課題：含有絕對值的不等式(2

1、課 題：含有絕對值的不等式（2） 教學目的：1.進一步掌握含有絕對值不等式的定理及其推論；2培養(yǎng)學生的化歸（或轉(zhuǎn)化）的數(shù)學思想*3提高分析問題和解決問題以及綜合運用數(shù)學知識的能力4培養(yǎng)創(chuàng)新意識，提高學生的數(shù)學素質(zhì)*教學重點：不等式性質(zhì)、定理的綜合運用教學難點：常見證明技巧授課類型：新授課課時安排：1課時教具：多媒體、實物投影儀教學過程：一、復習引入：上一節(jié)課，我們學習了含絕對值的不等式的一個重要性質(zhì)，并認識到證明 不等式的方法的多樣性與靈活性，這一節(jié)，我們將綜合運用絕對值的性質(zhì)、不 等式的性質(zhì)、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理證明不等式 .定理：|a I -|b 國 a +b|蘭|a I +|b|

2、注意：1。左邊可以“加強”同樣成立，即|a|b(蘭 |a + bF|a|+|b|22*這個不等式俗稱“二角不等式”一二角形中兩邊之和大于第二邊，兩邊之差 小于第三邊3a,b同號時右邊取“ =”，a,b異號時左邊取“=”推論1：丨ai七2 +an丨 0,R0)2 .2r +R求證：| ac+ bd |w證明：（綜合法） a、| ac+ bd |w2b、C、d都是實數(shù)，2丄 2.2,22,.2,2,.2,a +c , b +d a +b +c +dI ac | + | bd | +一2 2/ a2+ b2= r 2c2+ d2= R2,r2 + R2I ac+ bd |w 2設(shè)f (x) = x2

3、+px+ q,求證：| f (1) I、| f|、| f|中至少有一個不小于 12說明:此題正面證明較為困難，“正難則反”，引導學生嘗試“反證法”證明.證明:1 1 1(反證法)假設(shè)原命題不成立，則|f(1)| - ,|f(2)| -，|v -,|f(1)|+2 |f(2)|+|f(3)| |f(1)+f(3) 2f(2)|=2這與矛盾，故假設(shè)不成立，求證為真.例3求證：上巴吐士吐.1 + |a |+ |b| 1+|a+b|證法一：(分析法)要證明中問 2中1 + |a|+|b|1 + |a+b|只需證(|a|+|b|)(1+|a+b|)|a+b| (1+|a|+|b|)只需證 |a|+|b|

4、+(|a|+|b|) |a+b|a+b|+(|a|+|b|)|a+b|只需證 |a|+|b| |a+b|顯然上式成立 所以原不等式成立, 證法二：(利用函數(shù)的單調(diào)性)構(gòu)造函數(shù) f(x)=L (x 0)1 +x f(x)= =11+x 1+x函數(shù)f(x)在0,+ )是增函數(shù)*f(|a+b |)= a+b1+|a +b|而 ai+|b| |a+b|,. f(|a|+|b|)f(|a+b |)|a|+|b|a +b|1+|a|+|b| i+|a +b|例 4 已知 x? +y2 =1,求證：一 Ji a? y -ax 蘭 Ji +a2說明：根據(jù)已知條件X2+ y2=i的形式特點，可以進行三角代換，即

5、設(shè)X = cosot, y =sinot，轉(zhuǎn)化為三角形式的不等式解：設(shè) X = cosa, y = sin a ,則| y -ax|=|sin a -a co貿(mào) |= Jl+a2 |sin(a -S) | (其中 tan 0 =a)/ |sin(a 0 )|w 1 J1 +a2 | sin(a -0) | J1 +a2 | y -ax |蘭 Jl +a2-J1 + a2 y -ax J1 +a2課堂練習：若|x a I m,| y a | n,則下列不等式一定成立的是(DB I x y | 2n C | x y | nm D I x y | ，使得 | f(X1) f(X2)| 1.A* I

6、Xy | 2m2.已知函數(shù)f(x)= 2x+1，對任意的正數(shù) 個充分非必要條件是(C ) n+ m成立的一ggA | X1 X2 | B | X1 X2 | C * | X1 X2 |202；(2)| x+2|+| x+1|+| x-1|+|x-2| 6;(3)2| x+2|+| x+1| 1(當且僅當x=-2時，“=”號成立 卜 證明:(1)| x+1|+| x-1| |( x+1)-( x-1)|=2 +(2)| x+1|+| x-1| |( x+1)-( x-1)|=2 .當且僅當(x+1)( x-1) W 0,即-1 W X W 1時“=”成立；又 | x+2|+| x-2| |( x

7、+2)-( x-2)|=4,當且僅當(x+2)( x-2) w 0,即-2 w x w 2時“=”號成立* | x+2|+| x+1|+| x-1|+| x-2| 6,_1 c X 丈1當且僅當J -即-1 w x w 1時“=”號成立，2x |( x+2)-( x+1)|=1,當且僅當(x+2)( x+1) w 0,即-2 w x w -1時“=”號成立； 又|x+2| 0,當且僅當x=-2時，“=”號成立， 2| x+2|+| x+1| 1,當x=-2時，“=”號成立+4已知f (x)=+ X2 ,當| a|豐| b|時，求證:(1) | a+b| f(a)- f(b)| *證明：(1)|

8、a+b| w |a|+| b| 斤盲 + JT盲=|f(可+f(b)| (2) 由(1)得：| a+b| |a +b|J1 +a2 中 J1 +b2(1 + a2)-(1 +b2) /va2 + J1 + b=Jl + a2 - Jl +b2二 f (a) - f (b)5求證:a2 -b2n A |a|-|b|( az b)lal2 . 2a -b2 .2a -b證明：當 | a| | b| 時,| a|-| b| |a|-| b|;當 | a| b| 時，又 az 0,從而 | a|0,有 | b|-1ab2=-p -| b|a- (| b| 0)2.221 2.2a-bAa-lb =|

9、al-b |a|-| b|.綜上所述有：a2-b2 |a|-| b|( a b).6若 |x|1,| y|1,| z|1,求證：I x+y+z+xyz *1 + xy + yz + zx證明：所證不等式I x+y+z+xyz|1+ xy+yz+zx|2 2(x+y+z+xyz) (1 + xy+yz+zx)(xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1)( xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1)0:(x+1)( y+1)( z+1): :(x-1)( y-1)( z-1) : 0 (x2-1)(由于 |x|1,| 于是(x2-1)(2 2y-1)( z-1)0y|1,| z|1，y2-1)( z2-1)0從而 x21, y21, z21,成立,所以原不等式成立,7已知a, b R求證:a +b1 +ia+b 1+a證