小學(xué)的奧數(shù)平面幾何五種面積模型等積

1、標(biāo)準(zhǔn)實用 文案大全 小學(xué)奧數(shù)平面幾何五種模型（等積，鳥頭，蝶形，相似，共邊） 目標(biāo)：熟練掌握五大面積模型等積，鳥頭，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共邊（含燕尾模型和風(fēng)箏模型）， 掌握五大面積模型的各種變形 知識點撥 一、等積模型 等底等高的兩個三角形面積相等； 兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比； 兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比； 如右圖12:SSab? 夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖ACDBCDSS?； 反之，如果ACDBCDSS?，則可知直線AB平行于CD 等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)； 三角形面積等于與它等底等高

2、的平行四邊形面積的一半； 兩個平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比 二、鳥頭定理 兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形 共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比 如圖在ABC中，,DE分別是,ABAC上的點如圖 (或D在BA的延長線上，E在AC上)， 則:():()ABCADESSABACADAE? EDCBA EDCBA 圖 圖 三、蝶形定理 任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝶形定理”)： 1243:SSSS?或者1324SSSS?1243:AOOCSSSS? 蝶形定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問

3、題的一個途徑通過構(gòu)造 模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；baS2S 1DCB AS4S3S2S1ODCBA標(biāo)準(zhǔn)實用 文案大全 另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系 梯形中比例關(guān)系(“梯形蝶形定理”)： 2213:SSab? 221324:SSSSababab?； S的對應(yīng)份數(shù)為?2ab? 四、相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 GFEABCD ABCDEFG ADAEDEAFABACBCAG?； 22:ADEABCSSAFAG?： 所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形(只要其形狀不改變，不論大小怎樣改變它們都相似)，與相似三角形

4、相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下： 相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比； 相似三角形的面積比等于它們相似比的平方； 連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線 三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應(yīng)的底邊長的一半 相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具 在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因為兩條平行線而出現(xiàn)的相似三角形 五、共邊定理（燕尾模型和風(fēng)箏模型） 在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一點O，那么:ABOACOSSBDDC? 上述定理給出了一個新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因為ABO?和ACO?的形狀很象燕子的尾巴，所以這個

5、定理被稱為燕尾定理該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個三角形之中，為三角形中的三角形面積對應(yīng)底邊之間提供互相聯(lián)系的途徑 . ABCDObaS3S2S1S 4OFEDCBA標(biāo)準(zhǔn)實用 文案大全 典型例題 【例 1】 如圖，正方形ABCD的邊長為6，AE?1.5，CF?2長方形EFGH的面積為 【解析】 連接DE，DF，則長方形EFGH的面積是三角形DEF面積的二倍 三角形DEF的面積等于正方形的面積減去三個三角形的面積， 661.5622624.54216.5DEFS?,所以長方形EFGH面積為33 【鞏固】如圖所示，正方形ABCD的邊長為8厘米，長方形EB

6、GF的長BG為10厘米，那么長方形的寬為幾厘米？ 【解析】 本題主要是讓學(xué)生會運用等底等高的兩個平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半 證明：連接AG(我們通過ABG把這兩個長方形和正方形聯(lián)系在一起) 在正方形ABCD中，G12ABSABAB?邊上的高， 12ABGABCDSS ?(三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半) 同理，12ABGEFGBSS? 正方形ABCD與長方形EFGB面積相等 長方形的寬88106.?(厘米) _ H_ G_ F_ E_ D_ C_ B_ A _ A_ B_ C_ D_ E_ F_

7、 G_ H _ A_ B_ G _ C _ E_ F_ D _ A_ B_ G _ C _ E_ F_ D 標(biāo)準(zhǔn)實用 文案大全 【例 2】 長方形ABCD的面積為362cm，E、F、G為各邊中點，H為AD邊上任意一點，問陰影部分面積是多少？ HGFEDCBA 【解析】 解法一：尋找可利用的條件，連接BH、HC，如下圖： HGFEDCBA 可得：12EHBAHBSS? 、12FHBCHBSS? 、12DHGDHCSS?，而36ABCDAHBCHBCHDSSSS? 即11()361822EHBBHFDHGAHBCHBCHDSSSSSS?； 而EHBBHFDHGEBFSSSSS?陰影，11111()

