初一數(shù)學(xué)絕對(duì)值典型例題精講

1、內(nèi)容概述第三講 絕對(duì)值 絕對(duì)值是有理數(shù)中非常重要的組成部分，它其中相關(guān)的基本思想及數(shù)學(xué)方法是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基石，希望同學(xué)們通過學(xué)習(xí)、鞏固對(duì)絕對(duì)值的相關(guān)知識(shí)能夠掌握要領(lǐng)。 絕對(duì)值的定義及性質(zhì)絕對(duì)值 簡(jiǎn)單的絕對(duì)值方程 化簡(jiǎn)絕對(duì)值式，分類討論（零點(diǎn)分段法） 絕對(duì)值幾何意義的使用絕對(duì)值的定義及性質(zhì)絕對(duì)值的定義：在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離稱為該數(shù)的絕對(duì)值，記作|a|。絕對(duì)值的性質(zhì)：（1） 絕對(duì)值的非負(fù)性，可以用下式表示：|a|0，這是絕對(duì)值非常重要的性質(zhì)； a （a0）（2） |a|= 0 （a=0） （代數(shù)意義） -a (a0) （3） 若|a|=a，則a0；若|a|=-a，則a0；（4）

2、 任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都不小于這個(gè)數(shù)，也不小于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，即|a|a，且|a|-a；（5） 若|a|=|b|，則a=b或a=-b；（幾何意義）（6） |ab|=|a|b|；|=（b0）；（7） |a|=|a|=a；（8） |a+b|a|+|b| |a-b|a|-|b| |a|+|b|a+b| |a|+|b|a-b|例1（1） 絕對(duì)值大于2.1而小于4.2的整數(shù)有多少個(gè)？（2） 若ab|ab|，則下列結(jié)論正確的是（ ）A.a0，b0 B.a0，b0 C.a0，b0 D.ab0（3） 下列各組判斷中，正確的是（ ）A若|a|=b，則一定有a=b B.若|a|b|,則一定有abC. 若|a|b，則

3、一定有|a|b| D.若|a|=b，則一定有a=(-b) （4） 設(shè)a，b是有理數(shù)，則|a+b|+9有最小值還是最大值？其值是多少？分析：（1） 結(jié)合數(shù)軸畫圖分析。絕對(duì)值大于2.1而小于4.2的整數(shù)有3，4，有4個(gè)（2） 答案C不完善，選擇D.在此注意復(fù)習(xí)鞏固知識(shí)點(diǎn)3。（3） 選擇D。（4） 根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性可以知道|a+b|0，則|a+b|9，有最小值9鞏固 絕對(duì)值小于3.1的整數(shù)有哪些？它們的和為多少？：絕對(duì)值小于3.1的整數(shù)有0，1，2，3，和為0。鞏固 有理數(shù)a與b滿足|a|b|，則下面哪個(gè)答案正確（ ） A.ab B.a=b C.ab D.無法確定分析：選擇D。鞏固 若|x-3|=

4、3-x，則x的取值范圍是_分析：若|x-3|=3-x，則x-30，即x3。對(duì)知識(shí)點(diǎn)3的復(fù)習(xí)鞏固鞏固 若ab，且|a|b|，則下面判斷正確的是（ ） A.a0 B.a0 C.b0 D.b0分析：選擇C鞏固 設(shè)a，b是有理數(shù)，則-8-|a-b|是有最大值還是最小值？其值是多少？分析：|a-b|0，-8-|a-b|-8，所以有最大值-8例2（1）（競(jìng)賽題）若3|x-2|+|y+3|=0，則的值是多少？（2）若|x+3|+(y-1)=0，求的值分析：（1）|x-2|=0，|y+3|=0，x=2，y=-3，= （2）由|x+3|+（y-1）=0，可得x=-3，y=1。=-1 n為偶數(shù)時(shí)，原式=1；n為奇

