數(shù)值分析計算方法試題集及答案

1、數(shù)值分析復(fù)習(xí)試題第一章 緒論一. 填空題1.為精確值的近似值；為一元函數(shù)的近似值；為二元函數(shù)的近似值，請寫出下面的公式： 1、2、 計算方法實際計算時，對數(shù)據(jù)只能取有限位表示，這時所產(chǎn)生的誤差叫 舍入誤差 。3、 分別用2.718281，2.718282作數(shù)e的近似值，則其有效數(shù)字分別有 6 位和 7 位；又?。ㄈ挥行?shù)字），則。4、 設(shè)均具有3位有效數(shù)字，則的相對誤差限為 0.0055 。5、 設(shè)均具有3位有效數(shù)字，則的誤差限為 0.01 。6、 已知近似值是由真值經(jīng)四舍五入得到,則相對誤差限為 0.0000204 .7、 遞推公式如果取作計算,則計算到時,誤差為;這個計算公式數(shù)值穩(wěn)定不穩(wěn)

2、定 不穩(wěn)定 .8、 精確值，則近似值和分別有 3 位和 4 位有效數(shù)字。9、 若,則x有 6 位有效數(shù)字，其絕對誤差限為1/2*10-5 。10、 設(shè)x*的相對誤差為2，求(x*)n的相對誤差0.02n11、近似值關(guān)于真值有( 2 )位有效數(shù)字；12、計算方法主要研究( 截斷 )誤差和( 舍入 )誤差；13、為了使計算 的乘除法次數(shù)盡量地少，應(yīng)將該表達式改寫為，為了減少舍入誤差，應(yīng)將表達式改寫為 。14、改變函數(shù) ()的形式，使計算結(jié)果較精確 。15、設(shè) ，取5位有效數(shù)字，則所得的近似值x=_2.3150_.16、 已知數(shù) e=2.718281828.,取近似值 x=2.7182,那麼x具有的

3、有效數(shù)字是 4 。二、單項選擇題：1、舍入誤差是( A )產(chǎn)生的誤差。A. 只取有限位數(shù) B模型準確值與用數(shù)值方法求得的準確值C 觀察與測量 D數(shù)學(xué)模型準確值與實際值2、3.141580是的有( B )位有效數(shù)字的近似值。 A 6 B 5 C 4 D 7 3、用 1+x近似表示ex所產(chǎn)生的誤差是( C )誤差。A 模型 B 觀測 C 截斷 D 舍入 4、用1+近似表示所產(chǎn)生的誤差是( D )誤差。 A 舍入 B 觀測 C 模型 D 截斷5、-3247500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效數(shù)字。 A 5 B 6 C 7 D 86、( D )的3位有效數(shù)字是0.236102。(A) 0.0

4、023549103 (B) 2354.82102 (C) 235.418 (D) 235.541017、取計算，下列方法中哪種最好？（C）(A)； (B)； (C) ； (D) 。三、計算題1. 有一個長方形水池,由測量知長為(500.01)米,寬為(250.01)米,深為(200.01)米,試按所給數(shù)據(jù)求出該水池的容積,并分析所得近似值的絕對誤差和相對誤差公式,并求出絕對誤差限和相對誤差限.解：設(shè)長方形水池的長為L，寬為W,深為H，則該水池的面積為V=LWH當L=50,W=25,H=20時，有 V=50*25*20=25000(米3)此時，該近似值的絕對誤差可估計為相對誤差可估計為：而已知該

5、水池的長、寬和高的數(shù)據(jù)的絕對誤差滿足故求得該水池容積的絕對誤差限和相對誤差限分別為2.已知測量某長方形場地的長a=110米,寬b=80米.若試求其面積的絕對誤差限和相對誤差限.解：設(shè)長方形的面積為s=ab當a=110,b=80時，有 s=110*80=8800(米2)此時，該近似值的絕對誤差可估計為相對誤差可估計為：而已知長方形長、寬的數(shù)據(jù)的絕對誤差滿足故求得該長方形的絕對誤差限和相對誤差限分別為絕對誤差限為19.0；相對誤差限為0.002159。3、設(shè)x*的相對誤差為2，求(x*)n的相對誤差4、計算球體積要使相對誤差為1%，問度量半徑R允許的相對誤差限是多少？解：令，根據(jù)一元函數(shù)相對誤差估

