上的疵點數(shù)服從泊松分布，平均每件上有0.8個疵點，若規(guī)定疵點數(shù)不超過1個為一等品，價值10元；疵點數(shù)大于1不多于4為二等品，價值8元；4個以上者為廢品，求：（1）產(chǎn)品的廢品率；（2）產(chǎn)品價值的平均值解 設(shè)X為一件產(chǎn)品表面上的疵點數(shù)目，（1）（2）設(shè)一件產(chǎn)品的產(chǎn)值為Y元，它可以取值為0，8，10.62設(shè)書籍中每頁的印刷錯誤服從泊松分布，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)在某本書上，有一個印刷錯誤的頁數(shù)與有2個印刷錯誤的頁數(shù)相同，求任意檢驗4頁，每頁上都沒有印刷錯誤的概率.解 設(shè)一頁書上印刷錯誤為X，4頁中沒有印刷錯誤的頁數(shù)為Y

42、，依題意，即 解得=2，即X服從=2的泊松分布.顯然YB63每個糧倉內(nèi)老鼠數(shù)目服從泊松分布，若已知一個糧倉內(nèi)，有一只老鼠的概率為有兩只老鼠概率的兩倍，求糧倉內(nèi)無鼠的概率.解 設(shè)X為糧倉內(nèi)老鼠數(shù)目，依題意解得=1.64上題中條件不變，求10個糧倉中有老鼠的糧倉不超過兩個的概率.解 接上題，設(shè)10個糧倉中有老鼠的糧倉數(shù)目為Y，則YB（10，p），其中 65設(shè)隨機變量X服從上的均勻分布，計算E(2X)，D（2X），.解 EX=2.5，DX=E(2X)=5，D(2X)=4DX=，66隨機變量X服從標準正態(tài)分布，求概率P.解 67隨機變量X服從標準正態(tài)分布，確定下列各概率等式中的a的數(shù)值：（1）；（2）

43、（3）（4） 解（1），查表得a=1.28（2），得（a）=0.95，查表得a=1.64（3），查表得a =2（4），得 (a)= 0.55，查表得a = 0.1368. 隨機變量X服從正態(tài)分布，求概率,.解 P=0.682669隨機變量X服從正態(tài)分布，若,，計算和的值，求.解 查表得： 解以和為未知量的方程組，得 =5.08，=2.=0.322870已知隨機變量，確定c和d的值.解 = ，查表得 查表得 71假定隨機變量X服從正態(tài)分布，確定下列各概率等式中a的數(shù)值：（1）（2）（3）解 =2(a) -1（1）2 (a)-1=0.9， (a)=0.95，a=1.64；（2）2 (a)-1=0.

44、95， (a)=0.975,a=1.96；（3）2 (a)-1=0.99， (a)=0.995，a=2.58.72某科統(tǒng)考的考試成績X近似服從正態(tài)分布, 第100名的成績?yōu)?0分，問第20名的成績約為多少分?解 設(shè)參加統(tǒng)考人數(shù)為n，則=0.8413，n=設(shè)第20名成績約為a分，則查表得 a=79.6因此第20名的成績約為80分.習 題 三1袋內(nèi)有四張卡片，分別寫有數(shù)字1，2，3，4，每次從中任取一張，不放回地抽取兩次，記X、Y分別表示兩次取到的卡片上數(shù)字的最小值與最大值，求（X，Y）的概率分布.解 （X，Y）可以取值為（1，2），（1，3），(3，4).事件是兩個互不相容事件“第一次取到數(shù)字1

45、且第二次取到數(shù)字2”與“第一次取到數(shù)字2且第二次取到數(shù)字1”的和，其概率為1/6，類似地可以計算出其他pij的值（見下表）.X Y234pi.120300p.j2求上題中隨機變量X與Y的邊緣分布.并計算期望EX，EY與方差DX，DY.解 在（X，Y）的聯(lián)合分布表中，將每一行對各列求和，得到X的邊緣分布pi.（i=1，2，3）.類似地，可以得到關(guān)于Y的邊緣分布，其具體結(jié)果見上題聯(lián)合分布表.EX=3一個袋內(nèi)有10個球，其中有紅球4個，白球5個，黑球1個，不放回地抽取兩次，每次一個，記X表示兩次中取到的紅球數(shù)目，Y表示取到的白球數(shù)目，求隨機向量（X，Y）的概率分布及X、Y的邊緣概率分布.解 顯然（X

46、，Y）的全部取值為（0，1），（0，2），（2，0）.類似地可以計算出其他pij的值（見下表）：XY01200102004上題中試驗條件不變，若記i=1，2，求隨機向量的概率分布，計算兩次取到的球顏色相同的概率.解 易見的全部可能取值為（0，0），（0，1），（2，1）. 應(yīng)用乘法公式不難計算出pij的全部值（見下表）：X2X101201205第3題中袋內(nèi)球的組成及抽取次數(shù)不變，但是改為有放回抽取，求第4題中定義的隨機向量的概率分布.解的取值為(0，0)，(0，1)， (2，2)且，因此，的聯(lián)合概率分布為下表所示：X2X101200.160.20 0.0410.200.250.0520.040.050.016將3個球隨機地放入四個盒子，記表示第i個盒子內(nèi)球的個數(shù)，i=1，2，求隨機變量與的聯(lián)合概率分布及關(guān)于的邊緣分布.解