無窮級數(shù)復(fù)習(xí)講義36289

1、收斂級數(shù)的和的概念級數(shù)的基本性質(zhì)與收斂的必正項(xiàng)級數(shù)收斂性的判別法交錯(cuò)級數(shù)與萊布尼茨定函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域與和函數(shù)的概念幕級數(shù)及幕級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的第七章無窮級數(shù) 考試內(nèi)容常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂與發(fā)散的概念 要條件幾何級數(shù)與級數(shù)及其收斂性 理任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂初等函數(shù)的幕級數(shù)展開式函數(shù)的傅里葉（Fourier）狄利克雷（Dirichlet ）定理 函數(shù)在 上的傅里葉級數(shù)函數(shù)在 上的正其收斂半徑、收斂區(qū)間（指開區(qū)間）和收斂域 幕級數(shù)的和函數(shù) 基本性質(zhì) 簡單幕級數(shù)的和函數(shù)的求法 系數(shù)與傅里葉級數(shù) 弦級數(shù)和余弦級數(shù) 考試要求1 理解常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及

2、收斂 的必要條件。2 掌握幾何級數(shù)與 級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。3掌握正項(xiàng)級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法。4 掌握交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茨判別法。5。 了解任意項(xiàng)級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關(guān)系。6了解函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。7.理解幕級數(shù)收斂半徑的概念、并掌握幕級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。&了解幕級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分） 會求一些幕級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和。9了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。10.掌握 sinx , COSX , In(1 +x)及arctanx

3、的麥克勞林(Maclaurin )展開式，會用 它們將一些簡單函數(shù)間接展開成幕級數(shù)。11. 了解傅里葉級數(shù)的概念和狄利克雷收斂定理，會將定義在 上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù),會將定義在 上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)，會寫出傅里葉級數(shù)的和函數(shù)的表達(dá)式。無窮級數(shù)概論1無窮級數(shù)定義-be設(shè)an為一個(gè)數(shù)列，稱送aaaa+為無窮級數(shù).nzt-be注記1:但I(xiàn)： an只是一種形式上的記法.只有討論了收斂性，才有意義.n丘2無窮級數(shù)收斂的定義（1）部分和、部分和數(shù)列的定義n-bekU對任意n迂N +，稱數(shù)列taj前n項(xiàng)和Sn =5： ak為級數(shù) ak的部分和. k丄稱數(shù)列sn為級數(shù)2 ak的部分和數(shù)列.k

4、4(2) 無窮級數(shù)收斂的定義-beak-be若級數(shù)2 ak的部分和數(shù)列Sj是收斂的，則稱級數(shù)2 ak是收斂的，并且記k4-be送akkirimSn.ki3無窮級數(shù)收斂的性質(zhì)(1)無窮級數(shù)收斂的必要條件I若無窮級數(shù)送an收斂，則其部分和數(shù)列sn有界.反之不然.n壬事實(shí)上，由于5： an收斂，因此，其部分和數(shù)列&收斂，于是，&有界.但Snn呂-be1 +( 1)2有界，&卻未必收斂.例如，級數(shù)S (-1廠部分和數(shù)列為Sn(丿，& n=12有界，但2 (-1廠不收斂.n3例1.?丄不收斂.nM 事實(shí)上，1 1 11Sn =1+-+-+-2 3 4n1了11）了1111）f 111）了112 13 4

5、八5 6 7 8丿G0砂+12】1丿 兩+ 1n丄1丄2丄4丄2辰丹卜丄1丄1丄丄1丄11、1+r1-=1+ +=1+ 14002n母（nT 畑）2482也口 2222于是，&不收斂，即送1不收斂.n# n(2)無窮級數(shù)收斂的必要條件II若S an 收斂，貝U liman =0. n45事實(shí)上，假設(shè)獸”部分和為s”，則何收斂，記S=nmS，于是,lim an = lim (Sn Sn i ) = lim Sn lim Sn i = S S = 0. nnn_但反之結(jié)論不成立.例如,1 1雖然lim-= 0,但無窮級數(shù)5：-不收斂.IIIm心n(3) 無窮級數(shù)收斂的必要條件-be若無窮級數(shù)送an

6、收斂，則對其任意加括號都收斂，而且級數(shù)和不變n 二假設(shè)加括號后的級數(shù)寫為-be(ai十去+aii )+(aii+aii書+%)+(%出十弘書+ ai=2 (an4l+ain+ain )這里，io=O.則其部分和為SnSin.由于I： an收斂，于是，收斂，于是，其任意子列q 收斂，且收斂值與tsj的一樣,-be即級數(shù)送佝丄卅+ainj2+ ain )nT收斂，且送(ain/+ain丄七中中ain )=2 a. nrnnrn(4) 無窮級數(shù)收斂的充分必要條件I-be無窮級數(shù)送an收斂當(dāng)且僅當(dāng)lim an =0且S?”或務(wù))收斂.必要性是顯然的.至于充分性，我們利用了這樣一個(gè)事實(shí)：數(shù)列taj收斂當(dāng)

