（全國通用版）201X版高考數(shù)學大一輪復習第八章立體幾何初步第5節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質文新人教A版

1、第5節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質,最新考綱1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中線面垂直的有關性質與判定定理；2.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間圖形的垂直關系的簡單命題,1.直線與平面垂直 (1)直線和平面垂直的定義 如果一條直線l與平面內的直線都垂直，就說直線l與平面互相垂直,知 識 梳 理,任意,2)判定定理與性質定理,兩條相交直線,la,lb,a,b,平行,a,b,2.平面與平面垂直 (1)平面與平面垂直的定義 兩個平面相交，如果它們所成的二面角是，就說這兩個平面互相垂直,直二面角,2)判定定理與性質定理,垂線,l,l,交線,a,la,l,常用結論與微點

2、提醒 1.兩個重要結論 (1)若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面. (2)若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法). 2.使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內的無數(shù)條直線，就垂直于這個平面”. 3.線線、線面、面面垂直間的轉化,1.思考辨析(在括號內打“”或“”,1)直線l與平面內的無數(shù)條直線都垂直，則l.() (2)垂直于同一個平面的兩平面平行.() (3)若兩平面垂直，則其中一個平面內的任意一條直線垂直于另一個平面.() (4)若平面內的一條直線垂直于平面內的無數(shù)條直線，則.(

3、,診 斷 自 測,解析(1)直線l與平面內的無數(shù)條直線都垂直，則有l(wèi)或l與斜交或l或l，故(1)錯誤. (2)垂直于同一個平面的兩個平面平行或相交，故(2)錯誤. (3)若兩個平面垂直，則其中一個平面內的直線可能垂直于另一平面，也可能與另一平面平行，也可能與另一平面相交，也可能在另一平面內，故(3)錯誤. (4)若平面內的一條直線垂直于平面內的所有直線，則，故(4)錯誤. 答案(1)(2)(3)(4,2.(必修2P73A組T1改編)下列命題中不正確的是() A.如果平面平面，且直線l平面，則直線l平面 B.如果平面平面，那么平面內一定存在直線平行于平面 C.如果平面不垂直于平面，那么平面內一定

4、不存在直線垂直于平面 D.如果平面平面，平面平面，l，那么l 解析根據(jù)面面垂直的性質，A不正確，直線l平面或l或直線l與相交. 答案A,3.(2018湖南六校聯(lián)考)已知m和n是兩條不同的直線，和是兩個不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m的是() A.且m B.mn且n C.mn且n D.mn且 解析由線線平行性質的傳遞性和線面垂直的判定定理，可知C正確. 答案C,4.(2017全國卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則() A.A1EDC1 B.A1EBD C.A1EBC1 D.A1EAC,解析如圖，由題設知，A1B1平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1，從而A

5、1B1BC1.又B1CBC1，且A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1CD，又A1E平面A1B1CD，所以A1EBC1. 答案C,5.邊長為a的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，則折疊后AC的長為_,解析如圖所示，取BD的中點O，連接AO，CO， 則AOC是二面角ABDC的平面角， 即AOC90,答案a,考點一線面垂直的判定與性質,例1】 如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中點.證明,1)CDAE； (2)PD平面ABE,證明(1)在四棱錐PABCD中， PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD， 又ACCD，且

6、PAACA， CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE. (2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA. E是PC的中點，AEPC. 由(1)知AECD，且PCCDC， AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD. PA底面ABCD，AB平面ABCD，PAAB. 又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD. 又ABAEA，PD平面ABE,規(guī)律方法1.證明直線和平面垂直的常用方法有： (1)判定定理；(2)垂直于平面的傳遞性(ab，ab)；(3)面面平行的性質(a，a)；(4)面面垂直的性質(，a，la，ll). 2.證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則

7、需借助線面垂直的性質.因此，判定定理與性質定理的合理轉化是證明線面垂直的基本思想,求證：PACD,證明因為AB為圓O的直徑，所以ACCB,由余弦定理得CD2DB2BC22DBBCcos 303， 所以CD2DB2BC2，即CDAB. 因為PD平面ABC，CD平面ABC， 所以PDCD，由PDABD得，CD平面PAB， 又PA平面PAB，所以PACD,考點二面面垂直的判定與性質,例2】 如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分別是CD和PC的中點，求證： (1)PA底面ABCD； (2)BE平面PAD； (3)平面BEF平面PCD,證

8、明(1)平面PAD底面ABCD， 且PA垂直于這兩個平面的交線AD，PA平面PAD， PA底面ABCD. (2)ABCD，CD2AB，E為CD的中點， ABDE，且ABDE. 四邊形ABED為平行四邊形. BEAD. 又BE平面PAD，AD平面PAD， BE平面PAD,3)ABAD，而且ABED為平行四邊形. BECD，ADCD， 由(1)知PA底面ABCD，CD平面ABCD， PACD，且PAADA，PA，AD平面PAD， CD平面PAD，又PD平面PAD，CDPD. E和F分別是CD和PC的中點， PDEF. CDEF，又BECD且EFBEE， CD平面BEF，又CD平面PCD， 平面BE

