中考復(fù)習(xí)幾何探究題(含答案)

1、幾何探究題1 題（ 1）如圖 1，圖 2，圖 3，在 ABC 中，分別以AB，AC 為邊，向 ABC 外作正三角形，正四邊形，正五邊形，BE，CD 相交于點(diǎn) O 如圖 1，求證： ABE ADC ；探究：如圖1，BOC；如圖 2，BOC；如圖 3，BOC（ 2）如圖 4，已知： AB，AD 是以 AB 為邊向 ABC 外所作正 n 邊形的一組鄰 邊 ； A C， A E是 以 AC 為 邊 向 ABC 外 所 作 正 n 邊 形 的 一 組 鄰邊 BE，CD 的延長(zhǎng)相交于點(diǎn) O 猜想：如圖4，BOC（用含 n 的式子表示 ）；根據(jù)圖 4 證明你的猜想2 題 .請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖 1，在

2、菱形 ABCD 和菱形BEFG中，點(diǎn) A，B，E 在同一條直線上， P 是線段 a(a b )(ab)的中點(diǎn)，連結(jié) PG，PC 若 ABCBEF60 ，探究 PG 與 PC 的位置關(guān)系及PG 的值PC小聰同學(xué)的思路是：延長(zhǎng)GP 交 DC 于點(diǎn) H ，構(gòu)造全等三角形，經(jīng)過(guò)推理使問(wèn)題得到解決DCDC問(wèn)題：（ 1）寫出上面問(wèn)題中線段PG 的值；PG 與 PC 的位置關(guān)系及PFPPCG（ 2）將圖 1 中的菱形BEFG繞點(diǎn)BEFGBF恰好與菱形ABCD的邊順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形的對(duì)角線G BFAEAB2）你在（ 1）中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生變AB 在同一條直線上，原問(wèn)題中的其他條件不變（如圖BE化？寫出你

3、的猜想并加以證明 圖 1圖 2（ 3）若圖 1 中 ABCBEF2(090 ) ，將菱形 BEFG 繞點(diǎn) B 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，原問(wèn)題中的其他條件不變，請(qǐng)你直接寫出PG 的值（用含的式子表示）PC3 題。如圖，等腰梯形ABCD 中， AB=4，CD =9， C=60 ，動(dòng)點(diǎn) P 從點(diǎn) C 出發(fā)沿 CD 方向向點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn) Q同時(shí)以相同速度從點(diǎn)D 出發(fā)沿 DA 方向向終點(diǎn) A 運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng) .（ 1）求 AD 的長(zhǎng)；（ 2）設(shè) CP=x，問(wèn)當(dāng) x 為何值時(shí) PDQ的面積達(dá)到最大，并求出最大值；（ 3）探究：在BC 邊上是否存在點(diǎn)M 使得四邊形PD

4、QM 是菱形？若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)M ，并求出 BM的長(zhǎng)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.4 題已知矩形ABCD和點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P 在 BC 上任一位置（如圖（1）所示）時(shí)，易證得結(jié)論：PA2PC 2PB2PD 2 ， 請(qǐng) 你 探 究 ： 當(dāng) 點(diǎn)P分 別 在 圖 （ 2 ）、 圖 （ 3 ） 中 的 位 置 時(shí) ，（第 25 題圖）PA2、PB 2、PC 2和 PD 2 又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)你寫出對(duì)上述兩種情況的探究結(jié)論，并利用圖（2）第 1頁(yè)（備用圖）證明你的結(jié)論答：對(duì)圖（ 2）的探究結(jié)論為對(duì)圖（ 3）的探究結(jié)論為證明：如圖（ 2）_ _ 5 題如圖，以矩形OABC 的頂點(diǎn) O 為原點(diǎn)， OA 所在的直線為x

