方程與函數(shù)的區(qū)別(最新整理)

1、方程與函數(shù)的區(qū)別?代數(shù)式:用運(yùn)算符號(hào)把數(shù)或表示數(shù)的字母連接而成的式子,叫代數(shù)式。函數(shù):如果對(duì)于一個(gè)變量(比如 x)在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值,變量(比如 y)都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng),那么,就把 y 叫做 x 的函數(shù)。函數(shù)式:用解析法(公式法)表示函數(shù)的式子叫函數(shù)式。方程:含有未知數(shù)的等式叫方程。解析式表示因變量與自變量的關(guān)系。聯(lián)系:函數(shù)式和方程式都是由代數(shù)式組成的.沒有代數(shù)式,就沒有函數(shù)和方程.方程只是函數(shù)解析式在某一特定函數(shù)值的解。方程表示特定的因變量的自變量解。如 5x+6=7 這是方程； y=5x+6 這是解析式 。區(qū)別:1. 概念不一樣.2. 代數(shù)式不用等號(hào)連接.3. 函數(shù)表示兩個(gè)

2、變量之間的關(guān)系.因變量(函數(shù))隨變量(自變量)的變化而變化.4. 方程是含有未知數(shù)的等式.其未知數(shù)(變量)的個(gè)數(shù)不固定.未知數(shù)之間不存在自變和因變的關(guān)系. 方程重在說明幾個(gè)未知數(shù)之間的在數(shù)字間的關(guān)系；方程可以通過求解得到未知數(shù)的大??；方程可以通過初等變換改變等號(hào)左右兩邊的方程。方程的解是固定的，但函數(shù)無固定解值解。式；函數(shù)只可以化簡(jiǎn)，但不可以對(duì)函數(shù)進(jìn)行初等變換。5. 函數(shù)和方程本質(zhì)區(qū)別就是:方程中未知數(shù)x 是一個(gè)常量（雖然方程可能有多個(gè)解），函數(shù)中 x是變量，因此 y 也是變量，并且是由于 x 的變化而變化。6. 函數(shù)：重在說明某幾個(gè)自變量的變化對(duì)因變量的影響；特定的自變量的值就可以決定因變量

3、的值；就像平面解析幾何里圓就是方程、區(qū)別在于函數(shù)就看他們的值是否一一對(duì)應(yīng)。 就像圓的方程（x-a）2+(y-b)2=r2 就是方程，它們的值不是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以不是函數(shù)是方程的一種，函數(shù)強(qiáng)調(diào)的是一一對(duì)應(yīng)，及 1 個(gè) x 值（自變量）只能有一個(gè) y 值（應(yīng)變量） 與之對(duì)應(yīng)比如：y=x+1 它是函數(shù)， y2=x 它不是函數(shù)，但它是方程。7. 函數(shù)和方程是數(shù)學(xué)中的兩個(gè)基本概念，在許多情況下它們可以相互轉(zhuǎn)化。例如在一元函數(shù) y= f(x)用一個(gè)解析式表示并且不需要區(qū)分自變量和因變量(函數(shù))時(shí)，這個(gè)函數(shù)式就可以看作一個(gè)二元方程；反之，能夠由方程 f(x, y) = 0 確定的函數(shù)關(guān)系稱為隱函數(shù)(4,

4、p.9)。但是函數(shù)與方程是有差別的。8. 首先,函數(shù)的自變量和因變量是一一對(duì)應(yīng)的,一個(gè) x 值只有一個(gè)相應(yīng)的 y 值與之對(duì)應(yīng),而曲線方程則不然,比如一個(gè)橢圓方程中,對(duì)于一個(gè) x 值有兩個(gè) y 值與之對(duì)應(yīng).像這樣的曲線方程就不能成為一個(gè)函數(shù)的表達(dá)式.其次,函數(shù)表達(dá)式表示的是兩個(gè)變量之間一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,而曲線方程則借用點(diǎn)的集和的方式來將一個(gè)曲線以代數(shù)的形式表現(xiàn)出來,實(shí)質(zhì)上一個(gè)曲線的表達(dá)。二者關(guān)系可以通過例子來看：x2+x-1=0 相當(dāng)于函數(shù) y=x2+x-1 函數(shù)值 y=0，解方程問題就轉(zhuǎn)化為函數(shù)的自變量 x 定義域中取什么值時(shí) y=0？有點(diǎn)像求反函數(shù)。自然 x2+x-1=1 變成x2+x-1=y

