高觀點下的初等數(shù)學(xué).ppt

1、1,小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的滲透,2,德國數(shù)學(xué)家菲利克斯.克萊因在高觀點下的初等數(shù)學(xué)中指出:“基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教師應(yīng)該站在更高的視角來審視、理解初等數(shù)學(xué)問題,只有觀點高了,事物才能顯得更明了更簡單;一個稱職的教師應(yīng)當(dāng)掌握或了解數(shù)學(xué)的各種概念、思想方法及其發(fā)展與完善的過程及數(shù)學(xué)教育演化的經(jīng)過。,3,數(shù)學(xué)家張景中先生在感受小學(xué)數(shù)學(xué)思想的力量中指出:“小學(xué)生學(xué)的數(shù)學(xué)很初等,很簡單。但盡管簡單,里面卻蘊含了一些深刻的數(shù)學(xué)思想。”簡言之,我們需要站在更高的視角來審視小學(xué)教材,才能把其中的內(nèi)容及其背后的思想看清,才能進(jìn)一步完善自身的數(shù)學(xué)思想方法體系,4,新課標(biāo)指出總體目標(biāo):“通過義務(wù)教育階段的教學(xué)、學(xué)習(xí),學(xué)生

2、能夠獲得適應(yīng)未來社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的重要的數(shù)學(xué)知識(包括數(shù)學(xué)事實、數(shù)學(xué)生活經(jīng)驗)以及基本數(shù)學(xué)思想方法和必要的應(yīng)用技能”數(shù)學(xué)思想方法是新課標(biāo)要求的教學(xué)目標(biāo)之一,5,首先,要全面學(xué)習(xí)掌握各種初等數(shù)學(xué)思想方法的本體知識。例如,數(shù)學(xué)思想方法有哪些?各種思想方法的具體涵義是什么?各種思想方法是如何形成與發(fā)展的? 只有清晰全面掌握初等數(shù)學(xué)思想方法的本體知識,才能更好地發(fā)現(xiàn)和理解小學(xué)教材中哪些素材蘊藏著數(shù)學(xué)思想方法,更好選擇“滲透點,6,其次, 深入鉆研全套教材,系統(tǒng)把握教材中可以進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法滲透的各種因素,一是要明確哪些知識點中可進(jìn)行什么數(shù)學(xué)思想方法的滲透;二是這種思想方法可在哪些知識點中滲透

3、;三是怎么滲透,滲透到什么程度,應(yīng)有一個總體設(shè)計,提出不同階段的具體教學(xué)要求。這樣才能整理出比較清晰的數(shù)學(xué)思想教學(xué)的序列,從而形成自身數(shù)學(xué)思想方法系統(tǒng),7,最后,堅持把掌握數(shù)學(xué)知識和滲透數(shù)學(xué)思想方法同時納入教學(xué)目標(biāo)中。數(shù)學(xué)思想方法的形成也必須經(jīng)過循序漸進(jìn)的過程,經(jīng)過反復(fù)訓(xùn)練,才能使學(xué)生真正領(lǐng)會到。教師要更新觀念,從思想上不斷提高對滲透數(shù)學(xué)思想方法重要性的認(rèn)識,堅持把掌握數(shù)學(xué)知識和滲透數(shù)學(xué)思想方法同時納入教學(xué)目的,堅持把數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的要求融入備課環(huán)節(jié),8,一、符號化思想,符號思想是指用符號以及符號組成的數(shù)學(xué)語言來表達(dá)數(shù)學(xué)的概念、運算和命題的數(shù)學(xué)思想。包括字母、數(shù)字、圖形和各種特定的符號來描述