8、()364.522228EBFSBEBFABBC? 所以陰影部分的面積是：18184.513.5EBFSS?陰影 解法二：特殊點法找H的特殊點，把H點與D點重合， 那么圖形就可變成右圖： G ABCDEF(H ) 這樣陰影部分的面積就是DEF?的面積，根據(jù)鳥頭定理，則有： 11111113636363613.52222222ABCDAEDBEFCFDSSSSS?陰影 【鞏固】在邊長為6厘米的正方形ABCD內(nèi)任取一點P，將正方形的一組對邊二等分，另一組對邊三等分，分別與P點連接,求陰影部分面積 標(biāo)準(zhǔn)實用 文案大全 PDCBA ABCD(P) PDCBA 【解析】 （法1）特殊點法由于P是正方形內(nèi)

9、部任意一點，可采用特殊點法，假設(shè)P點與A點重合，則陰影部分變?yōu)槿缟现袌D所示，圖中的兩個陰影三角形的面積分別占正方形面積的14和16，所以陰影部分的面積為2116()1546?平方厘米 （法2）連接PA、PC 由于PAD?與PBC?的面積之和等于正方形ABCD面積的一半，所以上、下兩個陰影三角形的面積之和等于正方形ABCD面積的14，同理可知左、右兩個陰影三角形的面積之和等于正方形ABCD面積的16，所以陰影部分的面積為2116()1546?平方厘米 【例 3】 如圖所示，長方形ABCD內(nèi)的陰影部分的面積之和為70，8AB?，15AD?，四邊形EFGO的面積為 OGFEDCBA 【解析】 利用圖

10、形中的包含關(guān)系可以先求出三角形AOE、DOG和四邊形EFGO的面積之和，以及三角形AOE和DOG的面積之和，進而求出四邊形EFGO的面積 由于長方形ABCD的面積為158120?，所以三角形BOC的面積為1120304?，所以三角形AOE和DOG的面積之和為312070204?； 又三角形AOE、DOG和四邊形EFGO 的面積之和為111203024?，所以四邊形EFGO的面積為302010? 另解：從整體上來看，四邊形EFGO的面積?三角形AFC面積?三角形BFD面積?白色部分的面積，而三角形AFC面積?三角形BFD面積為長方形面積的一半，即60，白色部分的面積等于長方形面積減去陰影部標(biāo)準(zhǔn)實

11、用 文案大全 分的面積，即1207050?，所以四邊形的面積為605010? 【鞏固】如圖，長方形ABCD的面積是36，E是AD的三等分點，2AEED?，則陰影部分的面積為 OABCDE NMOABCDE 【解析】 如圖，連接OE 根據(jù)蝶形定理，1:1:12COECDECAECDEONNDSSSS?，所以12OENOEDSS?1:1:42BOEBAEBDEBAEOMMASSSS?，所以15OEMOEASS? 又11334OEDABCDSS?矩形，26OEAOEDSS?，所以陰影部分面積為：11362.725? 【例 4】 已知ABC為等邊三角形，面積為400，D、E、F分別為三邊的中點，已知甲

12、、乙、丙面積和為143，求陰影五邊形的面積(丙是三角形HBC ) 丙乙甲HNMJIFEDCBA 【解析】 因為D、E、F分別為三邊的中點，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位線，也就與對應(yīng)的邊平行，根據(jù)面積比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面積都等于三角形ABC的一半，即為200 根據(jù)圖形的容斥關(guān)系，有ABCABNAMCAMHNSSSSS?丙， 即400 200200AMHNSS?丙，所以AMHNSS?丙 又ADFAMHNSSSSS?乙甲陰影 ，所以1143400434ADFSSSSS?乙甲丙陰影 標(biāo)準(zhǔn)實用 文案大全 【例 5】 如圖，已知5CD?，7DE?，15EF?，6FG?，線段

13、AB將圖形分成兩部分，左邊部分面積是38，右邊部分面積是65，那么三角形ADG的面積是 GFEDCBA ABCDEFG 【解析】 連接AF，BD 根據(jù)題意可知，571527CF?；715628DG?； 所以，1527BECBFFSS? ，1227BECBFCSS? ，2128AEGADGSS? ，728AEDADGSS?， 于是：2115652827ADGCBFSS? ；712382827ADGCBFSS?； 可得40ADGS?故三角形ADG的面積是40 【例 6】 如圖在ABC中，,DE分別是,ABAC上的點，且:2:5ADAB?，:4:7AEAC?，16ADES?平方厘米，求ABC的面積