5、 軸， OC 所在的直線為y 軸，建立平面直角坐標(biāo)系 已知 OA3，OC 2，點(diǎn) E 是 AB 的中點(diǎn)， 在 OA 上取一點(diǎn) D，將 BDA 沿 BD 翻折，使點(diǎn) A 落在 BC 邊上的點(diǎn) F 處（ 1）直接寫出點(diǎn) E、F 的坐標(biāo)；（ 2）設(shè)頂點(diǎn)為 F 的拋物線交 y 軸正半軸 于點(diǎn) P，且以點(diǎn) E、F、P 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；（ 3）在 x 軸、 y 軸上是否分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形 MNFE 的周長(zhǎng)最??？如果存在，求出周長(zhǎng)的最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由6 題如圖1，四邊形 ABCD 是正方形， G 是 CD 邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn) (點(diǎn) G 與C、D 不重合 )，

6、以 CG 為一邊在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，（第 22 題）連結(jié) BG，DE我們探究下列圖中線段BG、線段 DE 的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系：（1）猜想如圖 1 中線段 BG、線段 DE 的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；將圖 1 中的正方形 CEFG 繞著點(diǎn) C 按順時(shí)針 (或逆時(shí)針 )方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖 2、如圖 3 情形請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量等方法判斷中得到的結(jié)論是否仍然成立, 并選取圖 2證明你的判斷（ 2）將原題中正方形改為矩形（如圖4 6），且 AB=a ，BC=b ，CE=ka ， CG=kb (a b，k0) ，第 (1)題中得到的結(jié)論哪些成立，哪些不成立？若

7、成立，以圖5 為例簡(jiǎn)要說(shuō)明理由（ 3）在第 (2)題圖 5 中，連結(jié) DG 、 BE ，且 a=3，b=2， k= 1 ，求 BE 2DG 2 的值27 題正方形 ABCD中，點(diǎn) O是對(duì)角線 AC的中點(diǎn)， P 是對(duì)角線 AC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) P 作 PF CD于點(diǎn) F。如圖 1，當(dāng)點(diǎn) P 與點(diǎn) O重合時(shí)，顯然有DF CF如圖 2，若點(diǎn) P 在線段 AO上（不與點(diǎn) A、O重合）， PE PB且 PE交 CD于點(diǎn) E。求證： DF EF；寫出線段 PC、 PA、 CE之間的一個(gè)等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；若點(diǎn) P 在線段 OC上（不與點(diǎn) O、 C重合）， PE PB且 PE交直線 CD于點(diǎn) E。請(qǐng)完成

8、圖3 并判斷中的結(jié)論、是否分別成立？若不成立，寫出相應(yīng)的結(jié)論（所寫結(jié)論均不必證明）ADAPDADO(0，0) ，A(6，0) ， C (0，3) 動(dòng)點(diǎn) Q 從點(diǎn) O 出發(fā)8 題將一矩形紙片 OABC 放在平面直角坐標(biāo)系中，P(O)FFOEOOCCPPAO以每秒 1 個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)2 秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)以相等的速度沿BCB3BCOCP向終點(diǎn)圖 1的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t （秒）運(yùn)動(dòng)當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)圖 2圖 3（ 1）用含 t 的代數(shù)式表示 OP， OQ ；（ 2）當(dāng) t 1時(shí)，如圖 1，將 OPQ 沿 PQ 翻折，點(diǎn) O 恰好落在 CB 邊上的點(diǎn) D 處，求

9、點(diǎn) D 的坐標(biāo)；（ 3）連結(jié) AC ，將 OPQ 沿 PQ 翻折，得到 EPQ ，如圖 2問(wèn)：PQ 與 AC 能否平行？ PE 與 AC能否垂直？若能，求出相應(yīng)的t 值；若不能，說(shuō)明理由yyB 第 2 C 頁(yè)DBCEQQ9 題（ 1）探究新知： 如圖 1，已知 ABC 與 ABD 的面積相等，CD試判斷AB 與 CD 的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由（2）結(jié)論應(yīng)用 ： 如圖 2，點(diǎn) M，N 在反比例函數(shù) yk （ k0）的圖象上，x過(guò)點(diǎn) M 作 ME y 軸，過(guò)點(diǎn) N 作 NF x 軸，垂足分別為E，F(xiàn) 試yAMB圖1證明： MN EF 若中的其他條件不變，只改變點(diǎn)M，N 的位置如圖 3Ox所示，請(qǐng)判斷