4、數(shù)學(xué)內(nèi)容。符號思想是導(dǎo)致數(shù)學(xué)脫離其實際內(nèi)容形成抽象化形式系統(tǒng)的關(guān)鍵思想。 當(dāng)遠(yuǎn)古時代的人類采用小石頭,小木棍或打繩結(jié)來表示打獵成果的只數(shù)時,就意味著這種抽象的產(chǎn)生;而當(dāng)他們第一次試圖使用記號將獵獲物的只數(shù)記錄下來時,就意味著符號思想的出現(xiàn),9,小學(xué)數(shù)學(xué)中存在著大量的可以體現(xiàn)符號化思想的數(shù)學(xué)內(nèi)容。如:數(shù)學(xué)中各種數(shù)量關(guān)系,量的變化及量與量之間進(jìn)行推導(dǎo)和演算,都是用小小的字母表示數(shù),以符號的濃縮形式表達(dá)大量的信息。如定律、公式等。當(dāng)學(xué)生認(rèn)識到可以將兩個加數(shù)的位置交換和相等之后,學(xué)生用自己喜歡的方式將這個發(fā)現(xiàn)表達(dá)出來,于是學(xué)生就會想到用來表示加法交換律,10,五年級，學(xué)生開始正式學(xué)習(xí)用字母表示數(shù)，從研

5、究一個具體特定的數(shù)到用字母表示一般的數(shù)，引導(dǎo)他們經(jīng)歷用字母表示數(shù)的抽象與概括過程，初步學(xué)習(xí)并理解用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系，體會符號化的簡潔與準(zhǔn)確，不僅為列方程解決實際問題作好準(zhǔn)備，更為進(jìn)入中學(xué)后學(xué)習(xí)代數(shù)等知識打好基礎(chǔ),11,二、函數(shù)思想,1. 函數(shù)思想 函數(shù)思想是一種考慮對應(yīng)、考慮運動變化、相依關(guān)系，以一種狀態(tài)確定地刻畫另一種狀態(tài)的思想方法， 函數(shù)思想的本質(zhì)在于建立和研究變量之間的對應(yīng)關(guān)系。 函數(shù)的核心就是“把握并刻畫變化中的不變，其中變化的是過程，不變的是規(guī)律(關(guān)系)”。 小學(xué)不要求形式化的認(rèn)識函數(shù)，強(qiáng)調(diào)函數(shù)思想的滲透,12,2、教材中函數(shù)思想的體現(xiàn) （1）探索規(guī)律 第一學(xué)段要求:發(fā)現(xiàn)給

6、定的事物(事物、圖形、簡單的數(shù)列)中隱含的簡單規(guī)律。 第二學(xué)段要求:探求給定的事物中隱含的簡單規(guī)律或變化趨勢，同時還要求探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律”等等,13,2 ）對運算規(guī)律的探索 隨著數(shù)域的擴(kuò)大，學(xué)習(xí)了小數(shù)乘法的計算，學(xué)生第一次遇到了“越乘越小”的情況，學(xué)生對乘法運算中的規(guī)律有了一個新的認(rèn)識，即“一個因數(shù)不變時，另一個因數(shù)大于1時，積大于這個因數(shù);另一個因數(shù)小于1，積小于這個因數(shù);另一個數(shù)越接近1，積就越接近這個因數(shù),14,小學(xué)階段學(xué)生在探索規(guī)律的過程中可以感受到多種變化：正變化和逆變化 1、當(dāng)一個變量增加時，另一個變量也類似地增加(或減少)。 2、當(dāng)一個變量增加時，另一個變量也類

7、似的比率增加(或減少)。如，圓的半徑變化引起周長變化的規(guī)律、原數(shù)變化引起其倒數(shù)變化的規(guī)律。 3、當(dāng)一個變量均勻增加時，另一個變量以增加的比率增加。如，正方形的邊長變化引起面積變化的規(guī)律，圓的半徑變化引起面積變化的規(guī)律,15,3）對“關(guān)系”的體驗 比較典型的是正方形、圓和正方體的相關(guān)內(nèi)容。學(xué)生感受到同樣是周長20厘米，正方形是唯一確定的，長方形卻是多種多樣的，主要原因是正方形僅由邊長一個因素決定，而長方形要由長、寬兩個因素決定。 由兩個數(shù)確定一個數(shù)，可以看成是一個二元函數(shù)。從三年級學(xué)習(xí)長、正方形的周長公式開始，學(xué)生先后又學(xué)習(xí)了長、正方形面積公式;平行四邊形、三角形、梯形面積公式;長、正方體表面積