14、EDCBA EDCBA 【解析】 連接BE，:2:5(24):(54)ADEABESSADAB?， :4:7(45):(75)ABEABCSSAEAC?，所以:(24):(7ADEABCSS?，設(shè)8ADES?份，則35ABCS?份，16ADES?平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC的面積是70平方厘米由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比 【鞏固】如圖，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面積等于1，那么三角形ABC的面積是多少？ 標(biāo)準(zhǔn)實用 文案大全 EDCBA ABCDE

15、 【解析】 連接BE 3ECAE? 3ABCABESS ? 又5ABAD? 515ADEABEABCSSS? ?，1515ABCADESS? ? 【鞏固】如圖，三角形ABC被分成了甲(陰影部分)、乙兩部分，4BDDC?，3BE?，6AE?，乙部分面積是甲部分面積的幾倍？ 乙甲EDCBA ABCDE甲乙 【解析】 連接AD 3BE?，6AE? 3ABBE?，3ABDBDESS ? 又4BDDC?， 2ABCABDSS ?，6ABCBDESS ?，5SS?乙甲 【例 7】 如圖在ABC中，D在BA的延長線上，E在AC上，且:5:2ABAD?， :3:2AEEC?，12ADES?平方厘米，求ABC的

16、面積 EDCBA EDCBA 【解析】 連接BE，:2:5(23):(53)ADEABESSADAB? ?:3:(32)(35):(32)5ABEABCSSAEAC?， 所以?:(32):5(32)6:25ADEABCSS?，設(shè)6ADES?份，則25ABCS?份，12ADES?平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC的面積是50平方厘米由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相等角或互補角)兩夾邊的乘積之比 標(biāo)準(zhǔn)實用 文案大全 【例 8】 如圖，平行四邊形ABCD，BEAB?，2CFCB?，3GDDC?，4HAAD?，平行四邊形ABCD的面積是

17、2， 求平行四邊形ABCD與四邊形EFGH的面積比 HGABCDEF HGABCDEF 【解析】 連接AC、BD根據(jù)共角定理 在ABC和BFE中，ABC?與FBE?互補， 111133ABCFBESABBCSBEBF? 又1ABCS?，所以3FBES? 同理可得8GCFS?，15DHGS?，8AEHS? 所以8815+3+236EFGHAEHCFGDHGBEFABCDSSSSSS? 所以213618ABCDEFGHSS? 【例 9】 如圖所示的四邊形的面積等于多少？ ODCBA1313121213131212 【解析】 題目中要求的四邊形既不是正方形也不是長方形，難以運用公式直接求面積. 我們

18、可以利用旋轉(zhuǎn)的方法對圖形實施變換： 把三角形OAB繞頂點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使長為13的兩條邊重合，此時三角形OAB將旋轉(zhuǎn)到三角形OCD 的位置.這樣，通過旋轉(zhuǎn)后所得到的新圖形是一個邊長為12的正方形，且這個正方形的面積就是原來四邊形的面積. 因此，原來四邊形的面積為1212144?.(也可以用勾股定理) 【例 10】 如圖所示，ABC?中，90ABC?，3AB?，5BC?，以AC為一邊向ABC?外作正方形ACDE，中心為O，求OBC?的面積 標(biāo)準(zhǔn)實用 文案大全 53OABCDE F53OABCDE 【解析】 如圖，將OAB?沿著O點順時針旋轉(zhuǎn)90?，到達(dá)OCF?的位置 由于90ABC?，90AOC

19、?，所以180OABOCB?而OCFOAB?， 所以180OCFOCB?，那么B、C、F三點在一條直線上 由于OBOF?，90BOFAOC?，所以BOF?是等腰直角三角形，且斜邊BF為538?，所以它的面積為218164? 根據(jù)面積比例模型，OBC?的面積為516108? 【例 11】 如圖，以正方形的邊AB為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形ABE，90AEB?，AC、BD交于O已知AE、BE的長分別為3cm、5cm，求三角形OBE的面積 CDOE FCDOE 【解析】 如圖，連接DE，以A點為中心，將ADE?順時針旋轉(zhuǎn)90?到ABF?的位置 那么90EAFEABBAFEABDAE?，而AEB?也是

20、90?，所以四邊形AFBE是直角梯形，且3AFAE?， 所以梯形AFBE的面積為： ?1353122?(2cm) 又因為ABE?是直角三角形，根據(jù)勾股定理，222223534ABAEBE?，所以21172ABDSAB?(2cm) 那么?17125BDEABDABEADEABDAFBESSSSSS?(2cm)， 所以12.52OBEBDESS?(2cm) 標(biāo)準(zhǔn)實用 文案大全 【例 12】 如下圖，六邊形ABCDEF中，ABED?，AFCD?，BCEF?，且有AB平行于ED，AF平行于CD，BC平行于EF，對角線FD垂直于BD，已知24FD?厘米，18BD?厘米，請問六邊形ABCDEF的面積是多少