6、計公式，得 從而得 5.正方形的邊長大約為100cm，問怎樣測量才能使面積的誤差不超過1cm2n解：da=ds/(2a)=1cm2/(2*100)cm=0.5*10-2cm,即邊長a的誤差不超過0.005cm時，才能保證其面積誤差不超過1平方厘米。6假設(shè)測得一個圓柱體容器的底面半徑和高分別為50.00m和100.00m，且已知其測量誤差為0.005m。試估計由此算得的容積的絕對誤差和相對誤差。解：=2*3.1415926*50*100*0.005=157.0796325=2=0.0002第二章 插值法一、填空題：1.設(shè)xi(i=0,1,2,3,4)為互異節(jié)點，li(x)為相應(yīng)的四次插值基函數(shù)，

7、則(x4+2).2.設(shè)xi(i=0,1,2,3,4，5)為互異節(jié)點，li(x)為相應(yīng)的五次插值基函數(shù)，則=3.已知4.。5.設(shè)則3, =06.設(shè)和節(jié)點則= 4.7.設(shè)則的二次牛頓插值多項式為 0+16(x-0)+7(x-0)(x-1) 。8.如有下列表函數(shù):0.20.30.40.040.090.16則一次差商= 0.6 。9、2、，則過這三點的二次插值多項式中的系數(shù)為 -2 ，拉格朗日插值多項式為,或10、對,差商( 1 ),( 0 )；11、已知f(1)2，f(2)3，f(4)5.9，則二次Newton插值多項式中x2系數(shù)為( 0.15 )；12、設(shè),則，的二次牛頓插值多項式為。13、是以整

8、數(shù)點為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則= 1 ，= ，當時( )。14、設(shè)一階差商 ， 則二階差商 15、通過四個互異節(jié)點的插值多項式p(x),只要滿足三階均差為0，則p(x)是不超過二次的多項式16、若，則差商 3 。二、單項選擇題：1、設(shè)f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,則拋物插值多項式中x2的系數(shù)為( A )。 A 05 B 05 C 2 D -22、拉格朗日插值多項式的余項是( B ),牛頓插值多項式的余項是( C ) 。(A) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(B) (C) f(x,x0,x1,x2,xn)(xx0)(x

9、x1)(xx2)(xxn1)(xxn)，(D) 3、有下列數(shù)表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所確定的插值多項式的次數(shù)是（ A ）。（A）二次； （B）三次； （C）四次； （D）五次4、由下列數(shù)表進行Newton插值，所確定的插值多項式的最高次數(shù)是（D）1.52.53.5-10.52.55.08.011.5(A)； (B)； (C) ； (D) 。5、設(shè)是以為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)，則( C )(A)； （B）； （C）； （D）。 6、由下列數(shù)據(jù)012341243-5確定的唯一插值多項式的次數(shù)為( A )(A) 4； (B)2； (C)1；

10、(D)3。三、問答題1.什么是Lagrange插值基函數(shù)?它們有什么特性？答：插值基函數(shù)是滿足插值條件的n次插值多項式，它可表示為并有以下性質(zhì)， 2.給定插值點可分別構(gòu)造Lagrange插值多項式和Newton插值多項式，它們是否相同？為什么?它們各有何優(yōu)點？答：給定插值點后構(gòu)造的Lagrange多項式為 Newton插值多項式為它們形式不同但都滿足條件,于是它表明n次多項式 有n+1個零點，這與n次多項式只有n個零點矛盾，故即與是相同的。 是用基函數(shù)表達的，便于研究方法的穩(wěn)定性和收斂性等理論研究和應(yīng)用，但不便于計算，而 每增加一個插值點就增加一項前面計算都有效，因此較適合于計算。 3.Her

