概率論基本公式

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本公式第-部分概率論基本公式1、A BAB A AB;ABA(BA)例:證明：2、對(duì)偶率：A B A B ;ABAB.3、概率性率：有限可加：Ap A2為不相容事件，則P(AA2)P(A) P(A2)P(A B) P(A) P(AB),特別，B A時(shí)有：P(A B) P(A) P(B);P(A) P(B)(3)對(duì)任意兩個(gè)事件有：P(A B) P(A) P(B) P(AB)4、古典概型5、條件概率例：有三個(gè)罐子，1號(hào)裝有2紅1黑共3個(gè)球，2號(hào)裝有3紅1黑4個(gè)球，3號(hào)裝有2紅2黑4 個(gè)球，某人隨機(jī)從其中一罐，再從該罐中任取一個(gè)球，(1)求取得紅球的概率； (2)如果取得是紅球，那

2、么是從第一個(gè)罐中取出的概率為多少？解：(1)設(shè)Bi 球取自i號(hào)罐，i 1,2,3。A 取得是紅球，由題知B1 B2、B3是一個(gè)完備事件231由全概率公式 P(B)P(A)P(B|AJ,依題意，有：P(A| B1); P(A| B2); P(A| B3)-.i3421P(BJ P(B2) P(B3)， P(A) 0.639.(2)由貝葉斯公式：P(B1 | A) P(A| B1)P(B1) 0.348.P(A)6、獨(dú)立事件(1)P(AB)=P(A)P(B),則稱 A、B 獨(dú)立。(2)伯努利概型如果隨機(jī)試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果：事件A發(fā)生或事件 A不發(fā)生，則稱為伯努利試驗(yàn)，即：P(A)=p, P(A)

3、 1 p q (0p1,p+q=1)相同條件獨(dú)立重復(fù) n次，稱之為n重伯努利試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱伯努利概型。伯努利定理：b(k;n, p) C：pk(1 p)n k (k=0,1,2 )事件A首次發(fā)生概率為：p(1 p)k1例：設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)岀信號(hào)，(1)進(jìn)行5次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率；(2)進(jìn)行了 7次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率。第二章7、常用離散型分布(1)兩點(diǎn)分布：若一個(gè)隨機(jī)變量X只有兩個(gè)可能的取值，且其分布為:PX Xip； P X X21 p ( 0p0)都是常數(shù)。分布函數(shù)(t )22dt,。當(dāng)0,1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)

4、正態(tài)分布,概率密度函數(shù)為:定理：設(shè)X N(,x)J2),則丫 XX22,分布函數(shù)為:-N(0,1)(X)t2Xe 2dt.其期望E(X)=卩,D(X)=。9、隨機(jī)變量函數(shù)的分布(1)離散型隨機(jī)變量函數(shù)分布一般方法：先根據(jù)自變量X的所有可能取值確定因變量 丫的所有可能值，然后通過丫的每一個(gè)可能的取值yj(i=1,2,)來確定Y的概率分布。(2)連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布方法：設(shè)已知 X的分布函數(shù) Fx(X)或者概率密度 fX(X)，則隨機(jī)變量 Y=g(X)的分布函數(shù) FY(y) PY y Pg(X) y PXCY,其中Cy x|g(x) y，F(xiàn)Y(y)PXCyCyfx(x)dx進(jìn)而可通過丫的分布函數(shù)

5、FY(y)，求岀丫的密度函數(shù)11x11 X 1例：設(shè)隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)為 fX(x)，求隨機(jī)變量X(丿0,其他Y X21的分布函數(shù)和密度函數(shù)解：設(shè)FY(y)和fY(y)分別是隨機(jī)變量1 y2,那么當(dāng)y 1時(shí)Fy(y)PYY(y)PY y PX21y P丫的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，則由P( )0,當(dāng)1 yy 1yf MdXy Px21 y1 x2時(shí),得:1 (1y 1x)dx10x)dx2.y 1(y1),當(dāng) y2時(shí)，F(xiàn)Y(y)PYy PX21y10dx11(1 |x|)dx0dx1,所以，F(xiàn)Y(y)2._y 10,y(y1,y11),1 y 2,2fx(x) FY(y)-1,1 y10,其

6、他10、設(shè)隨機(jī)變量XN(2)，丫= aXb也服從正態(tài)分布.即2Y aX b N(a b,(a )11、聯(lián)合概率分布(1)離散型聯(lián)合分布：Rj1i jy1yjPX= Xiphp1jpy= yj1(2)連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布:1例：設(shè)隨機(jī)變量(X, Y)的密度函數(shù)f(x, y)(x y),0 x 2,0 y 2 80,其他求 f(x), f(y),E(X), E(Y),cov(X,Y)， xy，D(X+Y).解：當(dāng)ow x 2時(shí)由fX(X)x1/8(x y) dy，0得：fx(X)21/8x1 /4x，當(dāng) x2 時(shí)，由 fx (X)0Ody2 0dy 0，所以,同理可求得：(y)1/8y 21