8、和體積公式;圓的面積周長公式;圓柱的表面積體積公式;圓錐的體積公式;另外，還掌握了其它一些三個量關(guān)系:速度、時間、路程;單價、數(shù)量、總價等。這些給了學(xué)生很多對多元函數(shù)自變量與因變量之間“關(guān)系”的感受,16,3.表格語言 函數(shù)反映的是變量之間的關(guān)系，所以必須借助數(shù)字以外的符號來表示。 表格的方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的地位是十分突出的。首先，表格作為學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的重要工具出現(xiàn)在運算規(guī)律探索、公式的推導(dǎo)、圖形的變化規(guī)律的探索等內(nèi)容中,17,徐利治先生認(rèn)為，所謂數(shù)學(xué)模型，是指針對或參照某種事物的特征或數(shù)量間的相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學(xué)語言，概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 具體來說，數(shù)學(xué)模型就是為了

9、某種目的，用字母、數(shù)字及其他數(shù)學(xué)符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖像、框圖等描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)表達(dá)式,三、數(shù)學(xué)模型思想,18,小學(xué)階段，數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中的重要部分。小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，實際上就是對一系列數(shù)學(xué)模型的建立、理解、運用的過程。從現(xiàn)實世界中抽象出數(shù)(或形)，進(jìn)而探討數(shù)(或形)之間的關(guān)系，歸納概括出比較穩(wěn)定和有用的數(shù)量關(guān)系，用抽象的形式(數(shù)、式、形等)表達(dá)出來。這個過程中所建立的數(shù)、形、數(shù)數(shù)關(guān)系、形形關(guān)系、數(shù)形關(guān)系等均是數(shù)學(xué)模型的具體表現(xiàn)形式，而這些數(shù)學(xué)模型又是構(gòu)建出新的數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)，使數(shù)學(xué)知識的深度和廣度不斷豐富。上述過程可以概括為“問題情境一一建

10、立模型一一解釋、應(yīng)用與拓展”，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材自始至終采用這種敘述模式滲透數(shù)學(xué)模型思想,19,學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)首先從數(shù)開始，而小學(xué)生的數(shù)感尚未形成或比較膚淺，“數(shù)”是小學(xué)生學(xué)習(xí)的第一個數(shù)學(xué)模型，接下來才學(xué)習(xí)式(加法和減法)，再后來學(xué)習(xí)圖形、公式、數(shù)量關(guān)系等，逐步深入。教材從一年級到六年級在“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”、“概率與統(tǒng)計”三個領(lǐng)域交互出現(xiàn)、由淺入深地滲透著數(shù)學(xué)建模思想。其編排特點是:從建立簡單模型開始，引出新的模型，用已有模型建立的稍復(fù)雜的模型，螺旋上升。下面以“數(shù)與代數(shù)”為例加以說明,20,數(shù)與代數(shù)”的主要內(nèi)容有:數(shù)的認(rèn)識，數(shù)的表示，數(shù)的大小，數(shù)的運算，數(shù)量的估計;計量單位與進(jìn)率;字母表

11、示數(shù)，運算律，方程等。課標(biāo)的要求是，通過“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)，幫助學(xué)生建立數(shù)感和符號意識，發(fā)展運算能力，樹立數(shù)學(xué)模型思想,21,教材是按以下幾條線索編排滲透數(shù)學(xué)建立思想的(以下括號中的說明為數(shù)學(xué)模型): 1.自然數(shù)的認(rèn)識(建立自然數(shù)的概念)一自然數(shù)的組成(認(rèn)識數(shù)與數(shù)的關(guān)系)一加減法運算(數(shù)數(shù)運算)一比較大小(數(shù)的順序關(guān)系)一乘除法運算(數(shù)數(shù)運算)一四則運算(數(shù)數(shù)運算)一運算律(關(guān)系式)。 2.自然數(shù)的除法(數(shù)數(shù)運算)一分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(建立分?jǐn)?shù)的概念)一比較大小(數(shù)數(shù)關(guān)系)一比一與比例(新的概念)一分?jǐn)?shù)的通分(比的性質(zhì)的應(yīng)用)一分?jǐn)?shù)的運算(自然數(shù)運算關(guān)系的推廣,22,3.計量單位的進(jìn)率關(guān)系(進(jìn)率關(guān)系)

