八上全等三角形經(jīng)典培優(yōu)習(xí)題匯集-學(xué)而思

1、全等三角形經(jīng)典習(xí)題匯集第一講全等三角形的性質(zhì)及判定【例 1】如圖， AC DE ， BC EF ， ACDE 求證：AFBD EAFDBCDC【補(bǔ)充】如圖所示：AB CD ， ABCD 求證：AD BC AB【例 2】已知：如圖，B 、 E 、 F 、 C 四點(diǎn)在同一條直線上，ABDC ， BECF ，BC 求證：OAOD ADOB EFC【補(bǔ)充】已知：如圖，ADBC ， ACBD ，求證：CD DCOAB【補(bǔ)充】如圖，在梯形 ABCD 中， AD BC ，E 為 CD 中點(diǎn)，連結(jié) AE 并延長 AE 交 BC 的延長線于點(diǎn)F 求證： FCAD ADEBFC【例 3】如圖， AB ，CD 相交

2、于點(diǎn) O ， OAOB ， E 、 F 為 CD 上兩點(diǎn)，AE BF ， CEDF 求證：AC BD ACEOFDB【補(bǔ)充】已知，如圖，ABAC ， CEAB ， BFAC ，求證： BFCE AEFBC【例 4】如圖，DCE90 ，CDCE ，ADAC ，BEAC ，垂足分別為A，B ，試說明ADABBEEABDC【例 10】如圖所示，已知 ABDC ， AEDF ， CEBF ，證明： AFDE ADCEFB【例 11】E 、F分別是正方形ABCD的BC、 CD邊上的點(diǎn)，且BECF求證：AEBFADFPBEC【補(bǔ)充】E 、 F 、 G 分別是正方形ABCD 的 BC 、 CD 、 AB 邊

3、上的點(diǎn)，GEEF ， GEEF 求證：BGCFBC ADGFBCE【例 12】在凸五邊形中，BE ，CD ， BCDE ， M 為 CD 中點(diǎn)求證：AMCD ABECMD【補(bǔ)充】如圖所示：AFCD ， BCEF ， ABDE ，AD 求證： BC EF AFBECD【例 13】（ 1）如圖， ABC的邊 AB、 AC 為邊分別向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連結(jié) EG，試判斷 ABC 與 AEG面積之間的關(guān)系，并說明理由.（ 2）園林小路，曲徑通幽，如圖所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石鋪成.已知中間的所有正方形的面積之和是a 平方米，內(nèi)圈的所有三角形的面積之和是b 平方米，

4、這條小路一共占地多少平方米？EGDAFBC【例 14】如圖， ABC 中， ABBC ， ABC90 ， D 是 AC 上一點(diǎn)， 且 CDCB AB ， DEAC 交 AB于 E 點(diǎn)求證： ADDE EB ADEBC【例 15】ABC 中，B90 ， M 為 AB 上一點(diǎn)，使得AMBC ， N 為 BC 上一點(diǎn)，使得CNBM ，連AN 、 CM 交于 P 點(diǎn)試求APM 的度數(shù)，并寫出你的推理證明的過程ADMPBNC圖3【例 16】如圖， I 是 ABC 的內(nèi)心，且CAAIBC 若BAC80 ，求ABC 和AIB 的大小CIBA【例 17】已知： BD 、CE 是ABC 的高，點(diǎn)P 在 BD 的

5、延長線上，BPAC ，點(diǎn) Q 在 CE 上， CQAB ，求證：APAQ ； APAQ PADEQBC【例 18】 如左下圖，在矩形 ABCD 中， E 為 CB 延長線上一點(diǎn)且AC CE ， F 為 AE 的中點(diǎn)求證：BFFD ABC 中， BE 、 CF 分別為邊 AC 、 AB 的高， D 為 BC 的中點(diǎn)， DMEF 于如右下圖，在M 求證： FMEM AADMEFFEBCBDC18.補(bǔ)充：如圖，已知 ABDACD 60 ，且 ADB 901BDC 求證： ABC 是2等腰三角形【例 19】如圖，ABC 為邊長是 1的等邊三角形，BDC 為頂角 (BDC ) 是 120 的等腰三角形，