21、平方厘米？ FEABDC GFEABDC 【解析】 如圖，我們將BCD?平移使得CD與AF重合，將DEF?平移使得ED與AB重合，這樣EF、BC都重合到圖中的AG了這樣就組成了一個長方形BGFD，它的面積與原六邊形的面積相等，顯然長方形BGFD的面積為2418432?平方厘米，所以六邊形ABCDEF的面積為432平方厘米 【例 13】 如圖，三角形ABC的面積是1，E是AC的中點，點D在BC上，且:1:2BDDC?，AD與BE交于點F則四邊形DFEC的面積等于 FEDCB A33321FEDCBA ABCDEF 【解析】 方法一：連接CF ，根據(jù)燕尾定理，12ABFACFSBDSDC? ，1A

22、BFCBFSAESEC?, 設(shè)1BDFS?份，則2DCFS?份，3ABFS?份，3AEFEFCSS?份，如圖所標(biāo) 所以551212DCEFABCSS? 方法二：連接DE，由題目條件可得到1133ABDABCSS?， 11212233ADEADCABCSSS? ，所以11ABDADESBFFES?， 標(biāo)準(zhǔn)實用 文案大全 111111122323212DEFDEBBECABCSSSS?， 而211323CDEABCSS?所以則四邊形DFEC 的面積等于512 【鞏固】如圖，長方形ABCD的面積是2平方厘米，2ECDE?，F(xiàn)是DG的中點陰影部分的面積是多少平方厘米 ? xyyxABCDEFGGFED

23、CB A33GFEDCBA213 【解析】 設(shè)1DEFS?份，則根據(jù)燕尾定理其他面積如圖所示551212BCDSS?陰影平方厘米. 【例 14】 四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點O(如圖所示)如果三角形ABD的面積等于三角形BCD 的面積的13，且2AO?，3DO?，那么 CO的長度是DO的長度的_倍 ABCDO HGABCDO 【解析】 在本題中，四邊形ABCD為任意四邊形，對于這種”不良四邊形”，無外乎兩種處理方法：利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；通過畫輔助線來改造不良四邊形看到題目中給出條件:1:3ABDBCDSS?，這可以向模型一蝶形定理靠攏，于是得出一種解法又觀察題

24、目中給出的已知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個中介來改造這個”不良四邊形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面積比轉(zhuǎn)化為高之比再應(yīng)用結(jié)論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出結(jié)果請老師注意比較兩種解法，使學(xué)生體會到蝶形定理的優(yōu)勢，從而主觀上愿意掌握并使用蝶形定理解決問題 解法一：:1:3ABDBDCAOOCSS?，236OC?，:6:32:1OCOD? 解法二：作AHBD?于H，CGBD?于G 13ABDBCDSS?，13AHCG?，13AODDOCSS?， 13AOCO?，236OC?，:6:32:1OCOD? 標(biāo)準(zhǔn)實用 文案大

25、全 【鞏固】如圖，四邊形被兩條對角線分成4個三角形，其中三個三角形的面積已知， 求：三角形BGC的面積；:AGGC?？ ABCDG321 【解析】 根據(jù)蝶形定理，123BGCS? ?，那么6BGCS ?； 根據(jù)蝶形定理，?:12:361:3AGGC? 【例 15】 如圖，平行四邊形ABCD的對角線交于O點，CEF、OEF、ODF、BOE的面積依次是2、4、4和6求：求OCF的面積；求GCE的面積 GFEDCBA 【解析】 根據(jù)題意可知，BCD的面積為244616?，那么BCO和CDO?的面積都是1628?，所以O(shè)CF的面積為844?； 由于BCO的面積為8，BOE的面積為6，所以O(shè)CE的面積為

26、862?， 根據(jù)蝶形定理，:2:41:2COECOFEGFGSS?，所以:1:2GCEGCFSSEGFG?， 那么11221233GCECEFSS? 【例 16】 如圖，長方形ABCD中，:2:3BEEC?，:1:2DFFC?，三角形DFG的面積為2平方厘米，求長方形ABCD的面積 標(biāo)準(zhǔn)實用 文案大全 ABCDEFG ABCDEFG 【解析】 連接AE，F(xiàn)E 因為:2BEEC?，:1:2DFFC?，所 以3111()53210DEFABCDABCDSSS? ?長方形長方形 因為12AEDABCDSS ?長方形 ，11:5:1210AGGF?，所以510AGDGDFSS? ?平方厘米，所以12A