10、MN 與 EF 是否平行DyN1 題。（1） 證法一： ABD 與 ACE 均為等邊三角形，ME圖 3ADAB ， ACAE 且BADCAE60BADBACCAENNDACBAEBAC ，即證法二： ABD與 ACE 均為等邊三角形，OFxADAB ， ACAE 且BADCAE60圖 2得到 ABE ADC ADC 可由 ABE 繞著點(diǎn) A 按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 60 120 ， 90 ， 72 （ 2） 360 n 證法一： 依題意，知BAD 和CAE 都是正 n 邊形的內(nèi)角，ABAD ， AEAC ，BADDAECAEDAE ，即BAEDAC 11 分 ABE ADC 12 分ABEADC ，

11、ADCODA180 ，ABOODA 180 13 分BOC180DAB180(n 2)180 360n14 分n證法二： 同上可證 A B E A D C 12 分ABEADC ，如圖，延長(zhǎng)BA 交 CO 于 F ，AFDADCDAF18013 分BOCDAF18036014 分BADn證法三： 同上可證 A B E A D C 12 分BOC180(360BACDAC ) 13 分即 BOC180BAD36014 分n證法四： 同上可證 A B E A D C 12 分第 3頁(yè)AEBACD 如 ， 接CE ，BECBOCOCEBOCAECACE 13 分即BOC180CAE360n14 分2

12、 段 PG 與 PC 的位置關(guān)系是 PG PC ；PG3 2 分PC 猜想：（ 1）中的 沒(méi)有 生 化 明：如 ，延 GP 交 AD 于點(diǎn) H ， CH，CG P 是 段 DF 的中點(diǎn)，由 意可知 AD FG DC四 形 ABCD是菱形，H由ABCBEF 60 ，且菱形的 角 恰好與菱形G在同一BEFGBFABCD的 ABP條直 上，ABF可得GBC60 四 形 BEFG 是菱形，E即HCG120 PG 6 分3PC PGtan(90) 8 分PC3 （ 1）解法一：如 25-1過(guò) A 作 AE CD ，垂足 E .945依 意， DE=22 . 2 分DE55在 RtADE 中， AD= c

13、os6022. 5 分解法二：如 25-2 點(diǎn) A 作 AE BC 交 CD 于點(diǎn) E， CE=AB=4 . 2 分 AED= C=60 .又 D= C=60 ， AED 是等 三角形. AD=DE=9 4=5 .5 分（ 2）解：如 25-1 CP=x， h 為 PD 上的高 ,依 意， PDQ 的面 S 可表示 ：1S= 2 PD h6 分1= 2 (9 x) xsin60 圖 25-1圖 25-2第 4頁(yè)3=4 (9x x2)39813= 4(x 2 )2 16. 8 分由 意，知x9 分0 5 .9 （ 足 0 x 5），S81310 分當(dāng) x=最大值=.216（3） 法一：如 25-

14、3假 存在 足條件的點(diǎn)M， PD 必 等于 DQ . 11 分9于是 9 x=x， x= .2此 ，點(diǎn) P、Q的位置如 25-3所示， QP . PDQ恰 等 三角形 . 點(diǎn) Q作 QM DC ，交 BC 于 M，點(diǎn) M 即 所求 .連結(jié) MP，以下 明四 形 PD QM 是菱形 .易 MCP QDP ， D= 3 . MP =PD圖 25-3 MP QD ,四 形 PD QM 是平行四 形 .又 MP=PD ,四 形 PDQM 是菱形 .13 分所以存在 足條件的點(diǎn)M ，且 BM =BC MC=5 9=1. 14 分22注 本 回答存在， 1 分 . 法二：如 25-4假 存在 足條件的點(diǎn)M