7、/ 4 y ,00,其他2 E(X)= 0Xfx(x)dx7/6，由對(duì)稱性同理可求得,E(Y)=7/6。2 2因?yàn)镋(XY)=xyf (x, y)dxdy2 21/8xy(x0 0y)dxdy4/3.所以，cov (X,Y ) = E(XY)- E(X) E(Y)=4/3-(7/6)2=-1/36。 D(X) E(X2)E(X)22 2 x2f (x,0 0 、，y)dxdy(7)21136同理得 D(Y)= H ,所以，XY = _CV(X，丫)_36JD(X)D(Y)丄115 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=912、條件分布：若F(x|A) PXX的條件分布函數(shù)x|

8、AP X x, APA,稱F(x | A)為在A發(fā)生條件下,13、隨機(jī)變量的獨(dú)立性：由條件分布設(shè)A=Yw y,且 PY w y0,貝0：F(x|Y yPX x,Y yPY yF(x, y)，設(shè)隨機(jī)變量FyW)(X,Y )的聯(lián)合分布概率為F (x,y),邊緣分布概率為FX(x)、FY(y)，若對(duì)于任意 x、y 有:PX x,Yy PX xPY y，即：F(x, y)Fx(x)FY(y)， 則稱x和y獨(dú)立。14、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)：設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(x,y )的概率密度為 f (x,y),邊緣概率密度函數(shù)為fx (x)、fY(y)，則對(duì)于一切使fX(x)0的x,定義在x=x的條件下丫

9、的條件密度函數(shù)為：fY|x ( y | x) f (x, y),同理得到定義在 Y=y條件下X的條件概率密度函數(shù)為:fx(x)fX|Y(x| y) f(x, y)，若f(x,y)= fX(x) fY(y)幾乎處處成立，則稱 x,Y相互獨(dú)立 fY(y)例:設(shè)二維隨機(jī)變量(X，丫)的概率密度函數(shù)為：f(x, y)ce (2xy),x 0,y00,其它求(1 )確定常數(shù)c；( 2) X,Y的邊緣概率密度函數(shù)；(3)聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y); PY(5)條件概率密度函數(shù)X |Y (x | y) ； (6)PX2|Y0，D(Y)0，則當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)a, b( a 0)，使：附注 XY 0時(shí)，只能說明Y

10、與X之間不是線性關(guān)系，但 可能有其他函數(shù)關(guān)系, 從而不能推注Y與X獨(dú)立。2D(X)0，D(Y)0,有:設(shè)e=EY-( aX b),稱為用aX b來近似y的均方差，則：設(shè)aocov(X,Y) b7 b0D(X)E(Y) aoE(X ),使均方誤差達(dá)到最小。18、切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量2X的期望E(X)=卩，方差D(X)=，則對(duì)于給定任意正數(shù)有: P| X I 或者為：P| X I 119、大數(shù)定理：設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,X n相互獨(dú)立，且具有相同的期望和方差:E(Xi) ,D(Xi)2，i=1,2,3 ，記 Yn -nXi，則對(duì)于任意0,有:1lim P|Y | nA發(fā)生的次數(shù)，p為概率。1

11、,推論 lim P| p 1n n1(其中nA為n重伯努利中20、中心極限定理；(1)設(shè)隨機(jī)變量X 1 ,X 2 ,X n相互獨(dú)立，服從同一分布，且E(XJ ,D(Xi)i=1,2,3，則:nXi n1耐二X二心一個(gè)結(jié)論：nXi N(0,1)/ . n(2)棣莫佛一拉普拉斯定理：設(shè)隨機(jī)變量X 1 ,X 2 ,Xn相互獨(dú)立，并且都服從參數(shù)為nXi兩點(diǎn)分布，則對(duì)任意實(shí)數(shù) X，有：lim PJn vnp(1 p)npxX =e /2dt(x)第二部分?jǐn)?shù)理統(tǒng)計(jì)21、由于樣本方差(或樣本標(biāo)準(zhǔn)差)很好的反應(yīng)總體方差2(或標(biāo)準(zhǔn)差)的信息，因此，當(dāng)方差未知時(shí)，常用 S2去估計(jì)，而總體標(biāo)準(zhǔn)差則常用樣本標(biāo)準(zhǔn)差 S

12、去估計(jì)。22、常用統(tǒng)計(jì)分布(1)分位數(shù)：設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F ( x)，對(duì)給定的實(shí)數(shù)(01),若實(shí)數(shù)F滿足PX F ,則稱F為隨機(jī)變量X分布的水平 的上側(cè)分位數(shù),若實(shí)數(shù)T、2滿足P| X | T、，則稱T、2為隨機(jī)變量X分布的 的雙側(cè)分位數(shù)。(2)22分布：設(shè)X 1,X 2,Xn是取自總體N(o,1)的樣本，稱統(tǒng)計(jì)量X； X；x2服從自由度為n的2分布。E( 2) n,D( 2)2n，F(xiàn)分布：設(shè) X 2(m),Y 2(n),且X與Y相互獨(dú)立，則稱F -Y/nnXmY 22、服從自由度為(m, n)的F分布,記：F F (m, n)抽樣分布A、單正態(tài)總體抽樣分布(1)設(shè)總體 X N(，2),