11、mite插值與Lagrange插值公式的構(gòu)造與余項表達式有何異同？答：Hermite插值的插值點除滿足函數(shù)值條件外還有導(dǎo)數(shù)值條件比Lagrange插值復(fù)什一些，但它們都用基函數(shù)方法構(gòu)造，余項表達式也相似，對Lagrange插值余項表達式為，而Hermite插值余項在有條件的點看作重節(jié)點，多一個條件相當于多一點，若一共有m+1個條件，則余項中前面因子為 后面相因子改為即可得到Hermite插值余項。四、計算題1、設(shè),求差商解：，故根據(jù)差商的性質(zhì)，得2、求滿足下列條件的埃爾米特插值多項式: 解：根據(jù)已知條件可求得代入埃爾米特三次插值多項式公式3、如有下列表函數(shù):0123436111827試計算此列

12、表函數(shù)的差分表,并給出它的牛頓插值多項式及余項公式.解：查分表如下：03163211513187104279100N4(x)=3+3(x-0)+1*(x-0)(x-1)=x2+2x+3,0x14、給出的函數(shù)表如下：0.400.500.600.700.9162910.6931470.5108260.356675試用線性插值和拋物插值求的近似值。5已知x-112F（x）31-1 請依據(jù)上述數(shù)據(jù)求f(x)的2次Lagrange插值多項式。6.用插值法求滿足以下條件的不超過三次的插值多項式 f(0)=1,f(1)=2,f (2)=9,f(1)=3,并寫出插值余項。 解：根據(jù)Lagrange插值多項式和

13、Newton插值多項式得出 設(shè)待插值函數(shù)為： 根據(jù)得參數(shù)則 插值余項為：7、 已知13452654分別用拉格朗日插值法和牛頓插值法求的三次插值多項式，并求的近似值（保留四位小數(shù)）。答案： 差商表為一階均差二階均差三階均差1236245-1-154-10 8、已知區(qū)間0.4，0.8的函數(shù)表0.4 0.5 0.6 0.7 0.80.38942 0.47943 0.56464 0.64422 0.71736如用二次插值求的近似值，如何選擇節(jié)點才能使誤差最?。坎⑶笤摻浦?。答案：解： 應(yīng)選三個節(jié)點，使誤差 盡量小，即應(yīng)使盡量小，最靠近插值點的三個節(jié)點滿足上述要求。即取節(jié)點最好，實際計算結(jié)果， 且 9、

14、取節(jié)點,求函數(shù)在區(qū)間0,1上的二次插值多項式,并估計誤差。解： 又 故截斷誤差 。10、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多項式及f (1，5)的近似值，取五位小數(shù)。解：11、(12分)以100,121,144為插值節(jié)點，用插值法計算的近似值，并利用余項估計誤差。用Newton插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.000094113610+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.722755512、(10分)已知下列函數(shù)表：012313927

15、(1)寫出相應(yīng)的三次Lagrange插值多項式；(2)作均差表，寫出相應(yīng)的三次Newton插值多項式，并計算的近似值。解：（1） （2）均差表： 13、 已知y=f（x）的數(shù)據(jù)如下 x 0 2 3 f（x） 1 3 2 求二次插值多項式 及f（2.5）解： 14、設(shè) （1）試求 在 上的三次Hermite插值多項式H（x）使?jié)M足 H（x）以升冪形式給出。（2）寫出余項 的表達式 解 （1） （2） 第四章 數(shù)值積分一、填空題1、求，利用梯形公式的計算結(jié)果為 2.5 ，利用辛卜生公式的計算結(jié)果為2.333 。2 n次插值型求積公式至少具有 n 次代數(shù)精度，如果n為偶數(shù)，則有 n+1 次代數(shù)精度。

16、3 梯形公式具有1次代數(shù)精度，Simpson公式有 3 次代數(shù)精度。4.插值型求積公式的求積系數(shù)之和 b-a 。5、 計算積分,取4位有效數(shù)字。用梯形公式計算求得的近似值為 0.4268 ，用辛卜生公式計算求得的近似值為 0.4309 ，梯形公式的代數(shù)精度為 1 ，辛卜生公式的代數(shù)精度為 3 。6、 已知f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求積公式求( 12 )。7、 設(shè)f (1)=1， f(2)=2，f (3)=0，用三點式求( 2.5 )。8、若用復(fù)化梯形公式計算，要求誤差不超過，利用余項公式估計，至少用 477個求積節(jié)點。9、數(shù)值積分公式的代數(shù)精度為 2 。10、已