6、以D 為頂點(diǎn)作一個60 角，角的兩邊分別交AB 于 M ， AC于 N ，連接 MN ，形成一個AMN 求AMN 的周長ANMBCD家庭作業(yè)【習(xí)題 1】 已知：如圖，AB DE ， AC DF ， BECF 求證： ABDE ADBECF【習(xí)題 2】 已知： DEF MNP，且 EF NP， F P， D 48， E 52， MN 12cm，求： P 的度數(shù)及 DE 的長 .【習(xí)題 3】如圖，矩形 ABCD 中， E 是 AD 上一點(diǎn)， CEEF 交 AB 于 F 點(diǎn)，若 DE2 ，矩形周長為16 ，且 CE EF ，求 AE 的長AEDFBC【習(xí)題 4】在四邊形ABCD 中， AD BC ，

7、A 的平分線AE 交 DC 于 E 求證：當(dāng)BE 是B的角平分線時，有 ADBCAB 月測備選【備選 1】 如圖所示：ABAC ， ADAE ， CD 、 BE 相交于點(diǎn) O 求證： OA 平分DAE ECOABD【備選 2】 如圖所示，在 ABC 中， ADBC 于點(diǎn) D ，B2C 求證：ABBDCD ACDB【備選 3】 如圖， ABC中， D 是 BC的中點(diǎn)，過 D 點(diǎn)的直線 GF 交 AC 于 F，交 AC 的平行線 BG 于 G 點(diǎn)， DE DF，交 AB 于點(diǎn) E，連結(jié) EG、 EF.（ 1）求證： BG CF.（ 2）請你判斷 BE+CF與 EF的大小關(guān)系，并說明理由 .AFEB

8、DCG第二講全等三角形與中點(diǎn)問題版塊一倍長中線A【例 1】 在 ABC 中， AB5, AC9 ，則 BC 邊上的中線AD 的長的取值范圍是什么？BDCA【補(bǔ)充】已知：ABC 中， AD 是中線求證：1AD( AB AC ) 2BDC【例 2】 已知：如圖，梯形ABCD 中， AD BC ，點(diǎn) E 是 CD 的中點(diǎn)， BE 的延長線與AD 的延長線相交于點(diǎn) F 求證：BCE FDE ADFEBC【例 3】 如圖， 在ABC 中， D 是 BC 邊的中點(diǎn)，F(xiàn) ， E 分別是 AD 及其延長線上的點(diǎn)，CF BE 求證：BDE CDF AFBCDE【例 4】 如圖，ABC 中， ABAC ， AD

9、是中線求證：ADAC DAB BCDA【例 5】 如圖，已知在ABC 中， AD 是 BC 邊上的中線，E 是 AD 上一點(diǎn)，延F長 BE 交 AC 于 F ， AF EF ，求證： AC BE EBDC【例 6】 如圖所示，在ABC 和A B C 中， AD 、 A D 分別是 BC 、 B C 上的中線，且AB A B ，AC A C ，AD A D， 求 證AAABC A B C BDCBDC【例 7】 如圖，在 ABC 中， AD 交 BC 于點(diǎn) D，點(diǎn) E 是 BC 中點(diǎn)， EF AD 交 CA 的延長線于點(diǎn)F ，交 EF于點(diǎn) G ，若 BG CF ，求證： AD 為ABC 的角平分