15、， PD 必 等于 DQ . 11 分于是 9 x=x， x= 9 .2此 ，點(diǎn) P、Q的位置如 25-4所示， PD Q恰 等 三角形 . 點(diǎn) D 作 DO PQ于點(diǎn) O，延 DO 交 BC 于點(diǎn) M， PM、 QM， DM 垂直平分PQ， MP=M Q.易知 1= C . PQ BC .又 DO PQ， MC MD1 MP=CD =PD2圖 25-4即 MP=PD =DQ=QM四 形 PDQM 是菱形 13 分所以存在 足條件的點(diǎn)M，且 BM=BC MC=5 9=114 分224 均是PA2 PC2 PB2 PD 2（ 2 2 分， 31 分） 明：如 2 點(diǎn) P 作 MN AD 于點(diǎn) M

16、，交 BC 于點(diǎn) N，因 AD BC， MN AD ，所以 MN BC第 5頁(yè)在 RtAMP 中， PA2 PM2 MA 2在 RtBNP 中， PB2 PN2 BN2在 RtDMP 中， PD2 DM 2 PM2在 RtCNP 中， PC2 PN2 NC2222222所以 PA PC PM MA PN NC因 MN AD， MN NC， DC BC，所以四 形MNCD 是矩形所以 MD NC，同理 AM BN，所以 PM 2 MA2PN 2 NC2 PM2 DM 2 BN2 PN2即 PA2 PC2 PB2 PD25 解：（ 1） E(31)， ； F (12)，（ 2）在 RtEBF 中，

17、B90 ， 點(diǎn) P 的坐 (0， n) ，其中 n0 ， 點(diǎn) F (1，2) ， 拋物 解析式 y a( x 1)22(a0) 如 ，當(dāng) EF PF ， EF 2PF 2 ，解得 n10 （舍去）； n24 解得 a2 拋物 的解析式 y 2( x 1)22如 ，當(dāng) EP FP ， EP2FP 2 ，解得 n5（舍去）2當(dāng) EFEP ， EP53 ， 種情況不存在 上所述，符合條件的拋物 解析式是y2( x 1)22 （ 3）存在點(diǎn) M ， N ，使得四 形MNFE 的周 最小如 ，作點(diǎn)E 關(guān)于 x 的 稱點(diǎn)E ，作點(diǎn) F 關(guān)于 y 的 稱點(diǎn) F ， 接 E F ，分 與 x 、 y 交于點(diǎn)

18、M ， N ， 點(diǎn) M， N 就是所求點(diǎn)又 EF5 ，F(xiàn)N NMME EF5 5 ，此 四 形 MNFE 的周 最小 是 5 5 6 題 (1) BGDE, BGDE 2 分第 6頁(yè) BGDE , BGDE 仍然成立 1 分在 （ 2）中 明如下四 形 ABCD 、四 形 ABCD 都是正方形BCGDCE 1 分BCGDCE（ SAS）1 分又BHCDHOCBGBHC 900 BGDE 1 分（ 2） BGDE 成立， BGDE 不成立 2 分 要 明如下四 形 ABCD 、四 形 CEFG 都是矩形，且 ABa ， BCb ， CGkb ， CE ka ( a b ， k 0 ) BCGDCE 1 分又BHCDHOCBGBHC900 BGDE1 分（ 3） BGDE BE 2DG 2OB 2OE2OG 2OD 2BD2GE 2又 a3 ， b12 ， k2 BD 2GE 2223212( 3) 2651 分6524 BE 2DG 21 分47 略； PC PA2 CE； 仍成立； 不成立，此 中三條 段的數(shù)量關(guān)系是 PA PC2 CE；8 解：（ 1） OP6t ， OQt23yy