2017年河北石家莊市高三9月摸底數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

1、2016-2017學(xué)年河北石家莊市高三理9月摸底數(shù)學(xué)試題一、選擇題1若集合,，則A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：,所以，故選C.【考點(diǎn)】1.對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；2.集合的運(yùn)算.2復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】試題分析：,復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選D.【考點(diǎn)】1.復(fù)數(shù)的運(yùn)算；2.復(fù)數(shù)相關(guān)的概念.3設(shè),則“是“直線與直線平行”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】試題分析：當(dāng)時(shí)，線與直線平行；當(dāng)線與直線平行時(shí)，所以“是“直線與直線平行”的充分不必

2、要條件，故選A.【考點(diǎn)】1.兩條直線的位置關(guān)系；2.充分條件與必要條件.4下列函數(shù)中為偶函數(shù)又在上是增函數(shù)的是A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：由函數(shù)的奇偶性定義可知，選項(xiàng)C,D為非奇非偶函數(shù)，排除C、D，選項(xiàng)A中，在區(qū)間上是減函數(shù)，故選B.【考點(diǎn)】函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性.5執(zhí)行下圖的程序框圖，如果輸入，那么輸出的的值為A.4 B.3C.2 D.1【答案】A【解析】試題分析：模擬算法：開(kāi)始：輸入，是；，是；，是；，是；，否，輸出；故選A.【考點(diǎn)】程序框圖.6將函數(shù)的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，再向右平移個(gè)單位，所得函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為A. B. C. D.【答案】D【

3、解析】試題分析：將函數(shù)的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍得到函數(shù)的圖象，再向右平移個(gè)單位得到函數(shù)圖象，由得，所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)中心為，故選D.【考點(diǎn)】1.函數(shù)的伸縮變換與平移變換；2.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).7已知滿(mǎn)足約束條件，則下列目標(biāo)函數(shù)中，在點(diǎn)處取得最大值的是A. B. C. D.【答案】D【解析】試題分析：在直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域如下圖所示，由線性規(guī)劃知識(shí)可知，目標(biāo)函數(shù)與均是在點(diǎn)處取得最大值，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值，故選D.【考點(diǎn)】線性規(guī)劃.8若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：,函數(shù)在區(qū)

4、間上單調(diào)遞減在區(qū)間上恒成立，解之得，故選C.【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性.9某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的表面積為A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析： 由三視圖可知，該幾何體的左半部分是圓錐的一半，右半部分是一個(gè)圓柱，其表面積包括圓柱的側(cè)面積、底面積的倍，圓錐側(cè)面積的一半和一個(gè)三角形的面積，所以表面積，故選B.【考點(diǎn)】1.三視圖；2.旋轉(zhuǎn)體的表面積與體積.10如圖所示，在一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形A0BC內(nèi)，曲線和曲線圍成一個(gè)葉形圖（陰影部分），向正方形AOBC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)（該點(diǎn)落在正方形AOBC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的），則所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率是A. B. C. D.【答

5、案】A【解析】試題分析：正方形的面積為，陰影部分的面積為，所以向正方形AOBC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)（該點(diǎn)落在正方形AOBC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的），則所投的點(diǎn)落在葉形圖內(nèi)部的概率是，故選A.【考點(diǎn)】1.積分的運(yùn)算與幾何意義；2.幾何概型.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是積分的運(yùn)算與幾何意義、幾何概型，屬于中檔題解幾何概型的試題，一般先求出實(shí)驗(yàn)的基本事件構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積），再求出事件構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積），最后代入幾何概型的概率公式即可解本題需要掌握的知識(shí)點(diǎn)是復(fù)數(shù)的模和幾何概型的概率公式，即若（、），則，幾何概型的概率公式11已知分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩

6、點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：因?yàn)?，所以可設(shè)，由可知，由雙曲線定義有，兩式相加得，即.所以，所以，所以，由勾股定理得，所以，所以雙曲線的離心率，故選B.【考點(diǎn)】1.雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)；2.直線與雙曲線的位置關(guān)系.【名師點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系；屬中檔題；雙曲線的定義在解題中有重要的作用，如本題中就利用定義列出兩個(gè)等式，由這兩個(gè)等式解方程組得到相應(yīng)的比例關(guān)系，就可求雙曲線的離心率.12已知定義在上的函數(shù)，滿(mǎn)足；(其中是的導(dǎo)函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，則的范圍為A. B. C. D.【答案】B【