12、一小數(shù)的認(rèn)識(建立小數(shù)的概念)一比較大小(數(shù)數(shù)關(guān)系)一小數(shù)的運算(自然數(shù)運算關(guān)系的推廣)一百分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(建立百分?jǐn)?shù)的概念)一分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)的互化(數(shù)數(shù)關(guān)系) 4.文字歸納的運算律(運算律的含義)一字母表示數(shù)(代數(shù)模型)一運算律的字母表達(dá)式(代數(shù)式)一等量關(guān)系(等量關(guān)系模型)一方程的認(rèn)識(建立方程概念)一解方程(運算方法)一正、反比例(比例與方程建立新的模型,23,四、數(shù)形結(jié)合思想,1、數(shù)形結(jié)合思想的涵義。 數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的關(guān)系,借助“形”的直觀來表達(dá)數(shù)量關(guān)系,運用“數(shù)”來刻畫、研究形,把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來考慮,通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)

13、解形”使抽象思維與形象思維結(jié)合起來,將復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,達(dá)到解決問題的目的。 根據(jù)知識的特點和小學(xué)生的思維發(fā)展水平,我們主要通過線段圖、長方形面積圖、樹形圖等,把一定的數(shù)量關(guān)系形象直觀地表達(dá)出來,幫助學(xué)生從圖形的直觀特征中發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間存在的聯(lián)系,以形助數(shù)來化隱為顯、化難為易,24,2、數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)。 我們常用畫線段圖的方法來解答應(yīng)用題,這是用圖形來代替數(shù)量關(guān)系的一種方法。我們引導(dǎo)學(xué)生畫線段圖幫助理解題意,研究數(shù)量之間的關(guān)系。 通過正比例圖像的教學(xué),讓學(xué)生體會正比例關(guān)系的圖像是一條直線,同時,利用圖像根據(jù)其中一個量的值估計另一個量的值,既將抽象的數(shù)學(xué)概念、數(shù)量關(guān)系

14、直觀化和形象化,又借助形象的圖像來理解抽象的正比例關(guān)系問題,努力使學(xué)生抽象思維和形象思維的發(fā)展結(jié)合起來我們又可以通過代數(shù)方法來研究幾何圖形的周長、面積、體積等,這些都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想,25,五、極限思想,1、極限思想 極限是用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態(tài)的概念。極限思想為建立微積分學(xué)提供了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，為數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了有力的思想武器,26,2、教材中的極限思想： 說不完的數(shù) ：在“自然數(shù)”“奇數(shù)”“偶數(shù)”這些概念教學(xué)時，教師可讓學(xué)生體會自然數(shù)是數(shù)不完的，奇數(shù)、偶數(shù)的個數(shù)有無限多個，一個數(shù)的倍數(shù)個數(shù)是無限的；在循環(huán)小數(shù)這一部分內(nèi)容中，循環(huán)節(jié)部分的數(shù)字不斷重復(fù)出現(xiàn)，也是寫不完的，

15、是無限的； 學(xué)習(xí)了小數(shù)的性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)及比的基本性質(zhì)等內(nèi)容后，讓學(xué)生知道了：和0.5相等的小數(shù)有無數(shù)個，大于25小于45的分?jǐn)?shù)有無數(shù)個等等。一系列的數(shù)概念教學(xué)中，我們有必要讓學(xué)生初步感知無限,想不盡的長：小學(xué)數(shù)學(xué)的很多知識點具有無限性如直線、射線、角的邊、平行線的長度等等它們都是可以無限延伸的。這些概念在現(xiàn)實生活中并不是真實存在的，要讓學(xué)生看到它們可以“無限延長”，讓學(xué)生在有限的空間里去感知“無限”的含義，成了教學(xué)中的一個難點,27,畫不完的線 幾何圖形抽象，無限思想更抽象。如何讓學(xué)生感知無限，體驗無限，理解無限？實踐證明：讓學(xué)生動手按要求畫一畫，學(xué)生的思維有了實踐操作的支撐、憑借，能通