7、且僅 當(dāng) lim a2n RimAnx.現(xiàn)在，(SJ 收斂了，而 Sn/Shi-azn，而 a2nT O(” t= k于是，JiSn = limS2n.故Sn也收斂.若S2n J收斂，也是同理的.(5) 無窮級數(shù)收斂的充分必要條件II-be-be無窮級數(shù)2 an收斂當(dāng)且僅當(dāng)lim an =0且2 (a2n_i乜?.)收斂 n45或者說S (a2n +a2n昇也可以 n zt16必要性是顯然的.至于充分性，若-beZ (a2n +a2n )收斂，則其部分和數(shù)列nJnn2 2 （a2k 丄 +a2k ）是收斂的，但2 （a2k中a2k ）= S2n，因此，S2 收斂.又 lim a* = 0，2J

8、k 二y因此,由的結(jié)論，無窮級數(shù)S an收斂若送(a2n+a2卄)收斂，則其部分和數(shù)列n 3n三(n1n算(a2k+a2k屛學(xué)也收斂.又送(a2k+a .k呂Jk壬2n +2k卅)ak -ai = En卅-ai，因此，務(wù)出也kA收斂又由于liman =0，因此，由，無窮級數(shù)送an收斂.nn 二4無窮級數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(1)若無窮級數(shù)送an和送bn收斂,nzin z1則送(an +bn )也收斂，且nzi-be-beS （an 中bn ） = S ann壬n-be+ S bn .n=1-be事實(shí)上，假設(shè)S an的部分和為n rnAn ,Z bn的部分和為Bn， Z (an +bn )部分和為nrnn

9、rn-beCn，則顯然有Cn n+Bn.由于an收斂，因此，”駛存在.于是，-be-be-be存在，且lim Cn =lim A, +lim Bn，即無（an +bn ）收斂，且2 （an +bn ） = 2 aFYr山n#n#-ben+W bn.n3(2)設(shè)常數(shù)c工0 ,則2 can收斂性與2 an相同，且若送an收斂，則送cann#n#n=1nl-be=應(yīng) an.n!二.正項(xiàng)級數(shù)1. 正項(xiàng)級數(shù)的定義每一項(xiàng)都非負(fù)的級數(shù)稱為正項(xiàng)級數(shù).2. 正項(xiàng)級數(shù)收斂的基本定理正項(xiàng)級數(shù)收斂當(dāng)且僅當(dāng)其部分和數(shù)列有界.事實(shí)上，若送an收斂，貝U其部分和（Sj收斂，因此，SJ有界，這是容易知道n 二的。另一方面，（

10、Sj是一個(gè)單調(diào)不減的數(shù)列，如果有界，則（Sj有極限,-be即2： an是收斂的。n=1（1）比較判別法設(shè)送an，n 土3.比較判別法及其極限形式Z bn都是正項(xiàng)級數(shù).假設(shè)存在一個(gè)正常數(shù)c以及正整數(shù)N，使得n呂-be-bean乞命-若藝bn收斂，則5： an收斂.心事實(shí)上，我們假設(shè)Z an的部分和為n ztAn，Z bn的部分和為Bn，則對任意n A N，n三NnA =2 ak + 送 akk絲k少十NZ ak + 送 cbk = j Sk 壬k出 H1Vkd：ak -送 cbk +2 cbk + 2 cbk =km J k3k蟲十Z NN送 ak-送 cbk + eBn 忙kTkT丿-be若2

11、 bn收斂，則歸有界，于是，認(rèn)有界。于是,-beZ an收斂.比較判別法的極限形式-be-be-be設(shè)送an和2： bn為正項(xiàng)級數(shù).如果lim直=| .當(dāng)| =0，若2： g收斂，則無 bnn ztn z1nz1-beannrn-be-be-be收斂.當(dāng)01 址，則S an與2 bn的斂散性相同當(dāng)I =址，若送an收斂，則nn#nZ bn收斂.n z：事實(shí)上，若I =0,存在一個(gè)N0，當(dāng)nN，有 空:，即an 0， n由21:3即iIba-Ibn.若S bn收斂，由比較判別法,22心-bez an收斂若nA-be送an收斂，由比較判別法,ni-beZ bn收斂.若I =邑，則limb=0.則由