17、知，則用辛普生（辛卜生）公式計算求得,用三點式求得 。答案：2.367，0.2510、 數(shù)值微分中，已知等距節(jié)點的函數(shù)值 ， 則由三點的求導(dǎo)公式，有 11、 對于n+1個節(jié)點的插值求積公式 至少具有n次代數(shù)精度. 二、單項選擇題：1、等距二點求導(dǎo)公式f(x1) ( A )。2、在牛頓-柯特斯求積公式：中，當系數(shù)是負值時，公式的穩(wěn)定性不能保證，所以實際應(yīng)用中，當（ A ）時的牛頓-柯特斯求積公式不使用。（A）， （B）， （C）， （D），三、問答題1.什么是求積公式的代數(shù)精確度？如何利用代數(shù)精確度的概念去確定求積公式中的待定參數(shù)？答：一個求積公式如果當為任意m次多項式時，求積公式精確成立，而當

18、為次數(shù)大于m次多項式時，它不精確成立，則稱此求積公式具有m次代數(shù)精確度。根據(jù)定義只要令代入求積公式兩端，公式成立，得含待定參數(shù)的m+1個方程的方程組，這里m+1為待定參數(shù)個數(shù)，解此方程組則為所求。 四、計算題1、確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指明求積公式所具有的代數(shù)精確度. (1) 解：本題直接利用求積公式精確度定義，則可突出求積公式的參數(shù)。 令代入公式兩端并使其相等，得解此方程組得，于是有再令，得故求積公式具有3次代數(shù)精確度。（2）（3） 解：令代入公式精確成立，得解得，得求積公式對 故求積公式具有2次代數(shù)精確度。2.求積公式，已知其余項表達式為，試確定系數(shù)，使該求積

19、公式具有盡可能高的代數(shù)精度，并給出代數(shù)精度的次數(shù)及求積公式余項。7.3、根據(jù)下面給出的函數(shù)的數(shù)據(jù)表，分別用復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛甫生公式計算 xk0.0000.1250.2500.3750.500f(xk)10.997397840.989615840.976726750.95885108xk0.6250.7500.8751.000f(xk)0.936155630.908851680.877192570.84147098解 用復(fù)合梯形公式,這里n=8,用復(fù)合辛甫生公式: 這里n=4,.可得 4、求A、B使求積公式的代數(shù)精度盡量高,并求其代數(shù)精度；利用此公式求(保留四位小數(shù))。答案：是精確成立，即

20、得求積公式為當時，公式顯然精確成立；當時，左=，右=。所以代數(shù)精度為3。 5、n=3,用復(fù)合梯形公式求的近似值（取四位小數(shù)）,并求誤差估計。解：，時，至少有兩位有效數(shù)字。6、（15分）用的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化 Simpson公式）計算時，試用余項估計其誤差。用的復(fù)化梯形公式（或復(fù)化 Simpson公式）計算出該積分的近似值。解：7、（10分）已知數(shù)值積分公式為： ，試確定積分公式中的參數(shù)，使其代數(shù)精確度盡量高，并指出其代數(shù)精確度的次數(shù)。解：顯然精確成立； 時，；時，；時，；時，；所以，其代數(shù)精確度為3。8、(10分)用復(fù)化Simpson公式計算積分的近似值，要求誤差限為。 或利用余項： ，9、

21、（9分）數(shù)值求積公式是否為插值型求積公式？為什么？其代數(shù)精度是多少？解：是。因為在基點1、2處的插值多項式為 。其代數(shù)精度為1。10、(10分)取5個等距節(jié)點 ，分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普生公式計算積分的近似值（保留4位小數(shù)）。解：5個點對應(yīng)的函數(shù)值xi00.511.52f(xi)10.6666670.3333330.1818180.111111-（2分）(1)復(fù)化梯形公式（n=4,h=2/4=0.5）： (2) 復(fù)化梯形公式（n=2,h=2/2=1）： 11、(6分)構(gòu)造代數(shù)精度最高的如下形式的求積公式，并求出其代數(shù)精度：取f(x)=1,x，令公式準確成立，得：， ，f(x)=x2時，公式