27、FDS ?平方厘米因為16AFDABCDSS ?長方形，所以長方形ABCD的面積是72平方厘米 【例 17】 如圖，正方形ABCD面積為3平方厘米，M是AD邊上的中點求圖中陰影部分的面積 GMDCBA 【解析】 因為M是AD邊上的中點，所以:1:2AMBC?，根據(jù)梯形蝶形定理可以知道 22:1:12:12:21:2:2:4AMGABGMCGBCGSSSS?（）（），設(shè)1AGMS?份，則123MCDS? 份，所以正方形的面積為1224312?份，224S?陰影份，所以:1:3SS?陰影正方形，所以1S?陰影平方厘米 【鞏固】在下圖的正方形ABCD中，E是BC邊的中點，AE與BD相交于F點，三角形

28、BEF的面積為1平方厘米，那么正方形ABCD面積是 平方厘米 標(biāo)準(zhǔn)實用 文案大全 ABCDEF 【解析】 連接DE，根據(jù)題意可知:1:2BEAD?，根據(jù)蝶形定理得2129S?梯形（）(平方厘米)，3ECDS?(平方厘米)，那么12ABCDS ?(平方厘米) 【例 18】 已知ABCD是平行四邊形，:3:2BCCE?，三角形ODE的面積為6平方厘米則陰影部分的面積是 平方厘米 OABCDOABD 【解析】 連接AC 由于ABCD是平行四邊形，:3:2BCCE?，所以:2:3CEAD?， 根據(jù)梯形蝶形定理，22:2:23:23:34:6:6:9COEAOCDOEAODSSSS? ?，所以6AOCS

29、 ?(平方厘米)，9AODS ?(平方厘米)，又691ABCACDSS? ?(平方厘米)，陰影部分面積為61521?(平方厘米) 【鞏固】右圖中ABCD是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘米)，陰影部分的面積是 平方厘米 21ABCDE94 21ABCDEO94 標(biāo)準(zhǔn)實用 文案大全 【分析】 連接AE由于AD與BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCDOAESS? 根據(jù)蝶形定理，4936OCDOAEOCEOADSSSS?，故236OCDS?， 所以6OCDS?(平方厘米) 【鞏固】右圖中ABCD是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示(單位：平方厘

30、米)，陰影部分的面積是 平方厘米 1682ABCD EO1682ABCDE 【解析】 連接AE由于AD與BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么OCDOAESS? 根據(jù)蝶形定理，2816OCDOAEOCEOADSSSS?，故216OCDS?，所以4OCDS?(平方厘米) 另解：在平行四邊形ABED中，?111681222ADEABEDSS? ?(平方厘米)， 所以1284AOEADEAODSSS?(平方厘米)， 根據(jù)蝶形定理，陰影部分的面積為8244?(平方厘米) 【例 19】 如圖，長方形ABCD被CE、DF分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形OFBC的面積

31、為_平方厘米 ?852OABCDEF ?852OABCDEF 【解析】 連接DE、CF四邊形EDCF為梯形，所以EODFOCSS? ?，又根據(jù)蝶形定理，EODFOCEOFCODSSSS?，所以2816EODFOCEOFCODSSSS?，所以4EODS?(平方厘米)，4812ECDS?(平方厘米)那么長方形ABCD的面積為12224?平方厘米，四邊形OFBC的面積為245289?(平方厘標(biāo)準(zhǔn)實用 文案大全 米) 【例 20】 如圖，ABC?是等腰直角三角形，DEFG是正方形，線段AB與CD相交于K點已知正方形DEFG的面積48，:1:3AKKB?，則BKD?的面積是多少？ KGFEDCB AMK

32、GFEDCBA 【解析】 由于DEFG是正方形，所以DA與BC平行，那么四邊形ADBC是梯形在梯形ADBC中，BDK?和ACK?的面積是相等的而:1:3AKKB?，所以ACK?的面積是ABC? 面積的11134?，那么BDK?的面積也是ABC?面積的14 由于ABC?是等腰直角三角形，如果過A作BC的垂線，M為垂足，那么M是BC的中點，而且AMDE?，可見ABM?和ACM?的面積都等于正方形DEFG面積的一半，所以ABC?的面積與正方形DEFG的面積相等，為48 那么BDK?的面積為148124? 【例 21】 下圖中，四邊形ABCD都是邊長為1的正方形，E、F、G、H分別是AB，BC，CD，