12、送an收斂, 心an心-be無bn收斂.ni4.比值判別法及其極限形式F一a ,（：）假設(shè)2 an為正項(xiàng)級數(shù).若存在一個(gè)N 0和0r:：,使得當(dāng)nN，有 0,使得當(dāng)nN，有色吃n zian r，則2 an發(fā)散.nV事實(shí)上，若0crN+：，有an ran4 (rand )=r a. r (ran)=r a.； .r an.ra由于0rN +：，類似地,-be 有aniaN卅由于r：，因此，級數(shù)Sn=：是發(fā)散的.由比較判別法，級數(shù)-beZ an是發(fā)散的.n 二：比較判別法的極限形式乂-be-be設(shè)送an為正項(xiàng)級數(shù)假設(shè)lima-l.若I ：，則送an收斂若I：，則2 an發(fā)n 4ann #nl散若

13、I =1，此法失效.I +1事實(shí)上，若I 1，任取I a 1（例如a =），則存在一個(gè)N0，當(dāng)nN ,a有 g.由于01（例如 ann 4I +1aa =），則存在一個(gè)N0，當(dāng)nN有，有1.由比值判別法，送an2annd發(fā)散若I =1，取an =丄，貝U Iim = 1，但級數(shù)藝an發(fā)散.又取an =g，則nnTcann4nIim = 1 發(fā)散.但丄1，而-2 1= -nT 鈕 ann n(n-1)n-1 nnn(n-1)n-1 nz f，因此，F(xiàn)丄是收斂的.這說明當(dāng)1=1，此法失效了 . 心（k 1 k丿nk弓n備注：比較判別法及其極限形式也適用于任意項(xiàng)級數(shù).這不難從證明過程中看出.假設(shè)數(shù)列

14、aj滿足limF an這時(shí)候，表述應(yīng)該相應(yīng)敘述如下:=1 .若I 1,則I： an發(fā)散若I =1，此法失效.n i事實(shí)上,若nman41an=1 1，按照正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法，級數(shù) Z-beannrn是收斂的,由于00，使得當(dāng)n，有an +an沁.這樣，當(dāng)n N，有 |an an2 a anNaN十T畑，于是,an# 0.這樣,級數(shù)藝an是發(fā)散的.n 2若1=1，道理同上.型7。1判定數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性1。(02,3)設(shè) Un 工0 ,nn11且lim =1，則級數(shù)送(1)(丄+亠) FUnUn UT2。3。散。(A)發(fā)散；(C)條件收斂;(04,4)(A)(B)(C)(06,4)(A)(B)絕

15、對收斂；(D)收斂性不能判定.設(shè)S an為正項(xiàng)級數(shù)，下列結(jié)論中正確的是n4若nimnan=0，則級數(shù)2 an收斂。若存在非零常數(shù)入，使得lim nan =入，n_jcc則級數(shù)2 an發(fā)散。n=1若級數(shù)2 an收斂，則lim nnjpC若級數(shù)C送I ann =12ancZ an收斂，則級數(shù)nzt收斂。(B)CZ (1)nan 收斂。nzi(C)送an an十收斂。n壬(09,4)設(shè)有兩個(gè)數(shù)列C(A)當(dāng)S bn收斂時(shí),n =1C(C)當(dāng)送|bn|收斂時(shí),nz1(D)an +an+ 收斂。心2ajdbn，若 nman =，則3CZ anbn收斂。nrn a2b：收斂。n ztC3C(B)當(dāng)2 bn發(fā)

16、散時(shí)，S anbn發(fā)nrnn 二1(D)當(dāng)bnl發(fā)散時(shí)，h a2b2發(fā)散。n=1題型7。2證明數(shù)項(xiàng)級數(shù)的斂散性5。題型7。3求幕級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間及收斂域C(08,4)已知幕級數(shù) an(x +2)n在x=0處收斂，在x = -4處發(fā)散，則幕級數(shù)n z0(X -3 )的收斂域?yàn)轭}型7。4求幕級數(shù)的和函數(shù)比x3n7。( 02,7)1.驗(yàn)證函數(shù)y(x)=2 (-處處)滿足微分方程y+y+y=r ；nA (3n)!處x3n2.求幕級數(shù)y(x)=S的和函數(shù). n=0 (3n)!處1& ( 05,12)求幕級數(shù)2 (1)2(1 +)x2n的收斂區(qū)間與和函數(shù)f(x)n 呂n(2 n-1)c9。( 07,10)設(shè)幕級數(shù)S anxn在(亠，+=c)內(nèi)收斂，其和函數(shù)y(x)滿足n z0八2xy4y =0,y(0) =0, y(0) =1.2(I) 證明：an電=an,n =1,2，川;n +1(II) 求y(x)的表達(dá)式。處(一1)10。( 10,10)求幕級數(shù) Z n=1n4x2n的收斂域及和函數(shù)。2n 1題型7。5求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和11。( 09，9)設(shè)an為曲線y = xn與y =xnF(n=1,2,.)所圍成區(qū)域的面積，記求S,與S2的值。題型7。6求函數(shù)的幕級數(shù)展開式1 H