5、 也未嘗不可，解方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)的自變量 x 定義域中取那個(gè)值時(shí) y=1？實(shí)際上上了大學(xué)學(xué)了高等數(shù)學(xué)就知道都可以，數(shù)學(xué)是工具為人所用，怎么簡(jiǎn)單就怎么來。但是剛開始學(xué)習(xí)函數(shù)，函數(shù)是有自己的規(guī)律法則的。所以 x2+x-1=1 要把他轉(zhuǎn)換成函數(shù)形式就要把 1 移到左邊即 x2+x-2=y，相當(dāng)于規(guī)定都求 y=0 時(shí)的 x，這個(gè)規(guī)定也是約定俗成的，數(shù)學(xué)中方程標(biāo)準(zhǔn)都是形式都是右邊為零。方式應(yīng)該是(x,y)|曲線方程按照定義，方程是含有未知數(shù)的等式，函數(shù)是兩個(gè)非空數(shù)集之間的一個(gè)映射。方程 f(x, y)0中的 x 和 y 都是未知數(shù)，關(guān)聯(lián)法則 f 同時(shí)作用于 x 和 y，交換兩個(gè)未知數(shù)的位置時(shí)它們之間的關(guān)聯(lián)

6、法則通常要改變，得到的新方程與原方程一般不是同解方程(除了一些特殊情況外， 以下同)。而函數(shù)中需區(qū)分自變量和因變量，對(duì)應(yīng)法則只作用于自變量；一個(gè)函數(shù)由定義域 a、值域 c 和對(duì)應(yīng)法則 f 確定，與定義域和值域中的元素用什么字母表示無關(guān)。因此 y = f (x) (xa, yc)和 x = f (y)(ya, xc)表示相同的函數(shù)，但它們通常不是同解的方程； y = f(x) (xa, yc)和 x = f -1(y) (xa, yc)一般是不同的函數(shù)，但它們是同解的方程。例如 y 2x (x 為自變量)x 2y (y 為自變量)是相同的函數(shù)、不同解的方程；而 y 2x (x 為自變量)與 x

7、y(y 為自變量)是不同的函數(shù)、同解的方程。由此可知，在方程 f(x, y) = 0 能夠確定隱函數(shù)時(shí)， 那么也應(yīng)該確定兩個(gè)函數(shù)關(guān)系 y = f(x)和 x = f -1(y)，而不應(yīng)當(dāng)僅僅是前者。例如方程2s- gt2 = 0( t 0 ) 就可以確定函數(shù)s = f(t) =gt2 ( t 0 ) 以及函數(shù)t =j(s) =( s 0 ) ，其中 g 0 是一個(gè)常數(shù)。與顯然是不同的函數(shù)，但作為方程它們都與同解。函數(shù)與方程的這種差別自然也應(yīng)該反映在作圖上。作二元方程的圖形時(shí)實(shí)際上是把未知數(shù)區(qū)分為第一未知數(shù)、第二未知數(shù)，用前者的值做橫坐標(biāo)、后者的值做縱坐標(biāo)。例如作方程的圖形時(shí)既可以用 t 的值、

8、也可以用 s 的值做橫坐標(biāo)，取決于把誰看作第一未知數(shù)。但是在作以 x 和 y 為未知數(shù)的方程的圖形時(shí)，因?yàn)橹苯亲鴺?biāo)系中的橫軸和縱軸習(xí)慣上分別表示為 x 軸和 y 軸(以下簡(jiǎn)稱習(xí)慣 1)，所以總是用 x 的值做橫坐標(biāo)、y 的值做縱坐標(biāo)以免混淆。這種作圖方式事實(shí)上是默認(rèn)下面的約定 1 當(dāng)方程中的未知數(shù)用 x 和 y 表示時(shí)就把 x 視為第一未知數(shù)。依照上述作圖方式，同解的方程 y 2x 和 x y 的圖形相同，不同解的方程 y 2x 和 x 2y 的圖形也不同，這說明約定 1 是合理的。而對(duì)作函數(shù)的圖象，中學(xué)和大學(xué)的數(shù)學(xué)教材(例如 4，2 和 5，1.6 )中都提到了下面的約定 2在平面直角坐標(biāo)系