5、數(shù)時(shí)，原式=-1小知識(shí)點(diǎn)匯總：（本源 |a|0 b0） 若(x-a)+(x-b)=0,則x-a=0且x-b=0； 若|x-a|+(x-b)=0,則x-a=0且x-b=0； 若|x-a|+|x-b|=0，則x-a=0且x-b=0； 當(dāng)然各項(xiàng)前面存在正系數(shù)時(shí)仍然成立，非負(fù)項(xiàng)增加到多項(xiàng)時(shí)，每一項(xiàng)均為0，兩個(gè)非負(fù)數(shù)互為相反數(shù)時(shí)，兩者均為0簡(jiǎn)單的絕對(duì)值方程【例3】（1） 已知x是有理數(shù)，且|x|=|-4|，那么x=（2） 已知x是有理數(shù)，且-|x|=-|2|，那么x=（3） 已知x是有理數(shù)，且-|-x|=-|2|，那么x=（4） 如果x，y表示有理數(shù)，且x，y滿足條件|x|=5，|y|=2，|x-y|=

6、y-x，那么x+y的值是多少？分析： （1）4，-4 （2）2，-2， （3）2，-2 （4）x=5，y=2，且|x-y|=y-x，x-y0； 當(dāng)x=5，y=2時(shí)不滿足題意；當(dāng)x=5，y=-2時(shí)不滿足題意； 當(dāng)x=-5，y=2時(shí)滿足題意；x+y=-3；當(dāng)x=-5，y=-2時(shí)滿足題意，x+y=-7。【鞏固】鞏固|x|=4，|y|=6，求代數(shù)式|x+y|的值分析：因?yàn)閨x|=4，所以x=4，因?yàn)閨y|=6，所以y=6 當(dāng)x=4，y=6時(shí)，|x+y|=|10|=10； 當(dāng)x=4，y=-6時(shí)，|x+y|=|-2|=2; 當(dāng)x=-4，y=6時(shí)，|x+y|=|2|=2； 當(dāng)x=-4，y=-6時(shí)，|x+y|

7、=|10|=10【例4】解方程：（1） （2）|4x+8|=12 （3）|3x+2|=-1 （4）已知|x-1|=2，|y|=3，且x與y互為相反數(shù)，求的值分析：（1）原方程可變形為：|x+5|=，所以有x+5=，進(jìn)而可得：x=-，-； （2）4x+8=12，x=1，x=-5 （3）此方程無解 （4）|x-1|=2，x-1=2，x=3，x=-1，|y|=3，y=3，且x與y互為相反數(shù)，所以x=3，y=-3，【例5】 若已知a與b互為相反數(shù)，且|a-b|=4，求的值分析：a與b互為相反數(shù)，那么a+b=0。 = 當(dāng)a-b=4時(shí)，且a+b=0，那么a=2，b=-2，-ab=4； 當(dāng)a-b=-4時(shí)，且

8、a+b=0，那么a=-2，b=2，-ab=4； 綜上可得=4化簡(jiǎn)絕對(duì)式【例6】（1） 已知a=-，b=-，求的值（2） 若|a|=b，求|a+b|的值（3） 化簡(jiǎn)：|a-b|分析：（1）原式= （2）|a|=b，我們可以知道b0，當(dāng)a0時(shí)，a=-b，|a+b|=0；當(dāng)a0時(shí)，a=b，|a+b|=2b （3）分類討論。 當(dāng)a-b0時(shí)，即ab，|a-b|=a-b； 當(dāng)a-b=0時(shí)，即a=b，|a-b|=0； 當(dāng)a-b0時(shí)，即ab，|a-b|=b-a?！眷柟獭?化簡(jiǎn)：（1）|3.14-| （2）|8-x|（x8） 分析：（1）3.14，3.14-0，|3.14-|=-3.14 （2）x8，8-x0，

9、|8-x|=x-8?！纠?】有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示，化簡(jiǎn)|b+a|+|a+c|+|c-b|CB0A分析：|b+a|+|a+c|+|c-b|=b+a-（a+c）-（c-b）=2b-2c【鞏固】已知a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|a0cb分析：|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|=-a+b-c-a+c+b-a=2b-3a【鞏固】數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖所示，是化簡(jiǎn)|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a|a0b分析：|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a|=-（a+b）+（b-a）+b-（-2a）=b【例8】（1）若a

10、-b且，化簡(jiǎn)|a|-|b|+|a+b|+|ab| （2）若-2a0，化簡(jiǎn)|a+2|+|a-2| （3）已知x00,|y|z|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值分析：（1）若a-b且，a0,b0,a+b0 |a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-a-b+ab=ab-2a (2)因?yàn)?2a0，所以a+20，a-20，|a+2|+|a-2|=(a+2)-(a-2)=4 (3)由x00可得：y0|z|x|,可得：yxz;原式=x+z-y-z-x+y=0【鞏固】如果0m10并且mx10，化簡(jiǎn)|x-m|+|x-10|+|x-m-10| 分析：|x-m|+|x-10|+|x-m-10|=