22、左右=1/4; f(x)=x3時，公式左=1/5, 公式右=5/24 公式的代數(shù)精度=212、證明定積分近似計算的拋物線公式具有三次代數(shù)精度 證明：當 =1時，公式左邊：公式右邊： 左邊=右邊當 =x時 左邊： 右邊：左邊=右邊當 時左邊：右邊：左邊=右邊當 時 左邊： 右邊： 左邊=右邊當 時左邊： 右邊：故 具有三次代數(shù)精度 13、 試確定常數(shù)A，B，C和 ，使得數(shù)值積分公式有盡可能高的代數(shù)精度。試問所得的數(shù)值積分公式代數(shù)精度是多少？它是否為Gauss型的？ 解 ，該數(shù)值求積公式具有5次代數(shù)精確度，第五章 常微分方程一、填空題1、求解一階常微分方程初值問題= f (x,y)，y(x0)=y

23、0的改進的歐拉公式為 。2、解初值問題的改進歐拉法是 2階方法。3、解初始值問題 近似解的梯形公式是 4、解常微分方程初值問題 的梯形格式 是二階方法 二、計算題1.用改進歐拉方法計算初值問題，取步長h=0.1計算到y(tǒng)5。解：改進的歐拉公式代入2. 用梯形法解初值問題取步長h=0.1,計算到x=0.5，并與準確解相比較解：用梯形法求解公式，得解得精確解為3用改進的Euler法解初值問題 ；取步長h=0.1計算，并與精確解相比較。(計算結(jié)果保留到小數(shù)點后4位)解：改進的尤拉公式為：代入和，有代入數(shù)據(jù)，計算結(jié)果如下：n012345xn00.10.20.30.40.5yn11.11001.24211

24、.39851.58181.7949y(xn）11.11031.24281.39971.58361.79744.設(shè)初值問題，a) 由Euler方法、取步長h=0.1寫出表示上述初值問題數(shù)值解的公式；b) 由改進Euler方法、取步長h=0.1寫出上述初值問題數(shù)值解的公式。解：a）根據(jù)Euler公式： 3分b）根據(jù)改進Euler公式：5分5.設(shè)初值問題，a) 寫出由Euler方法、取步長h=0.1解上述初值問題數(shù)值解的公式；b) 寫出由改進Euler方法、取步長h=0.1解上述初值問題數(shù)值解的公式。解：a）根據(jù)Euler公式：b）根據(jù)改進Euler公式：6、用歐拉方法求在點處的近似值。解：等價于

25、()記,取,.則由歐拉公式, 可得 ,7、取步長，用預(yù)估-校正法解常微分方程初值問題 答案：解： 即 n01234500.20.40.60.81.011.825.879610.713719.422435.02798、(10分) 求參數(shù)，使得計算初值問題的二步數(shù)值方法的階數(shù)盡量高，并給出局部截斷誤差的主項。解： 所以當，即時， 局部截斷誤差為局部截斷誤差的主項為，該方法為二階方法。9、（15分）取步長，求解初值問題用改進的歐拉法求的值；解：改進的歐拉法：所以；10、（10分）對于一階微分方程初值問題，取步長，用Euler預(yù)報校正法求的近似值。解：Euler預(yù)報校正法 11、（10分）用二步法求解

26、一階常微分方程初值問題，問：如何選擇參數(shù)的值，才使該方法的階數(shù)盡可能地高？寫出此時的局部截斷誤差主項，并說明該方法是幾階的。解：局部截斷誤差為 因此有 局部截斷誤差主項為，該方法是2階的。 12、(10分)取步長，求解初值問題，用歐拉預(yù)報校正法求的近似值。解：（1）歐拉預(yù)報-校正法： 13、(8分)已知常微分方程的初值問題： 用改進的Euler方法計算的近似值，取步長。，第六章 方程求根一、填空題1、已知方程附近有一個根，構(gòu)造如下兩個迭代公式：則用迭代公式(1)求方程的根收斂_，用迭代公式(2)求方程的根_發(fā)散_。2、設(shè)可微，求方程的根的牛頓迭代格式為 。3、,要是迭代法局部收斂到，則的取值范