13、X1,X,2，Xn是取自X的一個(gè)樣本,X為該樣本的樣本均值，則有：X N2X2/n);U N(0,1)/Jn(2)設(shè)總體XN(,和樣本方差，則有:),X 1， X ,2，2 n 1-22Xn是取自X的一個(gè)樣本,X與S2分別是該樣本均值2(n 1);X與S2相互獨(dú)立。(3設(shè)總體X N(2),Xi,X,2,Xn是取自X的一個(gè)樣本,X與S2分別是該樣本均值和樣本方差，則有(XiX)2 2(n)；T 麗nt(n 1).B、雙正態(tài)總體抽樣分布:SW(ni 1)S2 (n2 1)M 則n-in2 2(1)(X2丫)(；2)N(0,1)1 / n12 / n223、2 22 F(n 1,n2 1)；當(dāng)1S2

14、參數(shù)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)：2時(shí) T (X 丫)(12)1/ n12 / n 2t (nin22)設(shè)X1，X,2， Xn是取自X的一個(gè)樣本,x1,x2,xn是相應(yīng)的一組樣本值，是總體分布的未知參數(shù)，為估計(jì)未知參數(shù)，需要構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)模?X1,X2,Xn)，然后觀察值：(X1,X2,Xn)來估計(jì) ，(X-X?,Xn)稱為的估計(jì)量，(X1 , X2 ,Xn)稱為 的估計(jì)值，估計(jì)量和估計(jì)值統(tǒng)稱為點(diǎn)估計(jì)。設(shè)(X1，X2， X n)是未知參數(shù)的估計(jì)量，若E ()，則稱 為 的無偏估計(jì)量，設(shè)X1，X,2，Xn是取自X的樣本，總體X的均值為，方差為2,貝V：樣本均值 X是 的無偏估計(jì)量，樣本方 差s2是2的無偏估計(jì)量，

15、樣本二階中心矩1 n丄(Xi X)2是2的無偏估計(jì)量。n i 124、點(diǎn)估計(jì)常用方法(1 )矩估計(jì)法：先求 E ( X)，得到一個(gè)E(X)與未知參數(shù)的式子，用E(X)表示未知參數(shù)，再把 E(X)用X代替即可。例：已知總體X的概率分布為pX k C；(1)k 2 k,k 0,1,2,求參數(shù) 的矩估計(jì)。2(1- )2 2-2 ,解：E(X)XiPX k 0x 2 1x2(1 -)i 1用樣本均值X代替E(X)得到的矩估計(jì)為:(2)最大似然估計(jì)：一般方法:a、寫出最大似然函數(shù)丄 0或dln L( )0,求出駐點(diǎn);HXn； )；b 令嚀-d值點(diǎn)，在最大值點(diǎn)得表達(dá)式中，用樣本均值代入即得到參數(shù)的最大釋然

16、估計(jì)值。c、判斷并求岀最大例：設(shè)總體X的概率密度為f(x)(設(shè)X1, X,2,Xn為一個(gè)樣本，試求參數(shù)1)x，0 x 其中(0,其它的矩估計(jì)量和最大似然1)是未知參數(shù),估計(jì)量。解：E(X)1ox(1)x dx琵養(yǎng)，用樣本均值X代替E(X)即即得到矩估計(jì)為:設(shè) x1 ,x1-2XX-1xn是相應(yīng)樣本X1, X2,Xn的一組觀察值，則最大似然函數(shù)為:L()i1)x(1)n(XM2xn),取對(duì)數(shù) In L( ) nln(1)ln(X1X2Xn)nln(1),取 dlnL()iIn Xj0,從而解得1的最大似然估計(jì)值:n-1 -nln xii 11)根據(jù)實(shí)際問題的要求,充分考慮和利用已知的背景知識(shí)，提岀25、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟：(原假設(shè)H 及備擇假設(shè)H!；(2)給定顯著水平a以及樣本容量n；( 3)確定檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量U,并在原假設(shè) H。成立的前提下導(dǎo)岀 u的概率分布，要求 U的分布不依賴于任何未知參數(shù)；(4)確定拒絕域，即依據(jù)直觀分析先確定拒絕域形式，然后根據(jù)給定的顯著性水平a和U的分布，由P拒絕H 0 I H 0為真= a,確定拒絕域的臨界值，從而確定拒絕域W ( 5)做一次具體抽樣，根據(jù)得到的樣本觀察值和所得的拒絕域，對(duì)假設(shè)