11、x-m+10-x+m+10-x=20-x【例9】（1）已知x-3,化簡(jiǎn)|3+|2-|1+x| （2）若a0，試化簡(jiǎn)分析：（1）當(dāng)x-3時(shí)，|3+|2-|1+x|=|3+|2+1+x|=|3+|3+x|=|3-3-x|=|-x|=-x （2）=-【例10】若abc0，則的所有可能值 分析：從整體考慮： （1）a，b，c全正，則=3； （2）a，b，c兩正一負(fù)，則=1； （3）a，b，c一正兩負(fù)，則=-1； （4）a，b，c全負(fù)，則=-3【鞏固】有理數(shù)a，b，c，d，滿足，求的值分析：有知abcd0，所以a，b，c，d里含有1個(gè)負(fù)數(shù)或3個(gè)負(fù)數(shù)：（1） 若含有1個(gè)負(fù)數(shù)，則=2；（2） 若含有3個(gè)負(fù)數(shù)

12、，則=-2【例11】化簡(jiǎn)|x+5|+|2x-3| 分析：先找零點(diǎn)。x+5=0，x=-5；2x-3=0，x=，零點(diǎn)可以將數(shù)軸分成幾段。 當(dāng)x，x+50,2x-30，|x+5|+|2x-3|=3x+2； 當(dāng)-5x，x+50,2x-30，|x+5|+|2x-3|=8-x； 當(dāng)x-5，x+50,2x-3，|x+5|+|2x-3|=-3x-2【鞏固】化簡(jiǎn)：|2x-1|分析：先找零點(diǎn)。2x-1=0，x=，依次零點(diǎn)可以將數(shù)軸分成幾段（1） x,2x-1，2x-10，|2x-1|=2x-1。也可將（2）與（1）合并寫出結(jié)果【例12】求|m|+|m-1+|m-2|的值 分析：先找零點(diǎn)，m=0，m-1=0，m-2

13、=0，解得m=0,1,2 依這三個(gè)零點(diǎn)將數(shù)軸分為四段：m0,0m1,1m2，m2。 當(dāng)m0時(shí)，原式=m（m-1）-（m-2）=-3m+3 當(dāng)0m1時(shí)，原式=m-（m-1）-（m-2）=-m+3 當(dāng)1m2時(shí)，原式=m+（m-1）-（m-2）=m+1 當(dāng)m2時(shí)，原式m+(m-1)+（m-2）=3m-3絕對(duì)值幾何意義的應(yīng)用|a|的幾何意義：在數(shù)軸上，表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)離開原點(diǎn)的距離|a-b|的幾何意義：在數(shù)軸上，表示數(shù)a，b對(duì)應(yīng)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離【例13】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值分析：由上題可知，本題中的式子值應(yīng)為x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別到3,5,2，-1，-7所對(duì)應(yīng)

14、的點(diǎn)距離和。通過數(shù)軸可以看到，當(dāng)x=2時(shí)，五段距離的和有最小值16。這里我們可以把小學(xué)奧數(shù)中的相關(guān)知識(shí)聯(lián)系到一起講解： 【小學(xué)奧數(shù)相關(guān)題目】如圖，在接到上有A、B、C、D、E五棟居民樓，現(xiàn)在設(shè)立一個(gè)郵筒，為使五棟樓的居民到郵筒的就努力之和最短，郵局應(yīng)立于何處？ABCDE分析：我們來分析以下A、E兩個(gè)點(diǎn)，不論這個(gè)郵筒放在AE之間的哪一點(diǎn)，A到郵筒的距離加上E到郵筒的距離就是AE的長(zhǎng)度。也就是說郵筒放在哪不會(huì)影響這兩個(gè)點(diǎn)到郵筒的距離之和。那么我們就使其他的3個(gè)點(diǎn)到郵筒的距離之和最短，再看為了使B、D兩個(gè)到郵筒的距離之和也是不變的，等于BD。最后，只需要考慮C點(diǎn)到郵筒的距離最近就行了。那么當(dāng)然也就是