7、解析】試題分析：設(shè)，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即；令，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，綜上，故選B.【考點(diǎn)】1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性；2.構(gòu)造法的應(yīng)用.【名師點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性以及構(gòu)造法，屬難題；聯(lián)系已知條件和結(jié)論，構(gòu)造輔助函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一種常用的方法，解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類(lèi)問(wèn)題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等問(wèn)題，?？墒箚?wèn)題變得明了二、填空題13在的展開(kāi)式中的系數(shù)是_.【答案】【解析】試題分析：的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，由得，所以的系數(shù)是，故應(yīng)填.【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理.14設(shè)向量，且，則_.【答案】【解析】試題分析

8、：因?yàn)?，所以，即，所以，故?yīng)填.【考點(diǎn)】1.向量的數(shù)量積與垂直的關(guān)系；2.向量的運(yùn)算.15正項(xiàng)等比數(shù)列滿(mǎn)足：，若存在，使得，則的最小值為_(kāi).【答案】【解析】試題分析：或，又，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.【考點(diǎn)】1.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)；2.基本不等式.【名師點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的定義與性質(zhì)、基本不等式，屬中檔題；利用基本不等式求最值時(shí)，應(yīng)明確:1.和為定值，積有最大值，但要注意兩數(shù)均為正數(shù)且能取到等號(hào)；2.積為定值和有最小值，直接利用不等式求解，但要注意不等式成立的條件.16在直三棱柱中，則直三棱柱內(nèi)切球的表面積的最大值為_(kāi).【答案】【解析】試題分析：當(dāng)內(nèi)切球的半徑最

9、大時(shí)，內(nèi)切球的表面積最大，又三棱柱的內(nèi)切球的半徑與底面三角形的內(nèi)切圓半徑相同，所以只要求三角形內(nèi)切圓半徑的最大值即可，由題意可知，當(dāng)且僅當(dāng)即三角形為等腰直角三角形時(shí)，所以其內(nèi)切球表面積的最大值為.【考點(diǎn)】1.球的切接問(wèn)題；2.球的表面積與體積；3.基本不等式.【名曰點(diǎn)睛】本題考查球的切接問(wèn)題、球的表面積與體積公式以及不等式等知識(shí)，屬中檔題；與球有關(guān)的組合體通常是作出它的軸截面解題，或者通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題進(jìn)行求解.三、解答題17中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，.（）求角的大??；（）若，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1

10、）由三角形內(nèi)角和定理得，從而將條件轉(zhuǎn)化為，利用三角恒等變換公式得，從而求得；（2）由余弦定理列出方程可求出邊的值，即可求三角形面積.試題解析：（1）,在中，（2）方法由余弦定理知10分方法 在中，由正弦定理：，, 【考點(diǎn)】1.三角形的恒等變換；2.正弦定理與余弦定理.【名師點(diǎn)睛】本題考查三角恒等變換與正、余弦定理，中檔題；解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到.18已知：等差數(shù)列滿(mǎn)足，前3項(xiàng)

11、和.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（）2.【解析】試題分析：（1）用基本量法，即用表示條件中的量，列出方程組，解出即可求其通項(xiàng)公式；(2)用裂項(xiàng)相消法，即用公式，分組相消即可求和.試題解析： （1）在等差數(shù)列中設(shè)首項(xiàng)為，公差為, （2）令 10分1【考點(diǎn)】1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與性質(zhì)；2.裂項(xiàng)相消法求和.【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與裂項(xiàng)相消法求和，屬中檔題；求解數(shù)列相關(guān)問(wèn)題最基本方法就是基本量法，即在等差數(shù)列中，用表示已知條件，在等比數(shù)列中，用表示已知條件，列出方程組，解方程組即可；數(shù)列求和常用方法有：公式法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和、倒序相

12、加法等.19我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，城市缺水尤為突出.某市為了制定合理的節(jié)水方案，從該市隨機(jī)調(diào)查了100位居民，獲得了他們某月的用水量，整理得到如圖的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值并估計(jì)樣本的眾數(shù)；（2）設(shè)該市計(jì)劃對(duì)居民生活用水試行階梯水價(jià)，即每位居民用水量不超過(guò)噸的按2元/噸收費(fèi)，超過(guò)噸不超過(guò)2噸的部分按4元/噸收費(fèi)，超過(guò)2噸的部分按照10元/噸收費(fèi).用樣本估計(jì)總體，為使75%以上居民在該月的用水價(jià)格不超過(guò)4元/噸，至少定為多少？假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替，當(dāng)時(shí)，估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi).【答案】（1）,眾數(shù)為；（2）；元.【解析】試題分析：（1）由頻率分布直方圖中