33、DA的中點，如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分 的面積之比是最簡分?jǐn)?shù)mn，那么，()mn?的值等于 ABCDEFGH HGFEDCBA 【解析】 左、右兩個圖中的陰影部分都是不規(guī)則圖形，不方便直接求面積，觀察發(fā)現(xiàn)兩個圖中的空白部分面積都比較好求，所以可以先求出空白部分的面積，再求陰影部分的面積 如下圖所示，在左圖中連接EG設(shè)AG與DE的交點為M 左圖中AEGD為長方形，可知AMD?的面積為長方形AEGD面積的14，所以三角形AMD的面積為21111248?又左圖中四個空白三角形的面積是 相等的，所以左圖中陰影部分的面積為111482? 標(biāo)準(zhǔn)實用 文案大全 MABCDEFG HNHGFEDCBA

34、 如上圖所示，在右圖中連接AC、EF設(shè)AF、EC的交點為N 可知EFAC且2ACEF?那么三角形BEF的面積為三角形ABC面積的14，所以三角形BEF 的面積為21111248?，梯形AEFC的面積為113288? 在梯形AEFC中，由于:1:2EFAC?，根據(jù)梯形蝶形定理，其四部分的面積比為：221:12:12:21:2:2:4?，所以三角形EFN的面積 為3118122424?，那么四邊形BENF 的面積為1118246?而右圖中四個空白四邊形的面積是相等的，所以右圖中陰影部分的面積為111463? 那么左圖中陰影部分面積與右圖中陰影部分面積之比為11:3:223?， 即32mn?， 那么

35、325mn? 【例 22】 如圖， ABC中，DE，F(xiàn)G，BC互相平行，ADDFFB?， 則:ADEDEGFFGCBSSS?四邊形四邊形 EGFADCB 【解析】 設(shè)1ADES?份，根據(jù)面積比等于相似比的平方， 所以22:1:4ADEAFGSSADAF?，22:1:9ADEABCSSADAB?， 因此4AFGS?份，9ABCS?份， 進而有3DEGFS?四邊形份，5FGCBS?四邊形份，所以:1:3:5ADEDEGFFGCBSSS?四邊形四邊形 【鞏固】如圖，DE平行BC，且2AD?，5AB?，4AE?，求AC的長 標(biāo)準(zhǔn)實用 文案大全 AEDCB 【解析】 由金字塔模型得:2:5ADABAEA

36、CDEBC?，所以42510AC? 【鞏固】如圖， ABC中，DE，F(xiàn)G，MN，PQ，BC互相平行， ADDFFMMPPB?，則 :ADEDEGFFGNMMNQPPQCBSSSSS?四邊形四邊形四邊形四邊形 【解析】 設(shè)1ADES?份，22:1:4ADEAFGSSADAF?，因此4AFGS?份，進而有3DEGFS?四邊形份，同理有5FGNMS?四邊形份，7MNQPS?四邊形份，9PQCBS?四邊形份 所以有 :1:3:5:7:9ADEDEGFFGNMMNQPPQCBSSSSS?四邊形四邊形四邊形四邊形 【例 23】 如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，F(xiàn)是BC邊的中點，E是DC邊上的點，且:1

37、:3DEEC?，AF與BE相交于點G，求ABGS GFAEDCBMGFAEDCBGFAEDCB 【解析】 方法一：連接AE，延長AF，DC兩條線交于點M，構(gòu)造出兩個沙漏，所以有:1:1ABCMBFFC?，因此4CM?，根據(jù)題意有3CE?，再根據(jù)另一個沙漏有:4:7GBGEABEM?，所以4432(442)471111ABGABESS? 方法二：連接,AEEF，分別求4224ABFS?，4441232247AEFS?，根據(jù)蝶形定理:ABFAEFSSBGGE?，所以4432(442)471111ABGABESS? 【例 24】 如圖所示，已知平行四邊形ABCD的面積是1，E、F是AB、AD的中點，

