定積分的概念及性質(zhì)[共80頁]

1、第五章,積分學(xué),不定積分,定積分,定積分,第一節(jié),一、定積分問題舉例,二、 定積分的定義,三、 定積分的性質(zhì),定積分的概念及性質(zhì),第五章,教學(xué)目的與要求,理解定積分的概念 了解定積分的幾何意義 重點： 定積分的概念,一、定積分問題舉例,1. 曲邊梯形的面積,設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線,以及兩直線,所圍成,求其面積 A,矩形面積,梯形面積,用矩形面積近似取代曲邊梯形面積,顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積,四個小矩形,九個小矩形,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,播放,曲邊梯形如圖所示,曲邊梯形面積的近似值為,曲邊梯形面積為,解決步驟小結(jié),1) 分割(

2、大化小,在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個分點,用直線,將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形,2) 以直代曲： (常代變,在第i 個窄曲邊梯形上任取,作以,為底,為高的小矩形,并以此小,梯形面積近似代替相應(yīng),窄曲邊梯形面積,得,3) 求和(近似和,4) 取極限,令,則曲邊梯形面積,元素法,1 分割(化整為零,2 以直代曲 (以常代變,3 求和(積零為整,y=f (x,分法越細，越接近精確值,曲邊梯形的面積,f (i,元素法,4 取極限,y=f (x,令分法無限變細,分法越細，越接近精確值,1 分割(化整為零,2 以直代曲 (以常代變,3 求和(積零為整,曲邊梯形的面積,f (i,元素法,4

3、 取極限,y=f (x,令分法無限變細,分法越細，越接近精確值,1分割(化整為零,2 以直代曲 (以常代變,3 求和(積零為整,曲邊梯形的面積,f (i,S,S,2. 變速直線運動的路程,設(shè)某物體作直線運動,且,求在運動時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程 s,已知速度,思路：把整段時間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過對時間的無限細分過程求得路程的精確值,解決步驟,1)分割(大化小,將它分成,在每個小段上物體經(jīng),2)以直代曲(常代變,得,n 個小段,過的路程為,3)求和(近似和,4) 取極限,上述兩個問題的共性,解決問題的方法步驟相同,分割(大化小)

4、,以直代曲(常代變),求和(近似和),取極限,所求量極限結(jié)構(gòu)式相同,特殊乘積和式的極限,二、定積分的定義,1. 定義,記為,積分上限,積分下限,積分和,注意,定理1,定理2,2. 可積的充分條件,曲邊梯形的面積,曲邊梯形的面積的負值,3、定積分的幾何意義,各部分面積的代數(shù)和,幾何意義,例1 利用定義計算定積分,解,注 利用,得,兩端分別相加, 得,即,例2 利用定義計算定積分,解,例3. 用定積分表示下列極限,解,說明,根據(jù)定積,分定義可得如下近似計算方法,將 a , b 分成 n 等份,左矩形公式,右矩形公式,梯形公式,為了提高精度, 還可建立更好的求積公式, 例如辛普森,公式, 復(fù)化求積公

5、式等,并有現(xiàn)成的數(shù)學(xué)軟件可供調(diào)用,證明,利用對數(shù)的性質(zhì)得,極限運算與對數(shù)運算換序得,故,對定積分的補充規(guī)定,說明,在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小,1、基本內(nèi)容,三、定積分的性質(zhì),證,此性質(zhì)可以推廣到有限多個函數(shù)作和的情況,性質(zhì)1,證,性質(zhì)2,補充：不論 的相對位置如何, 上式總成立,例若,性質(zhì)3,定積分對于積分區(qū)間具有可加性,則,證,性質(zhì)4,性質(zhì)5,解,令,于是,性質(zhì)5的推論,證,1,證,說明： 可積性是顯然的,性質(zhì)5的推論,2,證,此性質(zhì)可用于估計積分值的大致范圍,性質(zhì)6,解,解,例4. 試證,證: 設(shè),即,故,即,證,由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知,性質(zhì)7（定積

6、分中值定理,積分中值公式,使,即,積分中值公式的幾何解釋,說明,可把,故它是有限個數(shù)的平均值概念的推廣,積分中值定理對,因,例5,計算從 0 秒到 T 秒這段時間內(nèi)自由落體的平均,速度,解: 已知自由落體速度為,故所求平均速度,解,由積分中值定理知有,使,五、小結(jié),定積分的實質(zhì)：特殊和式的極限,定積分的思想和方法,求近似以直（不變）代曲（變,取極限,3定積分的性質(zhì),注意估值性質(zhì)、積分中值定理的應(yīng)用,4典型問題,估計積分值,不計算定積分比較積分大小,思考題 1,將和式極限,表示成定積分,思考題1解答,原式,思考題 2,思考題2解答,例,3. P233 題3,4. P233 題8 (2) , (4

7、,題8(4) 解,設(shè),則,即,練 習(xí) 題 1,練習(xí)題1答案,練 習(xí) 題 2,練習(xí)題2答案,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系,觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細時， 矩形面積