13、各矩形面積總和為列出方程可求的值；最高矩形的中點(diǎn)值即為眾數(shù)；（2）由（1）可知月用水量在0,2.5內(nèi)的頻率為0.04+0.08+0.15+0.22+0.26=0.75, 區(qū)間0,2.5的中點(diǎn)值即為所求；當(dāng)時(shí)，用矩形的右端點(diǎn)值乘以頻率再乘以相應(yīng)的水費(fèi)求和即可求出居民月平人均用水費(fèi).試題解析：（1）由頻率分布直方圖可知每段內(nèi)的頻率：0,0.5：0.04；（0.5,1：0.08；（1,1.5：0. 15； （1.5,2：0.22； （2,2.5：0.26； （2.5,3：0.5；（3,3.5：0.06；（3.5,4：0.04；（4.4.5：0.02 則由0.04+0.08+0.15+0.22+0.2

14、6+0.5+0.06+0.04+0.02=1解得，眾數(shù)為2,2.5的中點(diǎn)值2.25（2）由（1）可知月用水量在0,2.5內(nèi)的頻率為0.04+0.08+0.15+0.22+0.26=0.75，的值至少為1.25；若，當(dāng)居民月用水量在0,2時(shí)，居民該月的人均水費(fèi)為：（0.040.5+0.081+0.151.5+0.222）2=1.53當(dāng)居民月用水量在(2,2.5時(shí)，居民該月的人均水費(fèi)為：(22+0.54) 0.26=1.56當(dāng)居民月用水量在(2.5,3時(shí)，居民該月的人均水費(fèi)為：(22+14) 0.13=1.04當(dāng)居民月用水量在(3,3.5時(shí)，居民該月的人均水費(fèi)為：(22+1.54) 0.06=0.

15、6當(dāng)居民月用水量在（3.5,4時(shí)，居民該月的人均水費(fèi)為：(22+24) 0.04=0.489分當(dāng)居民月用水量在(4,4.5時(shí)，居民該月的人均水費(fèi)為：(22+24+0.510) 0.02=0.3410分居民月人均水費(fèi)為1.53+1.56+1.04+0. 6+0.48+0.34=5.55元.1【考點(diǎn)】1.頻率分布直方圖；2.用樣本估計(jì)總體.20如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，,E,F分別為的中點(diǎn)，將沿折起，使得.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】試題分析：（1）欲證平面平面，只要證面即可，由已知有,，可證面；(2)作，由已知可證為為二面角的平面角，在

16、三角形中計(jì)算各邊的長(zhǎng)度，由余弦定理求之即可；或由已知，,，,過(guò)點(diǎn)E 作軸面ABCE，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求之即可試題解析： （1）證明：由已知,面,又CF, 面, 面DCF，平面平面.(2)方法面,作，則,即為所求二面角的平面角,，9分在中，,1方法由已知，,，,過(guò)點(diǎn)E 作軸面ABCE,如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.可得：E(0，0，0),A(,0，0), C(0，1，0) ,D(),設(shè)平面DCA的法向量為，解得：，又平面DCE的法向量為，二面角E-DC-A的余弦值1【考點(diǎn)】.線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)；2.二面角的求法；3.空間向量的應(yīng)用.21平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的右焦點(diǎn)

17、為，離心率，過(guò)點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為1.（）求橢圓的方程；（）記橢圓的上,下頂點(diǎn)分別為A,B，設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓分別交于點(diǎn)，求證：直線必定過(guò)一定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（）；（）證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為.【解析】試題分析：（）由及通徑解方程組求出的值即可；（）直線方程為: ，直線方程為：，即分別與橢圓聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理可解得：,求出直線的方程化簡(jiǎn)即可.試題解析：（）由可得，因過(guò)點(diǎn)F 垂直于x軸的直線被橢圓所截得弦長(zhǎng)為，所以，橢圓方程為（）點(diǎn)的坐標(biāo)為直線方程為: ，直線方程為：，即分別與橢圓聯(lián)立方程組，可得：和，由韋達(dá)定理可解得：如果考慮消去，得到：及進(jìn)一步亦可得到直線的斜率，則直線方程為：，化簡(jiǎn)可得直線的方程為，10分恒過(guò)定點(diǎn)所以直線必過(guò)軸上的一定點(diǎn)1 【考點(diǎn)】1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)；2.直線與橢圓的位置關(guān)系.22已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，設(shè)，若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增; 當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減; 當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.【解析】試題分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分三種情況，分別討論的符號(hào)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2），因?yàn)?，?dāng)時(shí)，在單調(diào)減；，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)減.所以對(duì)任意，恒成立等價(jià)于對(duì)任意恒成立,構(gòu)造函數(shù),則對(duì)任意恒成立,即求函數(shù)單調(diào)