27、圍是 4、迭代法的收斂條件是（1） （2）。5.寫出立方根的牛頓迭代公式6用二分法求解方程在1，2的近似根，準確到10-3，要達到此精度至少迭代 9 次。7、設(shè)可微,求方程的牛頓迭代格式是 ；8、用二分法求非線性方程f (x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)的根時，二分n次后的誤差限為 。9 用二分法求方程在區(qū)間0,1內(nèi)的根,進行一步后根的所在區(qū)間為 0.5，1 ,進行兩步后根的所在區(qū)間為 0.5，0.75 。 10、若用二分法求方程在區(qū)間1,2內(nèi)的根，要求精確到第3位小數(shù)，則需要對分 10 次。11、如果用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的根精確到三位小數(shù)，需對分10 次。12、求方程 的近似根，用迭代公式 ，取

28、初始值 ， 那么 1.513、 解非線性方程f(x)=0的牛頓迭代法具有局部平方收斂 14、 迭代過程 （k=1,2,）收斂的充要條件是 1 二、單項選擇題：1、用簡單迭代法求方程f(x)=0的實根，把方程f(x)=0表示成x=j(x)，則f(x)=0的根是( B )。(A) y=j(x)與x軸交點的橫坐標 (B) y=x與y=j(x)交點的橫坐標(C) y=x與x軸的交點的橫坐標 (D) y=x與y=j(x)的交點2、用牛頓切線法解方程f(x)=0，選初始值x0滿足( A ),則它的解數(shù)列xnn=0,1,2,一定收斂到方程f(x)=0的根。3、為求方程x3x21=0在區(qū)間1.3,1.6內(nèi)的一

29、個根，把方程改寫成下列形式，并建立相應(yīng)的迭代公式，迭代公式不收斂的是(A )。(A) (B)(C)(D)4、計算的Newton迭代格式為( B )(A) ；(B)；(C) ；(D) 。 5、用二分法求方程在區(qū)間內(nèi)的實根，要求誤差限為，則對分次數(shù)至少為( A ) (A)10； (B)12； (C)8； (D)9。6、已知方程在附近有根，下列迭代格式中在不收斂的是( C )(A)； (B)； (C)； (D)。三、問答題1.什么是不動點？如何構(gòu)造收斂的不動點迭代函數(shù)？答：將方程改寫為若使則稱點為不動點而就是不動點的迭代函數(shù)，迭代函數(shù)可以有很多，但必須使構(gòu)造的滿足條件（1）（2）若已知，且 時也收斂

30、，稱為局部收斂。 2.對于迭代法初始近似，當時為什么還不能斷定迭代法收斂？答：迭代法是否收斂一定要按收斂定理的條件判斷，定理6.1是全局收斂性，需要在包含的區(qū)間上證明且才能說明由出是迭代法收斂如果用局部收斂定理6.2，則要知道不動點為才可由 證明其收斂性，由還不能說明迭代法收斂。3.怎樣判斷迭代法收斂的快慢？一個迭代公式要達到P階收斂需要什么條件？答：衡量迭代法快慢要看收斂階P的大小，若序列收斂于，記為若存在及，使則稱序列為P階收斂，P越大收斂越快，當P1，則越小，收斂越快。一個迭代公式若為的不動點，P為大于1的整數(shù)，在連續(xù)，且而則此迭代公式為P階收斂。4.方程求根的Newton法是如何推出的

31、？它在單根附近幾階收斂？在重根附近是幾階收斂？答：用曲線在點上的切線的零點近似曲線零點得到就是Newton法，在單根附近2階收斂，當為重根時是線性收斂。5、簡述二分法的優(yōu)缺點答：優(yōu)點(a)計算簡單，方法可靠；(b)對f (x) 要求不高(只要連續(xù)即可) ；(c)收斂性總能得到保證。缺點(a)無法求復(fù)根及偶重根 ; (b)收斂慢6、畫圖說明牛頓迭代公式的幾何意義。xyox*牛頓迭代公式就是切線與 x 軸交點的橫坐標，所以牛頓法是用切線與 x 軸的交點的橫坐標來近似代替曲線與x 軸交點的橫坐標。四、計算題1、用二分法求方程的正根，使誤差小于0.05.解使用二分法先要確定有根區(qū)間。本題f(x)=x2