16、過想象得以接受。并在畫不完的矛盾沖突中進(jìn)一步感悟它的無限思想。 如在學(xué)習(xí)圓的認(rèn)識這課，教師為了讓學(xué)生體驗圓的半徑、直徑有無數(shù)條，在學(xué)生知道了半徑、直徑的含義后，就組織學(xué)生開展畫半徑、畫直徑比賽。同學(xué)們邊畫邊思考，接著在學(xué)生交流條數(shù)的過程中，通過思維的碰撞，得出“畫不完”的結(jié)論。讓學(xué)生在想象線越來越細(xì)時，條數(shù)越來越多，多到數(shù)不清，很好地滲透了“極限”思想,28,六、集合思想,1、集合思想的簡單介紹 集合思想創(chuàng)建者是德國數(shù)學(xué)家G康托爾于1874年提出的，我國在1978年以后編的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中也滲透了集合思想。在數(shù)學(xué)中，集合是一個原始的概念，這如同幾何學(xué)中的“點”、“線”一樣，不能用別的概念加以定義

17、。 集合一般的描述是：在一定范圍內(nèi)的個體事物的全體，當(dāng)將它們看作一個整體時，我們把這個整體稱為一個集合，其中每個個體事物叫做該集合的元素。例如：一個班級的學(xué)生組成一個集合其中該班級中的每個學(xué)生是該集合的一個元素；直線上所有的點構(gòu)成一個集合，其中的每個點是該集合的一個元素；所有自然數(shù)組成的集合一般用N表示。一個集合可以通過列舉其元素a,b,c來表示，并記為a,b,c,29,2、教材中的集合思想 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，往往不直接出現(xiàn)集合的概念、名稱、符號和運算，而是結(jié)合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識內(nèi)容，采用直觀手段，利用形式多樣、生動活潑的集合圖畫來滲透集合的思想。如用圓圈圖（韋恩圖）向?qū)W生直觀的滲透集合概念，讓他們

18、感知圈內(nèi)的物體具有某種共同的屬性，可以看作一個整體，這個整體就是一個集合。教師應(yīng)首先感知到這些內(nèi)容中存在集合的思想，在適當(dāng)?shù)臅r候有意點撥，讓集合思想在小學(xué)生的頭腦中逐漸扎根,30,交集 交集的概念滲透在求最大公約數(shù)間題中尤為直觀，如講12的約數(shù)，18的約數(shù)，12和18的公約數(shù)，12和18的最大公約數(shù)，這幾個概念，用集合的觀點來講就更清楚，更形象,31,子集的運用 正方形、長方形、平行四邊形及四邊形之間的關(guān)系，是一串包含關(guān)系，可用韋恩圖表示這種關(guān)系(如圖4)。這種直觀的表示方法便于學(xué)生加深理解，同時滲透了子集、真子集的含義,32,七、化歸思想,在解決各類數(shù)學(xué)問題時，化歸思想是一種普遍適用的思想方

19、法。假設(shè)一個數(shù)學(xué)問題甲，我們一下不能直接求解，于是將甲問題化為乙問題，通過求解乙問題來達(dá)到解決甲問題的目的，這就是化歸思想的基本思路?；瘹w思想的熟悉化，簡單化和和諧化原則在數(shù)學(xué)解題中具有思維導(dǎo)向作用,33,學(xué)生學(xué)習(xí)平行四邊形面積的計算公式時，教材中就引導(dǎo)學(xué)生將平行四邊形轉(zhuǎn)化成學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的長方形，從而推導(dǎo)出平行四邊形的面積積計算公式。 這種轉(zhuǎn)化的方法，還運用在推導(dǎo)三角形、梯形的面積計算公式中。 在學(xué)習(xí)計算方法時也多處運用了這種數(shù)學(xué)思想方法，如學(xué)生在學(xué)習(xí)小數(shù)乘除法時，就要將小數(shù)乘除法轉(zhuǎn)化成整數(shù)的乘除法之后再進(jìn)行計算,34,八、統(tǒng)計的思想,統(tǒng)計與概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)規(guī)律的科學(xué)，是數(shù)理統(tǒng)計的理論依據(jù)，它的指導(dǎo)思想就是隨機(jī)思想或概率和統(tǒng)計的思想。隨機(jī)現(xiàn)象是一種客觀現(xiàn)象，隨機(jī)事件在自然界和人類社會中廣泛存在。 例如，投擲一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面朝上或反面朝上;在相同的工藝條件下生產(chǎn)一批零件，它們的尺寸總有不同的誤差。隨機(jī)現(xiàn)象的