15、把郵筒放在C點(diǎn)了。這里就體現(xiàn)了一個(gè)“向中心靠攏的思想”題后小結(jié)論： 求|x-a|+|x-a|+|x-a|的最小值： 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，把a(bǔ)、a、a從小到大排列，x等于最中間的數(shù)值時(shí)，該式子的值最小。 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，把a(bǔ)、a、a從小到大排列，x取最中間兩個(gè)數(shù)值之間的數(shù)（包括最中間的數(shù)）時(shí)，該式子的值最小?！眷柟獭刻骄縷a|與|a-b|的幾何意義 分析：|a|即為表示a的點(diǎn)A與原點(diǎn)之間的距離，也即為線段AO的長(zhǎng)度。 關(guān)于|a-b|，我們可以引入具體數(shù)值加以分析： 當(dāng)a=3，b=2時(shí)，|a-b|=1； 當(dāng)a=3，b=-2時(shí)，|a-b|=5； 當(dāng)a=3，b=0時(shí)，|a-b|=3； 當(dāng)a=-3，b=-2時(shí)，

16、|a-b|=1； 從上述四種情況分別在數(shù)軸上標(biāo)注出來，我們不能難發(fā)現(xiàn)：|a-b|對(duì)應(yīng)的是點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離，即線段AB的長(zhǎng)度?！眷柟獭吭O(shè)a、a、a、a、a為五個(gè)有理數(shù)，滿足a a a a a,求|x- a|+|x- a|+|x- a|+|x- a|+|x- a|的最小值分析：當(dāng)x= a時(shí)有最小值，a+ a- a- a【例14】設(shè)abcbc,那么a+b-c=分析：根據(jù)題意可得：a=1，b=-2，c=-3，那么a+b-c=0或2【例2】 已知(a+b)+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0，那么ab=分析：因?yàn)?a+b)+|b+5|=b+5,我們可以知道b+50，所以原式可以表示為：(a+

17、b)+b+5=b+5，(a+b)=0，a=-b，又因?yàn)閨2a-b-1|=0，進(jìn)而2a-b-1=0，進(jìn)而2a-b-1=0,3a=1，a=，b=-，ab=-【例3】 對(duì)于|m-1|，下列結(jié)論正確的是（ ）A.|m-1|m| B.|m-1|m| C. |m-1|m|-1 D. |m-1|m|-1 分析：我們可以分類討論，但那樣對(duì)于做選擇題都過于麻煩了。我們可以用特殊值法代入檢驗(yàn)，對(duì)于絕對(duì)值的題目我們一般需要帶入正數(shù)、負(fù)數(shù)、0,3種數(shù)幫助找到準(zhǔn)確答案。易得答案為C。 【例4】 設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)，且|a|+a=0，|ab|=ab，|c|-c=0，化簡(jiǎn)|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|分析：|a

18、|+a=0，|a|=-a，a0；|ab|=ab，ab0；|c|-c=0，|c|=c，c0。所以可以得到a0，b0，c0；|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|=-b+（a+b）-（c-b）-（a-c）=b【例5】 化簡(jiǎn)：|x-1|-2|+|x+1| 分析：先找零點(diǎn)。x-1=0，x=1，|x-1|-2=0，|x-1|=2，x-1=2或x-1=-2，可得x=3或者x=-1；x+1=0，x=-1；綜上所得零點(diǎn)有1.，-1,3，依次零點(diǎn)可以將數(shù)軸分成幾段。（1） x3，x-10，|x-1|-20，x+10, |x-1|-2|+|x+1|=2x-2；（2） 1x3，x-10，|x-1|-20，|x-1|-2|+|x+1|=4；（3） -1x1，x-10，|x-1|-20，x+10，|x-1|-2|+|x+1|=2x+2；（4） x-1,x-10,|x-1|-20,x+10, |x-1|-2|+|x+1|=-2x-2【例6】 已知有理數(shù)a，b，c滿足，求的值 分析：對(duì)于任意的整數(shù)a，有，若，則a，b，c中必是兩正一負(fù)，則abc0，則x+y的值為多少？ （2）解方程：|4x-5|=8分析：（1）x=2，y=3， 當(dāng)x=2，y=3時(shí)，不滿足x-y0； x=2，y=-3時(shí)，滿足x-y0，那么x+y=-1； x