32、-x-1=0,因f(1)=-1,f(2)=1,故區(qū)間1,2為有根區(qū)間。另一根在-1,0內(nèi)，故正根在1,2內(nèi)。用二分法計算各次迭代值如表。其誤差2. 求方程在=1.5附近的一個根，將方程改寫成下列等價形式，并建立相應(yīng)迭代公式.(1) ，迭代公式.(2) ,迭代公式.(3)，迭代公式.試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種收斂最快的方法求具有4位有效數(shù)字的近似根.解：（1）取區(qū)間且，在且，在中，則L1，滿足收斂定理條件，故迭代收斂。（2），在中，且，在中有，故迭代收斂。（3），在附近，故迭代法發(fā)散。在迭代（1）及（2）中，因為（2）的迭代因子L較小，故它比（1）收斂快。用（2）迭代，取，則3. 給

33、定函數(shù)，設(shè)對一切x,存在，而且.證明對的任意常數(shù),迭代法均收斂于方程的根. 解：由于，為單調(diào)增函數(shù)，故方程的根是唯一的（假定方程有根）。迭代函數(shù)，。令，則，由遞推有，即4. 用Newton法求下列方程的根，計算準確到4位有效數(shù)字.(1) 在=2附近的根.(2) 在=1附近的根.解：（1）Newton迭代法取，則，?。?）令，則，取5. 應(yīng)用Newton法于方程,求立方根的迭代公式，并討論其收斂性.解：方程的根為，用Newton迭代法此公式迭代函數(shù)，則，故迭代法2階收斂。6.用牛頓法求方程的根，計算結(jié)果準確到四位有效數(shù)字。解：根據(jù)牛頓法得取,迭代結(jié)果如下表所以，方程的根約為0.567147、構(gòu)造

34、求解方程的根的迭代格式，討論其收斂性，并將根求出來，。答案：解：令 .且，故在(0,1)內(nèi)有唯一實根.將方程變形為 則當時，故迭代格式 收斂。取，計算結(jié)果列表如下：n01230.50.0351278720.0964247850.089877325n45670.0905959930.0905173400.0905259500.090525008且滿足 .所以.8、用牛頓(切線)法求的近似值。取x0=1.7, 計算的值，保留五位小數(shù)。解：是的正根，牛頓迭代公式為， 即 取x0=1.7, 列表如下：1231.732351.732051.732059、（15分）方程在附近有根，把方程寫成三種不同的等價

35、形式（1）對應(yīng)迭代格式；(2)對應(yīng)迭代格式；（3）對應(yīng)迭代格式。判斷迭代格式在的收斂性，選一種收斂格式計算附近的根，精確到小數(shù)點后第三位。解：（1），故收斂；（2），故收斂；（3），故發(fā)散。選擇（1）：， ，10、(6分)寫出求方程在區(qū)間0,1的根的收斂的迭代公式，并證明其收斂性。解：，n=0,1,2, 對任意的初值,迭代公式都收斂。11、 設(shè) （1） 寫出解 的Newton迭代格式（2） 證明此迭代格式是線性收斂的 證明：（1）因 ，故 ，由Newton迭代公式： n=0,1, 得 ，n=0,1, （2）因迭代函數(shù) ，而 ， 又 ，則 故此迭代格式是線性收斂的。第七章 線性方程組的直接解法一

36、、填空題1. , 則= 6 , A的譜半徑. 2.設(shè)x=（11 0 5 1）T，則= 17 ，= 11 ，.3.設(shè)計算A的行范數(shù) ，列范數(shù) ，F(xiàn)-范數(shù) ，2范數(shù) . 解：故4.已知。5設(shè)x=（3 -1 5 8）T，則= 17 ，= 8 ，=。6已知，則A的譜半徑 ，則。7、8.設(shè)x=（1 9 -5 2）T，則= 17 ，= 9 . .9.10、設(shè)矩陣分解為，則11、設(shè)矩陣的，則。12、設(shè),則 9 。13、解線性方程組Ax=b的高斯順序消元法滿足的充要條件為A的各階順序主子式均不為零。二、單項選擇題：1、用列主元消去法解線性方程組，第1次消元，選擇主元為( A ) 。(A) 4 (B) 3 (C

