2018屆廣州市天河高考一輪不等式證明復(fù)習(xí)檢測(cè)試題含答案

1、不等式證明例1:設(shè)a b . 0，求證：a bb aa b a b .分析：發(fā)現(xiàn)作差后變形、判斷符號(hào)較為困難?？紤]到兩邊都是正數(shù)，可以作商，判斷比值與1的大小關(guān)系，從而證明不等式。a ba _bb證明：冷“山宀（尹a b 旦1,-b .:（與心1a b-abb. aa b baba 1. 乂. a b 0，a b a b .。 a b說(shuō)明：本題考查不等式的證明方法 比較法（作商比較法）。作商比較法證明不等式的步驟是：判斷符號(hào)、作商、變形、判斷與1的大小。0244例2：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，求證玄鳥(niǎo)一（旦b）4 （當(dāng)且僅當(dāng)a二b時(shí)取等號(hào)）2 2分析：這個(gè)題若使用比較法來(lái)證明，將會(huì)很麻煩，因?yàn)?，所?/p>

2、證明的不等式中有（旦b）4，展開(kāi)后很復(fù)雜。若使用綜合法，從重要不等式：a2 b2_2ab出發(fā),2再恰當(dāng)?shù)乩貌坏仁降挠嘘P(guān)性質(zhì)及“配方”的技巧可得到證明。證明：a2 F2 _2ab （當(dāng)且僅當(dāng)a2 =b2時(shí)取等號(hào)）/卄4a2+b2兩邊同加(a4 b4):2(a4 b4 (a2 b2)2，即： 一-一 -岸 )2 (1) 又：a2 F2 _2ab （當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)），兩邊同加（a2 b2） :2（a2 b2） _ （a b）2打宀）2（叮）2-號(hào)）4（ 2）由（1）和（2）可得a4 b4a + b-（?。? （當(dāng)且僅當(dāng)小時(shí)取等號(hào)）說(shuō)明：此題參考用綜合法證明不等式。綜合法證明不等式主要是應(yīng)用

3、均值不等 式來(lái)證明，要注意均值不等式的變形應(yīng)用，一般式子中出現(xiàn)有平方和乘積形式后 可以考慮用綜合法來(lái)解。例 3:若 0 ： X : 1，證明 loga(x) |loga(1 x)，( a 0且a = 1 )。分析1:用作差法來(lái)證明。需分為a 1和0 ： a 1兩種情況，去掉絕對(duì)值符號(hào)然后比較法證明。解法1：當(dāng)當(dāng) a 1 時(shí)，因?yàn)?0-x : 1,1 x . 1，所以 loga(1 X)loga(1 +x) =loga(1X)loga(1 + x) =loga(1 x2)n0。當(dāng) 0 ： a ：1 時(shí)，因?yàn)?0 ：1 -x ：1,1 x 1，所以 loga(1 -X)|loga(1 x) =lo

4、ga(1 -X)砸玄仆 X)二砸 a (1 - X?)0。綜上，loga(1-x)|loga(1 X)。分析2:直接作差，然后用對(duì)數(shù)的性質(zhì)來(lái)去絕對(duì)值符號(hào)。解法2:作差比較法。因?yàn)閘oga(1 -X)- loga(1 X)lg(1-X)lgalg(1 x)lgalgag(1-x) - lg(1+x)l=_一lg(1 _x) _lg(1 x)ga匸二1 lg(1-x2)0，I lga所以 loga(1 -x)| |loga(1 x)說(shuō)明：解法1用分類相當(dāng)于增設(shè)了已知條件，便于在變形中脫去絕對(duì)值符號(hào);解法2用對(duì)數(shù)性質(zhì)(換底公式)也能達(dá)到同樣的目的，且不必分而治之，其解法 自然簡(jiǎn)捷、明快。補(bǔ)充：(比較

5、法)已知a 2，求證：log a a log a a 1 0解法 1： log a. a -loga a 1-loga a 1 =因?yàn)?a 2，所以，log a a -10,loga a 1 0，所以,_2loga a -1loga a 1loga a-1 loga a 1a loga a2 一1 f logaa2 f=14所以，log a d a - log a a 1 0 ,命題得證。=4解法 2:因?yàn)?a 2，所以，log a a -1 . 0, log a a 1 . 0 , 所以，嘰*二I。 1 1 一3 2 2 2 =9. a b c 說(shuō)明：此題考查了變形應(yīng)用綜合法證明不等式。題目

6、中用到了“湊倒數(shù)” 種技巧在很多不等式證明中都可應(yīng)用，但有時(shí)要首先對(duì)代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形，以 期達(dá)到可以“湊倒數(shù)”的目的。 例5:已知a b c，求證： 一 0。a b b c c - a分析：此題直接入手不容易，考慮用分析法來(lái)證明，由于分析法的過(guò)程可以用綜合法來(lái)書(shū)寫(xiě)，所以此題用兩種方法來(lái)書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程。 _loga (a +1)loga (a -1)(log a (a -1) ab bc aca b c 二 a _c a_b O,b_c . 0 /.1 一丄ab ac1 1 1+a -b bc a -c1 1 1+ab bcc a0成立(綜合法書(shū)寫(xiě)過(guò)程)證明2：v a b c ac .ab .