10、線FAGBEDC【例 8】 已知 AD 為ABC 的中線，ADB ，ADC 的平分線分別交AB 于 E 、交 AC 于 F 求證：BECFEF AEFBDC【例 9】 在 Rt ABC 中， A 90 ，點(diǎn) D 為 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 、F 分別為 AB 、AC 上的點(diǎn)，且 ED FD 以線段 BE 、 EF 、 FC 為邊能否構(gòu)成一個三角形？若能，該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？AEFBCD【例 10】已知 ABC， B= C，D，E 分別是AB 及AC 延長線上的一點(diǎn)，且BD=CE，連接DE交底BC于G，求證 GD=GEADCBGE【例 11】如圖所示，在ABC 中， D

11、是 BC 的中點(diǎn)， DM垂直于 DN ，如果 BM 2CN 2DM 2DN 2 ，求證 AD 21AB 2AC 2 ( 勾股定理的內(nèi)容，選做)A4MNBDC【例 10】在 Rt ABC 中， F 是斜邊 AB 的中點(diǎn)， D 、E 分別在邊 CA 、CB 上，滿足 DFE90 若 AD3 ，BE 4 ，則線段 DE 的長度為 _ADFGCEB圖 6家庭作業(yè)【習(xí)題1】 如圖，在等腰求證：EDBABC 中， ABFDC AC ，D 是 BC的中點(diǎn)，過A 作AEDE ，AFDF，且 AEAF AEFABDCFE【習(xí)題 2】 如圖，已知在ABC 中， AD 是 BC 邊上的中線，E 是 AD 上一點(diǎn)，且

12、BEAC ，延長 BE 交 AC 于 F ， AF 與 EF 相等嗎？為什么？BCD【習(xí)題3】 如右下圖，在ABC中，若B2C ，ADBC ，E 為 BC邊的中點(diǎn)求證：AB2DE ABDEC【備選1】如圖，已知AB=DC， AD=BC，O 是 BD 中點(diǎn)，過求證： E= FO 點(diǎn)的直線分別交DA、 BC的延長線于E， F【備選 2】如圖，ABC 中， AB AC ，BAC 90， D 是 BC 中點(diǎn)， EDFD ， ED 與 AB 交于 E ， FD與 AC交于 F 求證： BEAF ， AECF AFEBDC第三講全等三角形與角平分線問題【例 1】 在ABC 中， D 為 BC 邊上的點(diǎn)，已

13、知BADCAD ， BDCD ，求證：ABAC ABDC【例 2】 已知ABC 中， ABAC ， BE 、 CD 分別是ABC 及ACB 平分線求證：CDBE ADEBC【例 3】 如圖， 在ABC 中，B60 ， AD 、CE 分別平分BAC 、BCA ，且 AD 與 CE 的交點(diǎn)為 F 求證： FEFD AEFBCD【例 4】 如圖，已知ABC 的周長是21，OB ，OC 分別平分ABC 和ACB ，ODBC 于 D ，且 OD3 ，求 ABC 的面積AOBCD【補(bǔ)充】如圖所示：ABAC ， ADAE ， CD 、 BE 相交于點(diǎn) O 求證： OA 平分DAE ECOABD【例 5】 已

14、知ABC 中，A60 ，BD 、CE 分別平分ABC 和ACB ， BD 、CE 交于點(diǎn) O ，試判斷 BE 、CD 、 BC 的數(shù)量關(guān)系，并加以證明AEODBC【例 6】 如圖，已知E 是 AC 上的一點(diǎn)，又12 ，34 求證： EDEB D1AC34E2B【例 7】 如圖所示，OP 是AOC 和BOD 的平分線， OAOC ， OBOD 求證：ABCD OABP DC【例 8】 如圖所示， 已知ABC 中， AD 平分BAC ，E 、F 分別在 BD 、AD 上 DECD ，EF AC 求證： EF ABAFBEDC【例 10】如圖，在四邊形ABCD 中， AC 平分BAD ，過 C 作