38、 BF交EC于M，求BMG?的面積 QEGNMFPADCB標(biāo)準(zhǔn)實用 文案大全 MHGFEDCBA IABCD EFGHM 【解析】 解法一：由題意可得，E、F是AB、AD的中點，得/EFBD，而:1:2FDBCFHHC?:1:2EBCDBGGD?所以:2:3CHCFGHEF?， 并得G、H是BD的三等分點，所以BGGH?，:2:3BGEFBM MF ? ? ，所以25BMBF?，11112224 BFDABDABCDSSS? ?； 又因為13BGBD?，所以1212113535430BMGBFDSS? ? 解法二：延長CE交DA于I，如右圖， 可得，:1:1AIBCAEEB?，從而可以確定M的

39、點的位置， :2:3BMMFBCIF?，25BMBF?，13BGBD? (鳥頭定理)， 可得2121115353430BMGBDF ABCDSSS? 【例 25】 如圖，ABCD為正方形，1cmAMNBDEFC?且2cmMN?，請問四邊形 PQRS的面積為多少？ SRBCDAEQNMF P SRBCDAEQNMFP 【解析】 (法1)由/ABCD ，有 MPPCMNDC?，所以2PCPM?，又MQMBQCEC?，所以 12MQQCMC?，所以111236PQMCMCMC?，所以SPQRS占AMCFS的16， 標(biāo)準(zhǔn)實用 文案大全 所以121(112)63SPQRS?2(cm) (法2)如圖，連結(jié)

40、AE，則14482ABES?(2cm)， 而RBERABEF? ，所以2RBABEFEF? ，22168333ABRABESS?(2cm) 而1134322MBQANSSS?(2cm) ，因為MNMPDCPC?， 所以13MPMC?，則11424233MNPS?(2cm)，陰影部分面積等于 164233333ABRANSMBQMNPSSSS?(2cm) 【例 26】 如右圖，三角形ABC中，:4:9BDDC?，:4:3CEEA?，求:AFFB OFEDCBA 【解析】 根據(jù)燕尾定理得:4:912:27AOBAOCSSBDCD? :3:412:16AOBBOCSSAECE? （都有AOB的面積要

41、統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)） 所以:27:16:AOCBOCSSAFFB? 【點評】本題關(guān)鍵是把AOB的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！ 【鞏固】如右圖，三角形ABC中，:3:4BDDC?，:5:6AECE?，求:AFFB . OFEDCBA 【解析】 根據(jù)燕尾定理得:3:415:20AOBAOCSSBDCD? :5:615:18AOBBOCSSAECE? （都有AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)） 所以:20:1810:9:AOCBOCSSAFFB? 【鞏固】如右圖，三角形ABC中，:2:3BDDC

42、?，:5:4EACE?，求:AFFB. 標(biāo)準(zhǔn)實用 文案大全 OFEDCBA 【解析】 根據(jù)燕尾定理得:2:310:15AOBAOCSSBDCD? :5:410:8AOBBOCSSAECE? （都有AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)） 所以:15:8:AOCBOCSSAFFB? 【點評】本題關(guān)鍵是把AOB的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題中屢見不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨大力量！ 【例 27】 如右圖，三角形ABC中，:3:2AFFBBDDCCEAE?，且三角形ABC的面積是1，則三角形ABE的面積為_，三角形AGE的面積為_，三角形GHI

43、的面積為_ IGFEDCBA IGFEDCBA 【分析】 連接AH、BI、CG 由于:3:2CEAE?，所以25AEAC?，故2255ABEABCSS?； 根據(jù)燕尾定理，:2:3ACGABGSSCDBD?，:3:2BCGABGSSCEEA?，所以 :4:6:9ACGABGBCGSSS? ，則419ACGS? ，919BCGS?； 那么2248551995AGEAGCSS?； 同樣分析可 得919ACHS?，則:4ACGACHEGEHSS?，:4:19ACGACBEGEBSS?，所以:4:5:1EGGHHB?，同樣分析可得:10:5AGGIID?， 所以5521101055BIEBAESS? ，

44、55111919519GHIBIESS? 【鞏固】 如右圖，三角形ABC中，:3:2AFFBBDDCCEAE?，且三角形GHI的面積是1，求三角形ABC的面積 標(biāo)準(zhǔn)實用 文案大全 IHGFEDCB AIHGFEDCBA 【解析】 連接BG，AGCS?6份 根據(jù)燕尾定理，:3:26:4AGCBGCSSAFFB?，:3:29:6ABGAGCSSBDDC? 得4BGCS?(份)，9ABGS?(份)，則19ABCS?(份) ，因此619AGCABCSS?, 同理連接AI、CH 得619ABHABCSS? ,619BICABCSS?, 所以1966611919GHIABCSS? 三角形GHI的面積是1，