7、0,b 一 c . 01 1a-ba-c1 1 1+a-bb-ca-c1 1 1+a -b b-cc-a-ab上礦。8b分析：欲證不等式看起來(lái)較為“復(fù)雜”，宜將它化為較“簡(jiǎn)單”的形式，因而成立 說(shuō)明：學(xué)會(huì)分析法入手，綜合法書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程，但有時(shí)這兩種方法經(jīng)?；煸谝黄?應(yīng)用，混合應(yīng)用時(shí)，應(yīng)用語(yǔ)言敘述清楚。2例6:已知a b0 ,求證：0 9 a b8a 2用分析法證明較好。2 2只須證4a4b2 2證明：欲證(a b) a b-、.ab :：(a 也8a 28b即要證1 c(Ja Tb)2 c I a ,)，即要證 ay；a -4b a 。丿(2拓丿2需2血即要證b注a小，即要證“,遼廠a2Ja2

8、JbaJb即要證 1 b ：2： a 1 ,即 b ：、a，即要證-：1 ：旦（*）VaVbV a ba b a b 0，（ * ）顯然成立，故（a也匕一咼芒也8a 28b說(shuō)明：分析法證明不等式，實(shí)質(zhì)上是尋求結(jié)論成立的一個(gè)充分條件。分析法通常 采用“欲證一只要證一即證一已知”的格式例7:設(shè)n是正整數(shù)，求證1乞 11111,小、證明：.(n _ 2),n2 n n n(n 1) n 1 n2和 1 之間的轉(zhuǎn)化，也即2 , k, k和 1 之間的轉(zhuǎn)化，這就、k 1、k . k 1k 1提示我們，本題是否可以直接利用這一關(guān)系進(jìn)行放縮？觀察原不等式，若直接證明,直接化簡(jiǎn)是不可能的，但如果利用1：2-A

9、- k-1進(jìn)行放縮,k Jk+Jk1則可以達(dá)到目的，由此得解21 ： 102 n+1 n+2 2n1ii分析：要求一個(gè)n項(xiàng)分式一-的范圍，它的和又求不出來(lái)，可n+1 n +22 n以采用“化整為零”的方法，觀察每一項(xiàng)的范圍，再求整體的范圍。1 1證明:由 2n _n k . n(k =1,2/ , n)，得2n n +k當(dāng)k =1時(shí),1 1 1-2n n 1 n當(dāng)k=2時(shí),1 1 1 -2n n 2 n當(dāng)k =n時(shí),1 1 1-2n n n nn2n乞丄丄n 1 n 22n no1 1 11 12 2 2 123n1_1 一- 1223.n-1 n1. = 2 -1： 2 on說(shuō)明1:用放縮法

10、證明不等式，放縮要適應(yīng)，否則會(huì)走入困境。例如證明1 117 1112 22。由2，如果從第3項(xiàng)開(kāi)始放縮，正好可證明；如1222n24 k2k -1k果從第2項(xiàng)放縮，可得小于2。當(dāng)放縮方式不同，結(jié)果也在變化。說(shuō)明2:放縮法一般包括：用縮小分母，擴(kuò)大分子，分式值增大；縮小分子, 擴(kuò)大分母，分式值縮??；全量不少于部分；每一次縮小其和變小，但需大于所求, 第一次擴(kuò)大其和變大，但需小于所求，即不能放縮不夠或放縮過(guò)頭，同時(shí)放縮后 便于求和。例8:求證1 丄 &川淚1 2。2232n2說(shuō)明：此題證明過(guò)程并不復(fù)雜，但思路難尋。本題所采用的方法也是解不等式 時(shí)常用的一種方法，即放縮法。這類題目靈活多樣，需要巧妙變形，問(wèn)題才能化 隱為顯，這里變形的這一步極為關(guān)鍵例9:證明不等式：1 1 1 _1-2 . n，n三N 。?2. 3、n講解：此題為與自然數(shù)有關(guān)的命題，故可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明。 解法1當(dāng)n =1時(shí)命題成立。111假設(shè)n= k(kN )時(shí)命題成立，即：1+c2(kV 2 勺 3,r k則當(dāng)n =k +1時(shí)，不等式的左端 =1十丄十丄十/k +-=J2 V3Jk Uk+1Jk+12.k 1、k不等式的右端=2._k 1由于2 k 1= 2(Jk +1 - Jk 1=Ik +