15、CEAB于E ，并且 AE1( AB AD ) ，則2ABCADC 等于多少？DCAEB【補(bǔ)充】長方形 ABCD 中， AB=4， BC=7， BAD 的角平分線交BC 于點(diǎn) E， EF ED 交 AB 于 F ，則EF =_ADFBEC【補(bǔ)充】在ABC 中， ABAC ，AD 是BAC 的平分線 P 是 AD 上任意一點(diǎn) 求證： ABACPBPC APBDC【例 11】如圖，在ABC 中，B2C ，BAC 的平分線AD 交 BC 與 D 求證： ABBDAC ABDC【例 12】如圖，ABC 中， ABAC ，A108 ， BD 平分ABC 交 AC 于 D 點(diǎn)求證： BCACCD ADBC

16、【鞏固】已知等腰ABC ，A100 ，ABC 的平分線交AC 于 D ，則 BDADBC ADBC【例 13】如圖所示，在ABC 中， AD 平分BAC ， ADAB ， CMAD 于 M ，求證 ABAC2AM ABDCM【例 14】如圖，ABC于 E 求證：中， ADABAC ， BD 、 CEAE 分別為兩底角的外角平分線，ADBD 于 D ，AECEADEGBCH【例 15】如 圖，A探討線段探討線段D180 ， BE 平分ABC ， CEAB 、 CD 和 BC 之間的等量關(guān)系BE 與 CE 之間的位置關(guān)系平分BCD，點(diǎn)E 在AD 上DEABC家庭作業(yè)【習(xí)題 2】如圖，在ABC 中，

17、 ABBDAC ，BAC 的平分線AD 交 BC 與 D 求證：B2C ABDC【習(xí)題 3】是ABC 的角平分線，BEAD交AD的延長線于E，EF AC 交AB于F求證：AFFBADACFDBE【習(xí)題 4】如圖所示， AD 平行于 BC，DAE=EAB ，ABE=EBC ， AD=4， BC=2，那么 AB=_【習(xí)題 5】 ABC 中，D為 BC 中點(diǎn)，DEBC 交BAC 的平分線于點(diǎn)E，AB于FEG AC 于 G 求EF證： BFCG AFBDCGE月測備選【備選 1】在ABC 中， AD 平分BAC ， ABBDAC 求B :C 的值A(chǔ)BDC【備選 2】如圖，已知在ABC 中，ABC3C

18、，12 ， BEAE 求證：ACAB2 BE A21EBC【備選3】如圖所示，在四邊形的平分線時，有ADABCDBC中， AD BCAB ，A 的平分線AE 交DC 于 E ，求證：當(dāng)BE 是BDECAB第四講全等三角形與旋轉(zhuǎn)問題【例 1】 已知：如圖，點(diǎn)C 為線段 AB 上一點(diǎn)，ACM 、CBN 是等邊三角形 （ 1）求證：ANBM NMACB（ 2）求證： CD=CENMDEACB(3) 求證： CF平分 MCNNMFDEACB（ 4） 求證： DE ABNMFDEACB【例 2】 如圖，四邊形ABCD 、 DEFG 都是正方形，連接AE 、 CG 求證：AECG GFABDEC【例 3】

19、 如圖，等邊三角形ABC 與等邊DEC 共頂點(diǎn)于 C 點(diǎn)求證：AEBD AEDBC【例 4】 如圖， D 是等邊 ABC 內(nèi)的一點(diǎn)，且 BD AD ， BP AB ， DBP DBC ，問 BPD 的度數(shù)是否一定，若一定，求它的度數(shù)；若不一定，說明理由APDBC【例 5】 如圖， 等腰直角三角形ABC 中， B90 ， ABa ，O 為 AC 中點(diǎn)， EO OF 求證： BE BF為定值A(chǔ)EOBFC【補(bǔ)充】如圖，正方形OGHK 繞正方形 ABCD 中點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)，其交點(diǎn)為E 、 F ，求證： AECFAB GADE 134O5H2CBFK【例 6】 ( 2004 河北 ) 如圖，已知點(diǎn)E 是正