9、中作函數(shù)的圖象，橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)自變量的值，縱坐標(biāo)對(duì)應(yīng)函數(shù)值。即作函數(shù)圖象時(shí)，應(yīng)該用自變量的值做橫坐標(biāo)、函數(shù)值做縱坐標(biāo)，而不管它們分別用什么字母表示。例如在作函數(shù)的圖象時(shí)應(yīng)該用 t 的值做橫坐標(biāo)，作函數(shù)的圖象時(shí)應(yīng)該用 s 的值做橫坐標(biāo)。同理，在作函數(shù) x = f(y)的圖象時(shí)應(yīng)該用 y 的值做橫坐標(biāo)、x 的值做縱坐標(biāo)，而不應(yīng)當(dāng)依據(jù)約定 1 按照方程的作圖方式作圖。于是在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，把 y = f (x)和 x= f (y)看作函數(shù)時(shí)它們的圖象是相同的，看作方程時(shí)它們的圖形一般是不同的；把 y = f(x) 和 x = f -1(y)看作函數(shù)時(shí)它們的圖象一般是不同的，而看作方程時(shí)它們的圖形是相

10、同的。由此得出“在同一直角坐標(biāo)系中，相同的函數(shù)的圖象相同，不同的函數(shù)的圖象也不同”這樣一個(gè)順理成章的結(jié)論，說明了約定 2 的合理性。雖然同樣由于習(xí)慣 1，在作函數(shù) x = f (y)的圖象時(shí)為了避免混淆，常常對(duì)調(diào)其中的 x 和 y 把函數(shù)式改寫為 y = f (x)，但是可以這樣做的理由正是因?yàn)?y = f (x)與 x = f (y)是相同的函數(shù)，而不是把它們看作方程。如果只注意到函數(shù)與方程的“同”而忽略了它們之間的“異”，在考察某些具體問題時(shí)就會(huì)出現(xiàn)失誤。例如對(duì)于反函數(shù)表達(dá)式中需要交換 x 和 y 的原因，一般都是用“習(xí)慣上，我們一般用 x 表示自變量，y 表示函數(shù)”(以下簡(jiǎn)稱習(xí)慣 2)來

11、說明。某種習(xí)慣值得遵循應(yīng)當(dāng)有其合理性以及必要性。對(duì)為什么有必要遵循這個(gè)習(xí)慣，存在不同看法。一種影響較大的觀點(diǎn)是：由于在同一直角坐標(biāo)系中， y = f(x)和 x = f -1(y)的圖象相同, 因此“把反函數(shù) x = f -1(y)改寫成 y = f - 1(x) 還有一個(gè)好處，即它們的圖象關(guān)于直線 y = x 對(duì)稱”(1，p.38)。這種觀點(diǎn)也經(jīng)常反映在一些習(xí)題中，例如：(1) 若函數(shù) y = f (x) 有反函數(shù), 則在同一坐標(biāo)系中, y = f (x) 和 x = f -1(y)的圖象a. 關(guān)于直線 y = x 對(duì)稱 b. 關(guān)于 y 軸對(duì)稱c. 表示同一曲線 d. 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(2) 若

12、函數(shù) y = f (x) 存在反函數(shù), 則下列命題中不正確的是a. 函數(shù) y = f (x) 與函數(shù) x = f (y)的圖象關(guān)于直線 y = x 對(duì)稱b. 若 y = f (x) 是奇函數(shù), 則 y = f -1(x) 也是奇函數(shù)c. 若 y = f (x) 在其定義域 a, b 上是增函數(shù), 則 y = f -1(x) 在 a, b 上也是增函數(shù)d. 函數(shù) y = f (x) 和 x = f -1(y)的圖象重合6中給出(1)的答案是 c，7中給出的(2)答案也是 c。筆者認(rèn)為上述觀點(diǎn)的缺陷在于忽略了函數(shù)與方程的差別，從而在討論同一問題時(shí)先后使用了不同的標(biāo)準(zhǔn)。即在考察原函數(shù)與反函數(shù)的圖象時(shí)