45、所以三角形ABC的面積是19 【鞏固】如圖，ABC?中2BDDA?，2CEEB?，2AFFC?，那么ABC?的面積是陰影三角形面積的 倍 ABDEFGHI IHGFDCA 【分析】 如圖，連接AI 根據(jù)燕尾定理，:2:1BCIACISSBDAD?，:1:2BCIABISSCFAF?， 所以，:1:2:4ACIBCIABISSS? ，那么，221247BCIABCABCSSS? 同理可知ACG?和ABH?的面積也都等于ABC?面積的27，所以陰影三角形的面積等于ABC?面積的211377?，所以ABC?的面積是陰影三角形面積的7倍 【鞏固】如圖在ABC 中，12DCEAFBDBECFA?, 求G

46、HIABC的面積的面積的值 標(biāo)準(zhǔn)實用 文案大全 IHGFEDCB AIHGFEDCBA 【解析】 連接BG,設(shè)BGCS?1份，根據(jù)燕尾定理:2:1AGCBGCSSAFFB?,:2:1ABGAGCSSBDDC?,得2AGCS?(份)，4ABGS?(份),則7ABCS?(份) ，因此27AGCABCSS?,同理連接AI、CH 得27ABHABCSS? ,27BICABCSS?, 所以7222177GHIABCSS? 【點評】如果任意一個三角形各邊被分成的比是相同的，那么在同樣的位置上的圖形，雖然形狀千變?nèi)f化，但面積是相等的，這在這講里面很多題目都是用“同理得到”的，即再重復(fù)一次解題思路，因此我們有

47、對稱法作輔助線. 【例 28】 如圖，三角形ABC的面積是1，BDDEEC?，CFFGGA?，三角形ABC被分成9部分，請寫出這9部分的面積各是多少 ? GFEDCBA NMQPGFEDCBA 【解析】 設(shè)BG與AD交于點P，BG與AE交于點Q，BF與AD交于點M，BF與AE交于點N連接CP，CQ，CM，CN 根據(jù)燕尾定理，:1:2ABPCBPSSAGGC?，:1:2ABPACPSSBDCD?，設(shè)1ABPS?(份)，則1225ABCS?(份)，所以15ABPS? 同理可得，27ABQS?,12ABNS?,而13ABGS? ，所以2137535APQS? ，1213721AQGS? 同理，335

48、BPMS? 121BDMS?, 所以1239273570PQMNS?四邊形 NEDS?四邊形 ,1151321426NFCES?四邊形 ,1115321642GFNQS?四邊形 標(biāo)準(zhǔn)實用 文案大全 【鞏固】如圖，ABC?的面積為1，點D、E是BC邊的三等分點，點F、G是AC邊的三等分點，那么四邊形JKIH的面積是多少？ KJIHABCDEFG KJIHABCDEFG 【解析】 連接CK、CI、CJ 根據(jù)燕尾定理，:1:2ACKABKSSCDBD?，:1:2ABKCBKSSAGCG?， 所以:1:2:4ACKABKCBKSSS? ，那么111247ACKS? ，1132

49、1AGKACKSS? 類似分析可得215AGIS? 又:2:1ABJCBJSSAFCF?，:2:1ABJACJSSBDCD?，可得14ACJS? 那么，111742184CGKJS? 根據(jù)對稱性，可知四邊形CEHJ 的面積也為1784，那么四邊形JKIH周圍的 圖形的面積之和為172161228415370CGKJAGIABESSS?，所以四邊形JKIH 的面積為61917070? 【例 29】 右圖，ABC中，G是AC的中點，D、E、F是BC邊上的四等分點，AD與BG交于M，AF與BG交于N，已知ABM的面積比四邊形FCGN的面積大7.2平方厘米，則ABC的面積是多少平方厘米？ NMGABCDE FNMGABCDEF 【解析】 連接CM、CN 根據(jù)燕尾定理，:1:1ABMCBMSSAGGC?，:1:3ABMACMSSBDCD?，所以15ABMABCSS?； 再根據(jù)燕尾定理，:1:1ABNCBNSSAGGC?，所以:4:3ABNFBNCBNFBNSSSS?，所以:4:3ANNF? ，那么1422437ANGAFCSS?，標(biāo)準(zhǔn)實用 文案大全 所以2515177428FCGNAFCABCABCSSSS? 根據(jù)題意，有157.2528ABCABCSS?，可得336ABCS?(平方厘米) 【例 30】 如圖，面積為l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分別是AB、BC、CA