20、方形ABCD 的邊 CD 上一點(diǎn)，點(diǎn)F 是 CB 的延長線上一點(diǎn)，且EAAF 求證： DEBF ADEFBC【補(bǔ)充】如圖所示， 在四邊形 ABCD 中， ADCABC 90 ，ADCD ，DPAB 于 P ，若四邊形 ABCD的面積是 16，求 DP 的長DCAPB【例 7】E 、 F 分別是正方形 ABCD 的邊 BC 、 CD 上的點(diǎn)，且 EAF 45， AHEF ， H 為垂足，求證： AH AB ADFH【鞏固】 如圖，正方形 ABCD 的邊長為 1，點(diǎn) F 在線段 CD 上運(yùn)動， AE 平分BAFBEC交 BC 邊于點(diǎn) E 求證： AF DF BE 設(shè) DF x ( 0 x 1 )

21、， ADF 與ABE 的面積和 S 是否存在最大值？若存在，求出此時x 的值及 S 若不存在，請說明理由ADFBEC【補(bǔ)充】 ( 1) 如圖，在四邊形 ABCD中， ABAD， B D 90 ， E、F 分別是邊 BC、CD 上的點(diǎn)，且 EAF=1 BAD求證： EFBE FD;2ADFBEC( 2)如圖 ，在四邊形ABCD中， ABAD，B+ D 180， E、F 分別是邊 BC、CD上的點(diǎn)，且 EAF=1 BAD， ( 1) 中的結(jié)論是否仍然成立？不用證明2ABDEFC家庭作業(yè)【習(xí)題1】 如圖，已知ABC和ADE 都是等邊三角形，B 、C 、 D 在一條直線上，試說明CE與ACCD相等的理

22、由EABCD【習(xí)題2】 ( 湖北省黃岡市一點(diǎn)，過點(diǎn)D 作2008 DF年初中畢業(yè)生升學(xué)考試DE 交 BC 的延長線于點(diǎn)) 已知：如圖，點(diǎn) E 是正方形F 求證： DEDF ABCD的邊AB 上任意ADEBFC【習(xí)題 3】 在梯形 ABCD 中， AB CD ， A 90 ， AB 2 ， BC 3 ，CD 1 ， E 是 AD 中點(diǎn)，試判斷 EC 與 EB 的位置關(guān)系，并寫出推理過程DCEAB【習(xí)題 4】 已知：如圖，點(diǎn) C 為線段 AB 上一點(diǎn)，ACM 、CBN 是等邊三角形CG 、CH 分別是ACN 、MCB的高求證：CGCH NMHGACB月測備選【備選 1】 在等腰直角ABC 中，AC

23、B90 ， ACBC ， M 是 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn)P 從 B 出發(fā)向 C 運(yùn)動，MQMP交 AC 于點(diǎn) Q ，試說明MPQ 的形狀和面積將如何變化AMQCPB【備選 2】 如圖，正方形ABCD 中，F(xiàn)ADFAE 求證： BEDFAE ADFBEC【備選3】 等邊點(diǎn)，滿足ABD 和等邊AECFCBD 1 ，當(dāng)?shù)倪呴L均為1， E 是E、 F 移動時，試判斷BEAD 上異于BEF 的形狀A(yù)、 D 的任意一點(diǎn)，F(xiàn)是 CD上一DFEACB第五講軸對稱和等腰三角形A【例 1】 在ABC中，ABAC ， BCBDEDEA 求A EBDCA【補(bǔ)充】在ABC 中， ABAC ， BCBD ， ADEDEB 求A