13、先把函數(shù)看作方程，得出它們的圖象相同的結(jié)論；而在改寫反函數(shù)時(shí)又需要把它們看作函數(shù)，所以才可以改寫。這樣將會(huì)導(dǎo)致邏輯推理的沖突。事實(shí)上，因?yàn)楹瘮?shù) x = f -1(y)和 y = f -1(x)表示相同的函數(shù)關(guān)系，所以允許交換其中的 x 和 y，這是可以遵循習(xí)慣 2 改寫反函數(shù)的理論依據(jù)。而認(rèn)為兩個(gè)不同的函數(shù) y = f(x)和 x= f -1(y)的圖象相同, 兩個(gè)相同的函數(shù) y = f (x)與 x = f (y)的圖象不相同，是把它們等同于方程了；但是如果看作方程，那么 x = f -1(y)與 y = f -1(x)一般情況下是不同解的，又怎么能用后者去代替前者呢？此外，根據(jù)定義，函數(shù)

14、y = f(x)的反函數(shù)是 x = f -1(y)，如果要改寫反函數(shù)后“原函數(shù)的圖象與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線 y = x 對(duì)稱”才能成立，那么這個(gè)結(jié)論是否顯得牽強(qiáng)(因?yàn)樵臼遣怀闪⒌?？由此自然會(huì)對(duì)改寫反函數(shù)的必要性產(chǎn)生疑問，一種看法甚至認(rèn)為是遷就了“不良的習(xí)慣”(例如2，第 26 頁)。在一些較早的教科書中把函數(shù)的解析式就稱為方程，對(duì)函數(shù)和方程的圖形不加區(qū)別。例如對(duì)我國(guó) 50 年代數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生過一定影響的3在討論反函數(shù)的圖象時(shí)，先指出方程 y = f(x)和 x= f -1(y)所給出的 x 與 y 之間的關(guān)系是相同的(實(shí)際上應(yīng)當(dāng)是把 y = f(x)和 x = f -1(y)都看作方程 f(

15、x, y)0 時(shí) x 與 y 之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系 f 相同，而不是作為函數(shù)時(shí)的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f 和 f 1)，所以它們的圖象相同。然后說明此時(shí)(即按照方程的作圖方法)需把 x = f -1(y)中的自變量 y 取在 y 軸上很不方便，因此需要旋轉(zhuǎn)整個(gè)平面使表示自變量的軸和表示函數(shù)的軸互換位置(事實(shí)上已經(jīng)認(rèn)可了約定 2)，于是反函數(shù) x = f -1(y)就變成 y = f -1(x)了。這樣得出 y = f -1(x)略顯麻煩，而且旋轉(zhuǎn)時(shí)坐標(biāo)軸的方向及名稱是否改變？所以后來編寫的大部分教科書中的說法與此有所不同。 4，2中把約定 1 作為改寫反函數(shù)的原因，說明了改寫的必要性。但是在此之前的陳述“從圖形

16、上看，曲線 y = f(x)和 x = f -1(y)是同一條曲線”仍然是先看成方程。5，1.8中指出 x = f -1(y)和 y = f -1(x)表示同一個(gè)函數(shù)，說明了改寫的合理性，而對(duì)其必要性則與中學(xué)課本一致，用前面提到的“習(xí)慣上”解釋。其實(shí)只要以前面的兩個(gè)約定為依據(jù)，對(duì)該問題容易作出簡(jiǎn)明合理的解釋，即：把 y = f(x)和 x = f -1(y) 看作方程時(shí)它們的圖形是相同的，但是這里考慮的對(duì)象是函數(shù)，在作反函數(shù) x = f -1(y) 的圖象時(shí)應(yīng)該按照約定 2 以 y 的值作橫坐標(biāo)、x 的值作縱坐標(biāo)，這樣畫出的圖形與原函數(shù) y = f(x) 的圖象關(guān)于直線 y = x 對(duì)稱(因此