9、F平面PCD,規(guī)律方法1.證明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理. 2.已知兩平面垂直時，一般要用性質定理進行轉化，在一個平面內作交線的垂線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直,訓練2】 (2017北京卷)如圖，在三棱錐PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點,1)求證：PABD； (2)求證：平面BDE平面PAC； (3)當PA平面BDE時，求三棱錐EBCD的體積,1)證明PAAB，PABC， AB平面ABC，BC平面ABC，且ABBCB， PA平面ABC，又BD平面ABC，PABD. (2)證明

10、ABBC，D是AC的中點， BDAC. 由(1)知PA平面ABC，PA平面PAC， 平面PAC平面ABC. 平面PAC平面ABCAC，BD平面ABC，BDAC，BD平面PAC. BD平面BDE，平面BDE平面PAC,3)解PA平面BDE， 又平面BDE平面PACDE， PA平面PAC，PADE. 由(1)知PA平面ABC，DE平面ABC. D是AC的中點，E為PC的中點,考點三平行與垂直的綜合問題(多維探究) 命題角度1多面體中平行與垂直關系的證明,例31】 (2017山東卷)由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱錐C1B1CD1后得到的幾何體如圖所示.四邊形ABCD為正方形，O為AC與BD

11、的交點，E為AD的中點，A1E平面ABCD,1)證明：A1O平面B1CD1； (2)設M是OD的中點，證明：平面A1EM平面B1CD1,證明(1)取B1D1的中點O1，連接CO1，A1O1， 由于ABCDA1B1C1D1是四棱柱， 所以A1O1OC，A1O1OC， 因此四邊形A1OCO1為平行四邊形， 所以A1OO1C， 又O1C平面B1CD1，A1O平面B1CD1， 所以A1O平面B1CD1,2)因為ACBD，E，M分別為AD和OD的中點， 所以EMBD， 又A1E平面ABCD，BD平面ABCD， 所以A1EBD， 因為B1D1BD，所以EMB1D1，A1EB1D1， 又A1E，EM平面A1

12、EM，A1EEME， 所以B1D1平面A1EM， 又B1D1平面B1CD1， 所以平面A1EM平面B1CD1,規(guī)律方法1.三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進行線線、線面、面面垂直間的轉化. 2.垂直與平行的結合問題，求解時應注意平行、垂直的性質及判定的綜合應用,命題角度2平行垂直中探索性問題,例32】 如圖所示，平面ABCD平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BCCE，點F為CE的中點,1)證明：AE平面BDF. (2)點M為CD上任意一點，在線段AE上是否存在點P，使得PMBE？若存在，確定點P的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由,1)證明連接AC交BD于O，連接OF，如圖,四邊形AB

13、CD是矩形，O為AC的中點，又F為EC的中點， OF為ACE的中位線， OFAE，又OF平面BDF，AE平面BDF， AE平面BDF,2)解當P為AE中點時，有PMBE， 證明如下：取BE中點H，連接DP，PH，CH， P為AE的中點，H為BE的中點， PHAB，又ABCD， PHCD，P，H，C，D四點共面. 平面ABCD平面BCE，平面ABCD平面BCEBC，CD平面ABCD，CDBC. CD平面BCE，又BE平面BCE， CDBE，BCCE，H為BE的中點，CHBE， 又CDCHC，BE平面DPHC， 又PM平面DPHC， BEPM，即PMBE,規(guī)律方法1.求條件探索性問題的主要途徑：(

14、1)先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；(2)先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性. 2.涉及點的位置探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點的位置再給出證明，探索點存在問題，點多為中點或三等分點中某一個，也可以根據(jù)相似知識建點,命題角度3空間位置關系與幾何體的度量計算,例33】 (2017全國卷)如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD，且BAPCDP90,1)證明由已知BAPCDP90，得ABPA，CDPD. 由于ABCD，故ABPD. 又PAPDP，PA，PD平面PAD， 從而AB平面PAD.又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAD. (2)解如圖，在平面PAD內作PEA

15、D，垂足為E,由(1)知，AB平面PAD，故ABPE，又ABADA，可得PE平面ABCD,規(guī)律方法1.本題證明的關鍵是垂直與平行的轉化，如由ABCD，CDPD，從而得ABPD，進一步證明平面PAB中的AB平面PAD，再運用面面垂直的判定定理得出平面PAB平面PAD. 2.第(2)問先由已知分別求出四棱錐各個側面的底邊長和高，再求出四棱錐的側面積.其中利用第(1)問的結論得出AB平面PAD，從而進一步證明PE平面ABCD，確定四棱錐PABCD的高PE，將空間論證與幾何體的計算交匯滲透，這是命題的方向,1)求證：AC平面FBC. (2)求四面體FBCD的體積. (3)線段AC上是否存在點M，使EA平面FDM？若存在，請說明其位置，并加以證明；若不存在，請說明理由,所以AC2BC2AB2，所以ACBC. 又因為ACFB，BCFBB，BC，F(xiàn)B平面FBC， 所以AC平面FBC. (2)解因為AC平面FBC，F(xiàn)C平面FBC，所以ACFC. 因為CDFC，