不定方程解應(yīng)用題

1、不定方程解應(yīng)用題(二)采購(gòu)員用一張1萬(wàn)元支票去購(gòu)物。購(gòu)單價(jià)590元的A種物若干，又買單價(jià)670元的B種物若干，其中B種個(gè)數(shù)多于A種個(gè)數(shù)，找回了幾張100元和幾張10元的(10元的不超過9張)。如把購(gòu)A種物品和B種物品的個(gè)數(shù)互換，找回的100元和10元的鈔票張數(shù)也恰好相反。問購(gòu)A物幾個(gè)，B物幾個(gè)？解：設(shè)購(gòu)A種物x個(gè)，購(gòu)B種物為xy個(gè)，并設(shè)第一次購(gòu)物找回r張100元，s張10元，則這是4個(gè)未知數(shù)，2個(gè)方程的不定方程組。解方程時(shí)，方程變形的一些法則(方程兩邊同時(shí)乘或除以不為0的數(shù)，方程不變；方程兩邊同時(shí)加或減一個(gè)數(shù)，方程不變)仍適用。先將(1) (2)兩邊約去10，得由于(3) (4)式的右邊都等于

2、1000，因此它們相等，整理后得8y9r9s0，再在方程兩邊同時(shí)加上9s9r，得：8y9(sr)由于y是大于0的整數(shù)，所以sr也是整數(shù)0。因此89(sr)，98y。應(yīng)有，k為大于0的整數(shù)。但是s是10元錢的張數(shù)，s9，r是100元錢的張數(shù)，所以k1，因此y9，sr8。顯然s9，r1。代回(3)式：得到x3。所以：x3，xy3912，r1，s9。采購(gòu)員購(gòu)A物3件，B物12件，找回1張100元，9張10元。 1、有一捆樹苗，每人種6棵還余4棵，每人種5棵還余3棵，這捆樹苗最少多少棵？2、李家和王家共養(yǎng)521頭牛，李家的牛群中有67%是母牛，而王家的牛群中僅有113是母牛，李家和王家各養(yǎng)多少頭牛？3

3、、一名學(xué)生去商店買足球，足球23元錢一只，若該生身上的鈔票都是2元一張的，而商店的鈔票都是5元一張的，試問學(xué)生應(yīng)該怎么付錢？4、A、B、C三個(gè)微型機(jī)器人圍繞一個(gè)圓形軌道高速運(yùn)動(dòng)，它們順時(shí)針同時(shí)同地出發(fā)后，A在2秒鐘時(shí)追上B，2.5秒鐘時(shí)追上C，當(dāng)c追上B時(shí)，C和B的運(yùn)動(dòng)路程之比是3：2，問第一分鐘時(shí)，A圍繞這個(gè)圓形軌道運(yùn)動(dòng)了多少圈？5、設(shè)有一框蘋果，把它們?nèi)确趾筮€剩1個(gè)蘋果，取出其中兩份后，將它們五等分后還剩4個(gè)蘋果，然后再取出其中三份，將它們四等分后還剩2個(gè)蘋果，問這框蘋果至少有幾個(gè)？6、某校在向“希望工程”捐款活動(dòng)中，甲班的m位男生和11位的捐款總數(shù)與乙班的9位男生和n位女生的捐款總數(shù)相

4、等，都是（mn+9m+11n+145）元，已知每人的捐款數(shù)相同，且都是整數(shù)元，求每人的捐款數(shù)韓信點(diǎn)兵和不定方程和書的作者不詳，但后來經(jīng)過宋朝數(shù)學(xué)家秦九韶的推廣，又發(fā)現(xiàn)了一種算法，叫做“大衍求一術(shù)”。在中國(guó)還流傳著這么一首歌訣： 三人同行七十稀， 王樹梅花甘一枝， 七子團(tuán)圓正半月， 除百零五便得知。它的意思是說：將某數(shù)（正整數(shù)）除以3所得的余數(shù)乘以70，除以5所得的余數(shù)乘以21，除以7所得的余數(shù)乘以15，再將所得的三個(gè)積相加，并逐次減去105，減到差小于105為止。 所得結(jié)果就是某數(shù)的最小正整數(shù)值。用這首歌訣來計(jì)算上面的“韓信點(diǎn)兵”問題，我們便得到以下的算式： 170+221+215=142，

5、142105=37，即這群士兵共有37名。孫子算經(jīng)上還有一道極其有名的“物不知數(shù)”問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，七七數(shù)之余二，問物幾何?！庇蒙厦娴母柙E來算，便得到算式： 270+321+215=233， 2331052=23，即所求物品最少是23件。上面的“韓信點(diǎn)兵”問題，我們可以表示成方程或方程組。設(shè)士兵共有m名。m除以3，5，7所得的商分別為x，y,z，那么由題意，有這是一個(gè)“未知數(shù)的個(gè)數(shù)（這里有m，x，y，z共4個(gè)）多于方程的個(gè)數(shù)（這里有3個(gè)）”的方程組。它可以合并成一個(gè)方程（將3個(gè)方程相加） 3x+5y+7z+5=3m。這個(gè)方程中含有2個(gè)或2個(gè)以上的未知數(shù)。我們把這樣的方程叫做不定方程，把前面這樣的方程組叫做不定方程組。這個(gè)不定方程組還可以寫成 3x+1=5y+2=7z+2=m的形式。上面所例舉的方程或方程組都有無(wú)限多個(gè)正整數(shù)解（這是因?yàn)榉匠袒蚍匠探M本身沒有ml00的限制，所以取m=37，37+105，37+1052，代入方程組，就可以得到相應(yīng)的各組x，y，z的值，例如 。第 2 頁(yè)等等，都是方程組的解）。也就是說，方程或方程組的解不都是唯一確定的，這便是“不定方程”和“不定方程組”中“不定”兩字的由來。我國(guó)著名的