17、“原函數(shù)的圖象與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線 y= x 對(duì)稱”本來就是成立的，并不依賴于改寫反函數(shù)表達(dá)式)。 只是在橫軸和縱軸已經(jīng)分別表示為 x 軸、y 軸的情況下這樣作圖容易產(chǎn)生混淆，所以交換一下反函數(shù)中 x 和 y 的位置， 既沒有改變反函數(shù)的實(shí)質(zhì)，又避免了作圖時(shí)的不便，筆者認(rèn)為這才是有必要改寫反函數(shù)表達(dá)式的主要原因。按照前面的討論，習(xí)題(1)的正確答案應(yīng)該是 a, 習(xí)題(2)中的命題 a、c、d 都是不正確的。由此可見，由于對(duì)函數(shù)與方程的關(guān)系的認(rèn)識(shí)分歧造成了對(duì)一些具體問題的說法不統(tǒng)一，并且這些分歧已經(jīng)反映到教學(xué)中，可能給學(xué)生造成認(rèn)知上的困難和混亂。因此有必要統(tǒng)一認(rèn)識(shí)， 以便于對(duì)有關(guān)問題給出合理、

18、一致的解釋。筆者認(rèn)為引入習(xí)慣 1 和習(xí)慣 2 等“習(xí)慣”的原意是將本質(zhì)上相同的對(duì)象如方程、函數(shù)、圖形等用一般形式加以抽象、概括，以便于研究和敘述其普遍規(guī)律。盡管遵循這些習(xí)慣可以帶來一些方便并且已經(jīng)被廣泛采納，但是由于變量或未知數(shù)經(jīng)常用其它符號(hào)表示(例如在物理中)， 并且自變量和因變量也可能相互轉(zhuǎn)化(例如求反函數(shù)時(shí))，因此在考察具體問題時(shí)不應(yīng)過分受其束縛。若拘泥于上述習(xí)慣而忽略了對(duì)象或方法的實(shí)質(zhì)性的差別(如約定 1 與約定 2)，那就偏離了引入這些習(xí)慣的初衷。因此建議在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意強(qiáng)調(diào)(最好在教科書中就明確指出)一般性方法，例如作二元方程的圖形時(shí)用第一未知數(shù)的值做橫坐標(biāo)、第二未知數(shù)的值做縱坐標(biāo)

19、，作函數(shù)的圖象時(shí)用自變量的值做橫坐標(biāo)、函數(shù)值做縱坐標(biāo)等，并且在有關(guān)部分適當(dāng)增加變量或未知數(shù)用其它字母表示的函數(shù)或方程的例、習(xí)題。這樣可以讓初學(xué)者通過比較認(rèn)清方法的實(shí)質(zhì)，有利于對(duì)一般規(guī)律的理解和掌握，避免形成錯(cuò)誤的思維定勢(shì)(例如 x 一定是自變量，y 一定是因變量，作函數(shù) x= -1(y)的圖象時(shí)也必須用 x 值作橫坐標(biāo)等)。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)展，數(shù)學(xué)理論本身也在不斷完善，如引進(jìn)集合的概念，給出函數(shù)的現(xiàn)代定義等，從而對(duì)某些問題的看法也可能有必要更新。橢圓x=a cosx y=b sinx 雙曲線： x = a*sec y = b*tg拋物線： x = 2p*t2 y = 2p*t 橢圓可用三角函數(shù)

20、來建立參數(shù)方程 橢圓：x2/a2 +y2/b2=1 橢圓上的點(diǎn)可以設(shè)為（acos，bsin） 雙曲線：x2/a2 - y2/b2=1 雙曲線上的點(diǎn)可以設(shè)為（asec，btan) 因?yàn)?（sec）2-(tan)2=1 拋物線：y2=2px 則拋物線上的點(diǎn)可設(shè)為 （2pt2，2pt) 相應(yīng)的，如果拋物線是：x2=2py 則拋物線上的點(diǎn)可設(shè)為 （2pt，2pt2)圓的參數(shù)方程 x=a+r cos y=b+r sin (a,b)為圓心坐標(biāo) r 為圓半徑 為參數(shù)橢圓的參數(shù)方程 x=a cos y=b sin a 為長(zhǎng)半軸 長(zhǎng) b 為短半軸長(zhǎng) 為參數(shù)雙曲線的參數(shù)方程 x=a sec (正割) y=b tan a 為實(shí)半軸長(zhǎng) b 為虛半軸長(zhǎng) 為參數(shù)拋物線的參數(shù)方程 x=2pt2 y=2pt p 表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離 t 為參數(shù)直線的參數(shù)方程 x=x+tcosa y=y+tsina , x, y和 a 表示直線經(jīng)過(x,y),且傾斜角為 a,t 為參數(shù).“”“”at the end, xiao bia