37、) 4 (D)9三、問答題1.在什么情況下Gauss消去法會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定？如何克服？答：當消元過程中增廣矩陣的元素很小時，Gauss消去法會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定，此時采用列主元消去法可克服這一問題。 2什么是矩陣的條件數(shù)？如何判斷A是病態(tài)的或良態(tài)的？答：A的條件數(shù)定義為，這里 為矩陣的任一種從屬范數(shù)。當 時就認為A為病態(tài)矩陣，通常 可認為A是良態(tài)的。 3.矩陣滿足什么條件才能使A的LU分解存在唯一？如何利用A=LU分解求解不同右端項的方程組？如答：A的順序主子式 時存在唯一單位下三角陣L及上三角陣U，使A=LU，而當 則方程存在唯一解，此時等價于解 于是由 及可求得Ax=b的解x,同樣解Lyc及U

38、x=y和Ly=d,Ux=y則分別得到不同右端項的方程解。四、計算題1. 用Gauss消去法求解下列方程組.解本題是Gauss消去法解具體方程組，只要直接用消元公式及回代公式直接計算即可。故2. 用列主元消去法求解方程組并求出系數(shù)矩陣A的行列式detA的值.解：先選列主元，2行與1行交換得消元3行與2行交換 消元 回代得解行列式得3. 用Doolittle分解法求習(xí)題1(1)方程組的解.解：由矩陣乘法得再由求得由解得4.將矩陣分解為單位下三角矩陣和上三角矩陣，其中，然后求解該方程組。（9分）答案：求解得；求解得方程的解為：5.用直接三角分解（Doolittle）法解方程組（不選主元）解：6. 設(shè)

39、，證明解：即，另一方面故7設(shè)，證明：。證明：由定義可知： 從而 由此可以看到可由控制。8.將矩陣分解為單位下三角矩陣和上三角矩陣，其中，然后求解該方程組。， 先求解再解9、，則A的（Doolittle）LU分解為 。答案：10用直接三角分解（Doolittle）法解方程組 。答案：解： 令得，得.11、用列主元素消元法求解方程組 。解： 回代得 。12、(10分)用Gauss列主元消去法解方程組： 3.0000 1.0000 5.0000 34.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 3.0000 1.000

40、0 5.0000 34.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.33330.0000 0.00000 1.9375 9.6875第八章 線性方程組的迭代法一、填空題1、用Gauss-Seidel迭代法解方程組，其中a為實數(shù)，方法收斂的充要條件是a滿足。2、求解方程組的高斯塞德爾迭代格式為 ，該迭代格式的迭代矩陣的譜半徑=。3、寫出求解方程組的Gauss-Seidel迭代分量形式，迭代矩陣為，此迭代法是否收斂 收斂 。4、若線性代數(shù)方程組AX=b 的系數(shù)矩陣A為嚴格對角占優(yōu)陣，則雅可比迭代和高斯-塞德爾迭代都_收斂.5、 高斯-塞爾德迭代法解線性方程組 的迭代格式中求 6、 若

41、 則矩陣A的譜半徑 (A)= 17、 ，則A的譜半徑 ，A的 6 二、單項選擇題：1、 Jacobi迭代法解方程組的必要條件是（ C ）。 AA的各階順序主子式不為零 B C D 2、設(shè)，則為( C ) A 2 B 5 C 7 D 33、解方程組的簡單迭代格式收斂的充要條件是（ B ）。（A）, (B) , (C) , (D) 三、問答題1.迭代法收斂的充要條件是什么？如果 能否說明迭代法不收斂？用什么表示迭代法的收斂速度？答：迭代法收斂的充要條件是，當 時因不一定能使，故不能說明迭代法不收斂。反之 則迭代法收斂。三、計算題：1. 方程組 (1) 寫出用J法及GS法解此方程組的迭代公式并以計算到為止.（1）J法得迭代公式是取，迭代到18次有GS迭代法計算公式為取2. 設(shè)方程組 證明解此方程的Jacobi迭代法與Gauss-Seidel迭代法同時收斂或發(fā)散.解：Jacobi迭代為其迭代矩陣，譜半徑為，而Gauss-Seide迭代法為其迭代矩陣，其譜半徑為由于，故Jacobi迭代法與Gauss-Seidel法同時收斂或同時發(fā)散。3. 下列方程組Ax=b，若