24、 DEBC【例 2】ABC 的兩邊 AB 和 AC 的垂直平分線分別交BC 于 D 、E ，若BACDAE150 ，求BAC ABDEC【例 3】 如圖，點(diǎn)O 是等邊 AO向旋轉(zhuǎn) 190 AOD 是等腰三角形？AD 內(nèi)一點(diǎn)，60得 ADCAOB ，連接110 ，BOCOD ，則 COD將 BOC是等邊三角形；當(dāng)繞點(diǎn)C 按順時針方為多少度時，ADOBC【例 4】 如圖，在ABC 中，BC ，D 在 BC 上，BAD50 ，在 AC 上取一點(diǎn)E ，使得ADEAED ，求 EDC 的度數(shù)AEBDC【例 5】 如圖，ABC連接 CE, DE為等邊三角形， 延長 BC 到 D ，又延長，求證：CDE 為

25、等腰三角形BA 到 E ，使 AEBD ，EABCD【例 6】 如圖，在ABC 中，B ， C 為銳角， M , N , D 分別為邊AB 、 AC 、BC 上的點(diǎn)，滿足 AMAN ，BDDC ，且BDMCDN 求證：ABAC AMNBDC板塊三、軸對稱在幾何最值問題中的應(yīng)用【例 7】 已知點(diǎn) A 在直線 l 外，點(diǎn) P 為直線 l 上的一個動點(diǎn)，探究是否存A在一個定點(diǎn) B ，當(dāng)點(diǎn) P 在直線 l 上運(yùn)動時， 點(diǎn) P 與 A 、 B 兩點(diǎn)的PB ；若不存在，請說明理距離總相等，如果存在，請作出定點(diǎn)l由【例 8】 如圖， 在公路 a 的同旁有兩個倉庫A 、 B ，現(xiàn)需要建一貨物中轉(zhuǎn)站，要求到 A

26、 、B 兩倉庫的距離和最短，這個中轉(zhuǎn)站M 應(yīng)建在公路旁的哪個位置比較合理？ABa【例 9】 如圖， AOB 45 ，角內(nèi)有點(diǎn) P，在角的兩邊有兩點(diǎn)Q 、 R ( 均A不同于 O 點(diǎn)) ，求作 Q 、 R ，使得PQR 的周長的最小PBCMNAB【補(bǔ)充】如圖，M 、 N 為ABC 的邊 AC 、 BC 上的兩個定點(diǎn)，在AB 上求一點(diǎn) P ，使PMN 的周長最短【例 10】已知如圖， 點(diǎn) M 在銳角 AOB 的內(nèi)部， 在 OB 邊上求作一點(diǎn) P ，使點(diǎn) P 到點(diǎn) M 的距離與點(diǎn) P 到 OA 的邊的距離和最小AOMB【補(bǔ)充】已知： A 、 B 兩點(diǎn)在直線 l 的同側(cè)，在 l 上求作一點(diǎn)M ，使得B

27、| AM BM | 最小Al【補(bǔ)充】已知： A 、B 兩點(diǎn)在直線 l 的同側(cè)，在 l 上求作一點(diǎn) M ，使得 | AMBM |最大【例 11】如 圖，正方形 ABCD 中， AB 8 ， M 是 DC 上的一點(diǎn)，且 DM 2 ， N 是 AC 上的一動點(diǎn)，求 DN MN 的最小值與最大值A(chǔ)DMNBC【補(bǔ)充】例題中的條件不變，求DNMN 的最小值與最大值【補(bǔ)充】 如圖，已知正方形ABCD 的邊長為8， M 在 DC 上，且 DM2 ， N 是 AC 上的一個動點(diǎn)，則DNMN 的最小值是ADMBC家庭作業(yè)【習(xí)題 1】 ( 2007 雙柏中考 ) 等腰三角形的兩邊長分別為4 和 9，則第三邊長為【習(xí)題 2】 等腰三角形一腰上的中線把這個三角形的周長分成12cm 和 21cm 兩部分，則這個等腰三角形的底邊的長為 ()A 17cmB 5cmC 17cm 或 5cmD無法確定【習(xí)題 3】 已知等腰三角形的周長為20，腰長為 x ，求 x 的取值范圍【習(xí)題 4】 ( 2004 天津 ) 在下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的